Sciences de l'ingénieur (Spé) — Information et commande
Asservissement et régulation : boucle ouverte/fermée, correcteurs PID
Systèmes asservis, boucle ouverte et fermée, schéma-blocs, correcteur proportionnel-intégral-dérivé, performances (précision, rapidité, stabilité)
Résumé synthétiqueFiche en 4 sectionsQuiz de 10 questionsGratuit, sans pub
Résumé
Un système asservi ne fait pas confiance au hasard : il compare en permanence sa sortie réelle à la consigne et corrige tout seul ses écarts. En boucle ouverte, aucune vérification — un grille-pain minuté ignore la couleur du pain. En boucle fermée, un capteur mesure la sortie, un comparateur calcule l'écart $\varepsilon = $ consigne $-$ mesure, et un correcteur agit pour l'annuler : c'est ainsi qu'un régulateur de vitesse ajuste l'accélération. Le correcteur proportionnel amplifie l'écart ($u = K_p\,\varepsilon$) ; l'action intégrale efface l'erreur statique en accumulant le passé ; l'action dérivée anticipe l'avenir pour calmer les dépassements. Tout l'art consiste à équilibrer trois qualités souvent rivales : la précision, la rapidité et la stabilité. Régler un PID, c'est trouver le bon compromis entre ces trois exigences.
Toute la différence tient en un fil : celui du retour. Sans lui, le système commande à l'aveugle ; avec lui, il se surveille et se corrige. Ce retour transforme une simple commande en véritable asservissement.
Le comparateur calcule $\varepsilon = $ consigne $-$ mesure ; le correcteur agit pour annuler $\varepsilon$.
- Boucle ouverte : la commande est envoyée sans contrôler le résultat. Pas de capteur de retour : simple, mais sensible aux perturbations.
- Boucle fermée (asservissement) : un capteur mesure la sortie, le comparateur calcule $\varepsilon = $ consigne $-$ mesure, le correcteur ajuste la commande.
- Avantages de la boucle fermée : rejet des perturbations, précision accrue, robustesse aux variations de paramètres.
- Inconvénient : risque d'instabilité si le correcteur est mal réglé (oscillations, divergence).
- Schéma-blocs : consigne $\to$ comparateur $\to$ correcteur $\to$ actionneur $\to$ processus $\to$ sortie, avec retour par le capteur.
- Fonction de transfert en boucle fermée à retour unitaire : $H_{BF} = \dfrac{H_{BO}}{1 + H_{BO}}$.
Exemple
Un radiateur sans thermostat (boucle ouverte) chauffe à puissance fixe : si une fenêtre s'ouvre, la pièce refroidit sans réaction. Avec thermostat (boucle fermée), le capteur de température détecte la baisse, l'écart $\varepsilon$ grandit, et le correcteur relance le chauffage jusqu'à retrouver la consigne de $20\,°\mathrm{C}$.
Piège à éviter
Le comparateur fait une soustraction ($\varepsilon = $ consigne $-$ mesure), pas une addition. Un retour additionné ($+$ au lieu de $-$) créerait une contre-réaction positive qui emballe le système au lieu de le stabiliser.
Le correcteur PID combine trois réflexes complémentaires : réagir au présent (P), corriger le passé (I) et anticiper le futur (D). Chacun apporte un bénéfice... et un défaut. Les doser, c'est régler le système.
- Proportionnel (P) : $u = K_p\,\varepsilon$. Augmente la réactivité, mais laisse une erreur statique (sauf si le système contient déjà un intégrateur).
- Intégral (I) : $u_I = K_i \displaystyle\int \varepsilon\,\mathrm{d}t$. Annule l'erreur statique en accumulant les écarts, mais ralentit et favorise les dépassements.
- Dérivé (D) : $u_D = K_d \dfrac{\mathrm{d}\varepsilon}{\mathrm{d}t}$. Anticipe les variations rapides, réduit les dépassements, mais amplifie le bruit.
- PID complet : $u(t) = K_p\,\varepsilon(t) + K_i \displaystyle\int \varepsilon(t)\,\mathrm{d}t + K_d \dfrac{\mathrm{d}\varepsilon(t)}{\mathrm{d}t}$.
- Effet des gains : augmenter $K_p$ accélère mais déstabilise ; augmenter $K_i$ précise mais déstabilise ; augmenter $K_d$ stabilise mais sensibilise au bruit.
- En SI Terminale, on étudie surtout les correcteurs P et PI ; le PID complet est abordé qualitativement.
Exemple
Un asservissement de position garde une erreur statique de $4\,\%$ avec un simple correcteur P. On ajoute une action intégrale (correcteur PI) : l'intégrale accumule cet écart résiduel et augmente la commande tant que $\varepsilon \neq 0$, jusqu'à amener l'erreur statique à zéro en régime permanent.
Piège à éviter
L'action dérivée réagit à la pente de $\varepsilon$, donc à la moindre fluctuation : sur un signal bruité, elle amplifie le bruit et peut rendre la commande nerveuse. On la filtre toujours, et on l'évite si la mesure est peu propre.
On juge un système asservi sur trois critères, qu'on lit directement sur sa réponse indicielle (réponse à un échelon). Le hic : améliorer l'un dégrade souvent les autres. Régler, c'est arbitrer.
- Précision : mesurée par l'erreur statique $\varepsilon_s$ (écart consigne-sortie en régime permanent). Objectif : $\varepsilon_s = 0$.
- Rapidité : mesurée par le temps de réponse à $5\,\%$ ($t_{r5\%}$), durée pour que la sortie reste dans $\pm 5\,\%$ de la valeur finale.
- Stabilité : un système est stable si sa sortie converge vers une valeur finie ; instable si elle diverge ou oscille indéfiniment.
- Dépassement ($D\%$) : premier pic au-dessus de la valeur finale, en pourcentage. Objectif courant : $D\% < 10\,\%$.
- Ces critères sont souvent contradictoires : gagner en rapidité peut coûter en stabilité (compromis de réglage).
- L'analyse se mène sur la réponse indicielle : on observe le régime transitoire puis le régime permanent.
Exemple
Pour un correcteur P, l'erreur statique d'un système de gain de boucle $K_p$ vaut $\varepsilon_s = \dfrac{1}{1 + K_p}$ (consigne unitaire). Avec $K_p = 9$ : $\varepsilon_s = \dfrac{1}{10} = 0{,}10$, soit $10\,\%$. Pour $K_p = 49$ : $\varepsilon_s = 0{,}02$, soit $2\,\%$ — plus précis, mais au prix d'un risque d'oscillations accru.
Piège à éviter
Un système qui oscille en convergeant reste stable : seule une oscillation d'amplitude croissante (ou une divergence) traduit l'instabilité. Ne confonds pas « ça oscille un peu » avec « c'est instable ».
Un système complexe se décrit comme un assemblage de blocs, chacun portant une fonction de transfert $H(p)$ dans le domaine de Laplace. Quelques règles simples permettent de réduire tout le schéma à une seule fonction globale.
- Un bloc représente une fonction de transfert $H(p) = \dfrac{S(p)}{E(p)}$ (sortie sur entrée en transformée de Laplace).
- Blocs en série : $H = H_1 \times H_2$ (les fonctions de transfert se multiplient).
- Blocs en parallèle : $H = H_1 + H_2$ (elles s'ajoutent).
- Boucle de retour : $H_{BF} = \dfrac{H_{directe}}{1 + H_{directe}\,H_{retour}}$ ; à retour unitaire, $H_{BF} = \dfrac{H_{BO}}{1 + H_{BO}}$.
- Réduction : on simplifie le schéma pas à pas pour obtenir la fonction de transfert globale.
- Systèmes types : 1er ordre $H = \dfrac{K}{1 + \tau p}$ et 2nd ordre $H = \dfrac{K}{1 + \dfrac{2\xi}{\omega_n}\,p + \dfrac{p^2}{\omega_n^2}}$.
Exemple
Deux blocs en série $H_1 = 5$ et $H_2 = \dfrac{1}{1 + 2p}$ donnent une boucle ouverte $H_{BO} = H_1 H_2 = \dfrac{5}{1 + 2p}$. À retour unitaire : $H_{BF} = \dfrac{H_{BO}}{1 + H_{BO}} = \dfrac{5}{(1 + 2p) + 5} = \dfrac{5}{6 + 2p} = \dfrac{5/6}{1 + \frac{1}{3}p}$ — encore un 1er ordre, de gain $\dfrac{5}{6}$ et de constante de temps $\tau = \dfrac{1}{3}\,\mathrm{s}$.
Piège à éviter
En série, on multiplie les fonctions de transfert, on ne les additionne pas. L'addition est réservée aux blocs en parallèle. Inverser les deux est l'erreur classique de l'algèbre des blocs.
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Questions fréquentes
Les points clés à retenir sur Asservissement et régulation : boucle ouverte/fermée, correcteurs PID, extraits du quiz de révision.
Quelle est la différence fondamentale entre boucle ouverte et boucle fermée ?
Réponse :
La boucle fermée utilise un retour d'information (capteur) pour corriger l'écart, pas la boucle ouverte
La boucle fermée mesure la sortie par un capteur et la compare à la consigne pour corriger l'écart $\varepsilon$. La boucle ouverte commande à l'aveugle, sans retour d'information.
L'écart $\varepsilon$ dans un système asservi se calcule par :
Réponse :
$\varepsilon = $ consigne $-$ mesure
$\varepsilon = $ consigne $-$ mesure. Le comparateur fait une soustraction : tant que la mesure n'égale pas la consigne, $\varepsilon \neq 0$ et le correcteur agit dans le bon sens.
L'action intégrale d'un correcteur PI permet de :
Réponse :
Annuler l'erreur statique en régime permanent
L'action intégrale $K_i \int \varepsilon\,\mathrm{d}t$ accumule les écarts : tant que $\varepsilon \neq 0$, l'intégrale croît et ajuste la commande, ce qui finit par annuler l'erreur statique. C'est l'action dérivée, et non l'intégrale, qui amplifie le bruit.
Le temps de réponse à $5\,\%$ mesure :
Réponse :
La rapidité du système
Le temps de réponse à $5\,\%$ ($t_{r5\%}$) est la durée pour que la sortie entre et reste dans la bande $\pm 5\,\%$ autour de la valeur finale : c'est un indicateur de rapidité.
Deux blocs en série $H_1$ et $H_2$ ont pour fonction de transfert équivalente :
Réponse :
$H_1 \times H_2$
En série, les fonctions de transfert se multiplient : $H_{eq} = H_1 \times H_2$. L'addition $H_1 + H_2$ correspond à deux blocs en parallèle.
L'action dérivée du correcteur PID :
Réponse :
Anticipe les variations rapides de l'écart et limite les dépassements
L'action dérivée réagit à la vitesse de variation de l'écart $\dfrac{\mathrm{d}\varepsilon}{\mathrm{d}t}$ : elle anticipe et freine les variations rapides, réduisant les dépassements. En revanche elle amplifie le bruit. C'est l'action intégrale qui annule l'erreur statique.
La fonction de transfert en boucle fermée avec retour unitaire est :
Réponse :
$H_{BF} = \dfrac{H_{BO}}{1 + H_{BO}}$
Formule de Black à retour unitaire : $H_{BF} = \dfrac{H_{BO}}{1 + H_{BO}}$, où $H_{BO}$ est la fonction de transfert en boucle ouverte.
Un système est instable si :
Réponse :
La sortie diverge ou oscille avec une amplitude croissante
Un système instable voit sa sortie diverger ou osciller avec une amplitude croissante. Une sortie qui oscille puis converge reste, elle, stable.
L'augmentation du gain $K_p$ d'un correcteur proportionnel :
Réponse :
Diminue l'erreur statique mais peut dégrader la stabilité
Augmenter $K_p$ réduit l'erreur statique ($\varepsilon_s = \dfrac{1}{1 + K_p}$) et accélère la réponse, mais un $K_p$ trop fort provoque des oscillations et peut rendre le système instable. Seule l'action intégrale annule vraiment l'erreur statique.
Un système du 1er ordre a pour fonction de transfert :
Réponse :
$H(p) = \dfrac{K}{1 + \tau p}$
Un 1er ordre s'écrit $H(p) = \dfrac{K}{1 + \tau p}$, avec $K$ le gain statique et $\tau$ la constante de temps ; sa réponse indicielle est une exponentielle. La 3e proposition est un système du 2nd ordre.