Sciences de l'ingénieur (Spé) — Information et commande
Traitement du signal : filtrage, CNA/CAN, échantillonnage (Shannon)
Conversion analogique-numérique et numérique-analogique, théorème de Shannon, résolution, quantification, filtrage passe-bas
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Résumé
Comment un microphone, qui capte du continu, finit-il en $0$ et $1$ dans un ordinateur ? Par la conversion analogique-numérique (CAN), en deux temps : l'échantillonnage prélève la valeur du signal à intervalles réguliers $T_e$, la quantification l'arrondit à la valeur numérique la plus proche. Le théorème de Shannon pose une condition incontournable : $f_e \ge 2\,f_{max}$, sinon apparaît le repliement spectral (aliasing), qui invente des fréquences parasites. Pour de l'audio jusqu'à $20\,\mathrm{kHz}$, il faut donc $f_e \ge 40\,\mathrm{kHz}$ (le CD échantillonne à $44{,}1\,\mathrm{kHz}$). La finesse d'un CAN sur $n$ bits se mesure par le quantum $q = \dfrac{PE}{2^n}$ : un CAN $8$ bits sur $5\,\mathrm{V}$ distingue des marches de $\approx 19{,}5\,\mathrm{mV}$. La conversion numérique-analogique (CNA) fait le chemin inverse, recréant un signal en escalier qu'un filtre passe-bas vient lisser. Le filtrage, justement, sélectionne les fréquences utiles et chasse le bruit.
Numériser un signal, c'est le saisir en deux gestes : prélever des valeurs dans le temps (échantillonnage), puis les arrondir sur une échelle de nombres (quantification). De la finesse de ces deux gestes dépend la fidélité de la copie numérique.
Le signal est prélevé tous les $T_e$ (échantillons), puis reconstitué en escalier ; Shannon impose $f_e \ge 2\,f_{max}$.
- Le CAN transforme un signal analogique continu en signal numérique discret (suite de nombres binaires).
- Étape 1 — Échantillonnage : prélèvement de la valeur du signal à intervalles réguliers $T_e$ (période d'échantillonnage), avec $f_e = \dfrac{1}{T_e}$.
- Étape 2 — Quantification : arrondi de chaque échantillon à la valeur la plus proche, codée sur $n$ bits ($2^n$ niveaux).
- Résolution (quantum) : $q = \dfrac{PE}{2^n}$ (pleine échelle divisée par le nombre de niveaux). Plus $n$ est grand, plus $q$ est petit.
- Erreur de quantification : au maximum $\pm\dfrac{q}{2}$ — un bruit irréductible, mais qui diminue quand $n$ augmente.
- Un CAN se caractérise par son nombre de bits, sa pleine échelle et sa fréquence d'échantillonnage maximale.
Exemple
Un CAN $10$ bits couvre une pleine échelle de $3{,}3\,\mathrm{V}$. Nombre de niveaux : $2^{10} = 1024$. Quantum : $q = \dfrac{3{,}3}{1024} \approx 3{,}2\,\mathrm{mV}$. Une tension de $1{,}5\,\mathrm{V}$ correspond donc au code $\dfrac{1{,}5}{q} = \dfrac{1{,}5 \times 1024}{3{,}3} \approx 465$, avec une erreur d'arrondi au plus de $\dfrac{q}{2} \approx 1{,}6\,\mathrm{mV}$.
Piège à éviter
Le quantum se calcule avec $2^n$, pas avec $n$. Pour un CAN $12$ bits, on divise par $2^{12} = 4096$, et non par $12$. Confondre $n$ et $2^n$ fausse la résolution d'un facteur énorme.
Échantillonner trop lentement, c'est rater l'essentiel du signal — pire, c'est créer de fausses fréquences. Le théorème de Shannon fixe la cadence minimale à respecter, sous peine d'un défaut irréversible : le repliement spectral.
- Théorème de Shannon : $f_e \ge 2\,f_{max}$ — la fréquence d'échantillonnage doit valoir au moins le double de la plus haute fréquence du signal.
- Si la condition n'est pas respectée, il y a repliement spectral (aliasing) : des fréquences parasites contaminent le signal numérisé.
- Exemple audio : $f_{max} = 20\,\mathrm{kHz} \Rightarrow f_e \ge 40\,\mathrm{kHz}$. Le CD utilise $44{,}1\,\mathrm{kHz}$, le téléphone $8\,\mathrm{kHz}$ (voix jusqu'à $4\,\mathrm{kHz}$).
- Un filtre anti-repliement (passe-bas analogique) est placé avant le CAN pour supprimer les composantes au-dessus de $\dfrac{f_e}{2}$.
- En pratique, on prend $f_e = 5$ à $10 \times f_{max}$ pour une reconstitution confortable.
- Le sous-échantillonnage dégrade irréversiblement le signal : l'information perdue ne se récupère pas.
Exemple
Un signal contient une composante à $30\,\mathrm{kHz}$ qu'on échantillonne par erreur à $f_e = 40\,\mathrm{kHz}$. La limite de Shannon est $\dfrac{f_e}{2} = 20\,\mathrm{kHz}$ : la composante à $30\,\mathrm{kHz}$ se replie et apparaît comme une fausse fréquence à $f_e - 30 = 10\,\mathrm{kHz}$, parfaitement audible et impossible à distinguer d'un vrai $10\,\mathrm{kHz}$.
Piège à éviter
Shannon impose $f_e \ge 2\,f_{max}$, jamais $f_e \ge f_{max}$. Échantillonner juste au-dessus de $f_{max}$ ne suffit pas : c'est bien le facteur 2 qui garantit la reconstruction du signal.
Une fois traité, le signal numérique doit redevenir analogique pour piloter un haut-parleur ou un moteur. Le CNA recrée une tension à partir des nombres binaires, mais sa sortie brute ressemble à un escalier qu'il faut lisser.
- Le CNA reconstitue un signal analogique à partir d'un mot numérique (code binaire).
- Sa sortie est un signal en escalier qui doit être lissé par un filtre passe-bas de reconstitution.
- Résolution : identique au CAN, $q = \dfrac{PE}{2^n}$ ; la hauteur de chaque marche vaut un quantum.
- Applications : sortie audio (haut-parleur), commande de moteur (PWM $+$ filtre), affichage analogique.
- Un CNA R-2R utilise un réseau de résistances pour pondérer chaque bit du mot numérique.
- La précision dépend de la qualité des composants et de la stabilité de la tension de référence.
Exemple
Un CNA $8$ bits de pleine échelle $5\,\mathrm{V}$ a un quantum $q = \dfrac{5}{256} \approx 19{,}5\,\mathrm{mV}$. Le code binaire $10000000_2 = 128$ produit en sortie $128 \times q = 128 \times 19{,}5\,\mathrm{mV} = 2{,}5\,\mathrm{V}$, soit la moitié de la pleine échelle.
Piège à éviter
La sortie d'un CNA n'est pas directement un signal lisse : sans filtre de reconstitution, l'escalier conserve des composantes haute fréquence (multiples de $f_e$) qui parasitent le signal restitué.
Un filtre est un trieur de fréquences : il laisse passer ce qui est utile et atténue le reste (bruit, parasites). C'est l'outil indispensable autour des conversions, pour préparer le signal avant le CAN et le nettoyer après le CNA.
- Un filtre sélectionne les fréquences utiles et atténue les indésirables (bruit, parasites).
- Passe-bas : laisse passer les fréquences inférieures à la fréquence de coupure $f_c$ et atténue les autres.
- Passe-haut : atténue les basses fréquences ; passe-bande : ne laisse passer qu'une bande de fréquences.
- La fréquence de coupure $f_c$ est définie à $-3\,\mathrm{dB}$ (la puissance est divisée par $2$, l'amplitude par $\sqrt{2}$).
- Pente d'atténuation : $-20\,\mathrm{dB/décade}$ pour un 1er ordre, $-40\,\mathrm{dB/décade}$ pour un 2nd ordre, au-delà de $f_c$.
- Filtre anti-repliement (avant CAN) et filtre de reconstitution (après CNA) sont deux passe-bas essentiels.
Exemple
Un filtre passe-bas $RC$ a pour fréquence de coupure $f_c = \dfrac{1}{2\pi RC}$. Avec $R = 1{,}6\,\mathrm{k\Omega}$ et $C = 100\,\mathrm{nF}$ : $f_c = \dfrac{1}{2\pi \times 1600 \times 100\times 10^{-9}} \approx 1\,\mathrm{kHz}$. À $10\,\mathrm{kHz}$ (une décade au-dessus), un 1er ordre atténue d'environ $20\,\mathrm{dB}$, soit un rapport $10$ sur l'amplitude.
Piège à éviter
$-3\,\mathrm{dB}$ correspond à la division par $2$ de la puissance, mais seulement par $\sqrt{2} \approx 1{,}41$ de l'amplitude (tension). Confondre les deux fausse l'interprétation du gabarit d'un filtre.
Quiz - Traitement du signal
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Questions fréquentes
Les points clés à retenir sur Traitement du signal : filtrage, CNA/CAN, échantillonnage (Shannon), extraits du quiz de révision.
Le théorème de Shannon impose :
Réponse :
$f_e \ge 2\,f_{max}$
Le théorème de Nyquist-Shannon impose $f_e \ge 2\,f_{max}$ : la fréquence d'échantillonnage doit valoir au moins le double de la fréquence maximale du signal pour le reconstruire sans repliement.
Un CAN $12$ bits avec une pleine échelle de $5\,\mathrm{V}$ a une résolution de :
Réponse :
$\dfrac{5}{4096} \approx 1{,}22\,\mathrm{mV}$
$q = \dfrac{PE}{2^n} = \dfrac{5}{2^{12}} = \dfrac{5}{4096} \approx 1{,}22\,\mathrm{mV}$. On divise bien par $2^{12} = 4096$, pas par $12$.
Que se passe-t-il si $f_e < 2\,f_{max}$ ?
Réponse :
Il y a repliement spectral (aliasing)
Si Shannon n'est pas respecté, des fréquences parasites (alias) apparaissent dans le signal numérisé : c'est le repliement spectral. L'information ainsi corrompue est irrécupérable.
Le rôle du filtre anti-repliement est de :
Réponse :
Éliminer les fréquences supérieures à $\dfrac{f_e}{2}$ avant le CAN
Le filtre anti-repliement est un passe-bas placé avant le CAN. Il supprime les composantes au-dessus de $\dfrac{f_e}{2}$ pour empêcher l'aliasing.