Sciences de l'ingénieur (Spé) — Information et commande
Asservissement et régulation : boucle ouverte/fermée, correcteurs PID
Systèmes asservis, boucle ouverte et fermée, schéma-blocs, correcteur proportionnel-intégral-dérivé, performances (précision, rapidité, stabilité)
Résumé synthétiqueFiche en 4 sectionsQuiz de 10 questionsGratuit, sans pub
Résumé
Un système **asservi** ne fait pas confiance au hasard : il compare en permanence sa sortie réelle à la **consigne** et corrige tout seul ses écarts. En **boucle ouverte**, aucune vérification — un grille-pain minuté ignore la couleur du pain. En **boucle fermée**, un **capteur** mesure la sortie, un **comparateur** calcule l'écart $\varepsilon = $ consigne $-$ mesure, et un **correcteur** agit pour l'annuler : c'est ainsi qu'un régulateur de vitesse ajuste l'accélération. Le correcteur **proportionnel** amplifie l'écart ($u = K_p\,\varepsilon$) ; l'action **intégrale** efface l'erreur statique en accumulant le passé ; l'action **dérivée** anticipe l'avenir pour calmer les dépassements. Tout l'art consiste à équilibrer trois qualités souvent rivales : la **précision**, la **rapidité** et la **stabilité**. Régler un PID, c'est trouver le bon compromis entre ces trois exigences.
Toute la différence tient en un fil : celui du **retour**. Sans lui, le système commande à l'aveugle ; avec lui, il se surveille et se corrige. Ce retour transforme une simple commande en véritable **asservissement**.
- **Boucle ouverte :** la commande est envoyée sans contrôler le résultat. **Pas de capteur de retour** : simple, mais sensible aux perturbations.
- **Boucle fermée (asservissement) :** un capteur mesure la sortie, le comparateur calcule $\varepsilon = $ consigne $-$ mesure, le correcteur ajuste la commande.
- **Avantages** de la boucle fermée : rejet des perturbations, précision accrue, robustesse aux variations de paramètres.
- **Inconvénient :** risque d'**instabilité** si le correcteur est mal réglé (oscillations, divergence).
- **Schéma-blocs :** consigne $\to$ comparateur $\to$ correcteur $\to$ actionneur $\to$ processus $\to$ sortie, avec **retour** par le capteur.
- **Fonction de transfert** en boucle fermée à retour unitaire : $H_{BF} = \dfrac{H_{BO}}{1 + H_{BO}}$.
Exemple
Un radiateur **sans thermostat** (boucle ouverte) chauffe à puissance fixe : si une fenêtre s'ouvre, la pièce refroidit sans réaction. **Avec thermostat** (boucle fermée), le capteur de température détecte la baisse, l'écart $\varepsilon$ grandit, et le correcteur relance le chauffage jusqu'à retrouver la consigne de $20\,°\mathrm{C}$.
Piège à éviter
Le comparateur fait une **soustraction** ($\varepsilon = $ consigne $-$ mesure), pas une addition. Un retour additionné ($+$ au lieu de $-$) créerait une **contre-réaction positive** qui emballe le système au lieu de le stabiliser.
Le correcteur PID combine trois réflexes complémentaires : réagir au **présent** (P), corriger le **passé** (I) et anticiper le **futur** (D). Chacun apporte un bénéfice... et un défaut. Les doser, c'est régler le système.
- **Proportionnel (P) :** $u = K_p\,\varepsilon$. Augmente la réactivité, mais laisse une **erreur statique** (sauf si le système contient déjà un intégrateur).
- **Intégral (I) :** $u_I = K_i \displaystyle\int \varepsilon\,\mathrm{d}t$. **Annule l'erreur statique** en accumulant les écarts, mais ralentit et favorise les dépassements.
- **Dérivé (D) :** $u_D = K_d \dfrac{\mathrm{d}\varepsilon}{\mathrm{d}t}$. **Anticipe** les variations rapides, réduit les dépassements, mais **amplifie le bruit**.
- **PID complet :** $u(t) = K_p\,\varepsilon(t) + K_i \displaystyle\int \varepsilon(t)\,\mathrm{d}t + K_d \dfrac{\mathrm{d}\varepsilon(t)}{\mathrm{d}t}$.
- **Effet des gains :** augmenter $K_p$ accélère mais déstabilise ; augmenter $K_i$ précise mais déstabilise ; augmenter $K_d$ stabilise mais sensibilise au bruit.
- En SI Terminale, on étudie surtout les correcteurs **P** et **PI** ; le PID complet est abordé qualitativement.
Exemple
Un asservissement de position garde une erreur statique de $4\,\%$ avec un simple correcteur **P**. On ajoute une action **intégrale** (correcteur **PI**) : l'intégrale accumule cet écart résiduel et augmente la commande tant que $\varepsilon \neq 0$, jusqu'à amener l'erreur statique à **zéro** en régime permanent.
Piège à éviter
L'action **dérivée** réagit à la **pente** de $\varepsilon$, donc à la moindre fluctuation : sur un signal bruité, elle amplifie le bruit et peut rendre la commande nerveuse. On la filtre toujours, et on l'évite si la mesure est peu propre.
On juge un système asservi sur trois critères, qu'on lit directement sur sa **réponse indicielle** (réponse à un échelon). Le hic : améliorer l'un dégrade souvent les autres. Régler, c'est arbitrer.
- **Précision :** mesurée par l'**erreur statique** $\varepsilon_s$ (écart consigne-sortie en régime permanent). Objectif : $\varepsilon_s = 0$.
- **Rapidité :** mesurée par le **temps de réponse à $5\,\%$** ($t_{r5\%}$), durée pour que la sortie reste dans $\pm 5\,\%$ de la valeur finale.
- **Stabilité :** un système est **stable** si sa sortie converge vers une valeur finie ; **instable** si elle diverge ou oscille indéfiniment.
- **Dépassement ($D\%$) :** premier pic au-dessus de la valeur finale, en pourcentage. Objectif courant : $D\% < 10\,\%$.
- Ces critères sont souvent **contradictoires** : gagner en rapidité peut coûter en stabilité (**compromis** de réglage).
- L'analyse se mène sur la **réponse indicielle** : on observe le **régime transitoire** puis le **régime permanent**.
Exemple
Pour un correcteur P, l'erreur statique d'un système de gain de boucle $K_p$ vaut $\varepsilon_s = \dfrac{1}{1 + K_p}$ (consigne unitaire). Avec $K_p = 9$ : $\varepsilon_s = \dfrac{1}{10} = 0{,}10$, soit $10\,\%$. Pour $K_p = 49$ : $\varepsilon_s = 0{,}02$, soit $2\,\%$ — plus précis, mais au prix d'un risque d'oscillations accru.
Piège à éviter
Un système qui **oscille en convergeant** reste **stable** : seule une oscillation d'amplitude **croissante** (ou une divergence) traduit l'instabilité. Ne confonds pas « ça oscille un peu » avec « c'est instable ».
Un système complexe se décrit comme un assemblage de **blocs**, chacun portant une **fonction de transfert** $H(p)$ dans le domaine de Laplace. Quelques règles simples permettent de réduire tout le schéma à une seule fonction globale.
- Un **bloc** représente une fonction de transfert $H(p) = \dfrac{S(p)}{E(p)}$ (sortie sur entrée en transformée de Laplace).
- **Blocs en série :** $H = H_1 \times H_2$ (les fonctions de transfert se **multiplient**).
- **Blocs en parallèle :** $H = H_1 + H_2$ (elles s'**ajoutent**).
- **Boucle de retour :** $H_{BF} = \dfrac{H_{directe}}{1 + H_{directe}\,H_{retour}}$ ; à retour unitaire, $H_{BF} = \dfrac{H_{BO}}{1 + H_{BO}}$.
- **Réduction :** on simplifie le schéma pas à pas pour obtenir la fonction de transfert **globale**.
- Systèmes types : **1er ordre** $H = \dfrac{K}{1 + \tau p}$ et **2nd ordre** $H = \dfrac{K}{1 + \dfrac{2\xi}{\omega_n}\,p + \dfrac{p^2}{\omega_n^2}}$.
Exemple
Deux blocs en série $H_1 = 5$ et $H_2 = \dfrac{1}{1 + 2p}$ donnent une boucle ouverte $H_{BO} = H_1 H_2 = \dfrac{5}{1 + 2p}$. À retour unitaire : $H_{BF} = \dfrac{H_{BO}}{1 + H_{BO}} = \dfrac{5}{(1 + 2p) + 5} = \dfrac{5}{6 + 2p} = \dfrac{5/6}{1 + \frac{1}{3}p}$ — encore un 1er ordre, de gain $\dfrac{5}{6}$ et de constante de temps $\tau = \dfrac{1}{3}\,\mathrm{s}$.
Piège à éviter
En **série**, on **multiplie** les fonctions de transfert, on ne les additionne pas. L'addition est réservée aux blocs en **parallèle**. Inverser les deux est l'erreur classique de l'algèbre des blocs.
Quiz - Asservissement et régulation
10 questions
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Questions fréquentes
Les points clés à retenir sur Asservissement et régulation : boucle ouverte/fermée, correcteurs PID, extraits du quiz de révision.
Quelle est la différence fondamentale entre boucle ouverte et boucle fermée ?
Réponse :
La boucle fermée utilise un retour d'information (capteur) pour corriger l'écart, pas la boucle ouverte
La **boucle fermée** mesure la sortie par un capteur et la compare à la consigne pour corriger l'écart $\varepsilon$. La boucle ouverte commande à l'aveugle, **sans retour d'information**.
L'écart $\varepsilon$ dans un système asservi se calcule par :
Réponse :
$\varepsilon = $ consigne $-$ mesure
$\varepsilon = $ consigne $-$ mesure. Le comparateur fait une **soustraction** : tant que la mesure n'égale pas la consigne, $\varepsilon \neq 0$ et le correcteur agit dans le bon sens.
L'action intégrale d'un correcteur PI permet de :
Réponse :
Annuler l'erreur statique en régime permanent
L'action intégrale $K_i \int \varepsilon\,\mathrm{d}t$ accumule les écarts : tant que $\varepsilon \neq 0$, l'intégrale croît et ajuste la commande, ce qui finit par **annuler l'erreur statique**. C'est l'action dérivée, et non l'intégrale, qui amplifie le bruit.
Le temps de réponse à $5\,\%$ mesure :
Réponse :
La rapidité du système
Le temps de réponse à $5\,\%$ ($t_{r5\%}$) est la durée pour que la sortie entre et reste dans la bande $\pm 5\,\%$ autour de la valeur finale : c'est un indicateur de **rapidité**.