Physique-Chimie (Spé) — Mouvement et interactions
Statique des fluides
Pression, loi de Mariotte, pression dans un fluide, poussée d'Archimède
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Résumé
La statique des fluides étudie le comportement des fluides (liquides et gaz) au repos. La pression $p$ est la force exercée par unité de surface : $p = \dfrac{F}{S}$, en pascal ($\mathrm{Pa}$). La pression atmosphérique au niveau de la mer vaut environ $1{,}013 \times 10^{5}\ \mathrm{Pa}$ (soit $1\ \mathrm{atm}$ ou $1\,013\ \mathrm{hPa}$). Pour un gaz à température constante, la loi de Mariotte établit que le produit $p\,V$ est constant, soit $p_1 V_1 = p_2 V_2$ : si on comprime un gaz ($V$ diminue), sa pression augmente. Dans un fluide incompressible au repos, la pression augmente avec la profondeur selon la loi fondamentale de la statique des fluides : $\Delta p = \rho\,g\,\Delta h$, où $\rho$ est la masse volumique du fluide et $\Delta h$ la différence de profondeur. Par exemple, à $10\ \mathrm{m}$ de profondeur dans l'eau, la pression augmente d'environ $1\ \mathrm{atm}$. La poussée d'Archimède est la force verticale, dirigée vers le haut, exercée par un fluide sur tout objet immergé. Son intensité est égale au poids du fluide déplacé : $F_A = \rho_{\text{fluide}}\,g\,V_{\text{immergé}}$. Un objet flotte si la poussée d'Archimède compense son poids, c'est-à-dire si sa masse volumique moyenne est inférieure à celle du fluide.
La pression est partout : dans l'air qui nous entoure, dans l'eau d'une piscine, dans les pneus d'une voiture. Comprendre ce concept, c'est comprendre pourquoi nos oreilles se bouchent en altitude ou en plongée.
La pression dans un fluide augmente linéairement avec la profondeur : $\Delta p = \rho\,g\,\Delta h$.
- Pression $p = \dfrac{F}{S}$, avec $F$ la force (en $\mathrm{N}$) et $S$ la surface (en $\mathrm{m^2}$). Unité SI : le pascal ($\mathrm{Pa}$).
- $1\ \mathrm{Pa} = 1\ \mathrm{N/m^2}$. Autres unités : $1\ \mathrm{atm} = 1{,}013 \times 10^{5}\ \mathrm{Pa} = 1\,013\ \mathrm{hPa} = 760\ \mathrm{mmHg}$.
- Pression atmosphérique : due au poids de la colonne d'air au-dessus de nous, $\approx 1{,}013 \times 10^{5}\ \mathrm{Pa}$ au niveau de la mer.
- La pression atmosphérique diminue avec l'altitude (il y a moins d'air au-dessus).
- La pression est une grandeur scalaire (pas de direction), mais elle s'exerce dans toutes les directions à l'intérieur d'un fluide.
- Expérience de Torricelli : un tube de mercure retourné dans une cuve permet de mesurer la pression atmosphérique ($760\ \mathrm{mm}$ de $\mathrm{Hg}$).
Exemple
Un randonneur de $70\ \mathrm{kg}$ porte des raquettes de surface totale $0{,}20\ \mathrm{m^2}$. La pression exercée sur la neige : $p = \dfrac{mg}{S} = \dfrac{70 \times 9{,}81}{0{,}20} \approx 3\,434\ \mathrm{Pa} \approx 3{,}4\ \mathrm{kPa}$. Sans raquettes (surface d'un pied $\approx 0{,}04\ \mathrm{m^2}$) : $p = \dfrac{686}{0{,}04} \approx 17\,150\ \mathrm{Pa}$. Les raquettes réduisent la pression par $5$, d'où moins d'enfoncement.
Piège à éviter
La pression est une grandeur scalaire, pas un vecteur. Elle n'a pas de direction : dans un fluide, elle s'exerce dans toutes les directions avec la même intensité en un point donné.
La loi de Mariotte relie pression et volume d'un gaz à température constante. C'est une loi simple mais puissante, qui explique aussi bien le fonctionnement d'une seringue que la respiration.
- Pour une quantité de gaz donnée, à température constante : $p_1 \times V_1 = p_2 \times V_2$.
- Si on comprime un gaz ($V$ diminue), sa pression augmente ; si on le détend ($V$ augmente), sa pression diminue.
- Exemple : une seringue bouchée ; en poussant le piston ($V$ diminue), l'air comprimé oppose une résistance ($p$ augmente).
- C'est un cas particulier de la loi des gaz parfaits $p\,V = nRT$ (à $n$ et $T$ constants, $p\,V = \text{constante}$).
- Attention : la loi de Mariotte ne s'applique qu'à température constante (transformation isotherme).
- Application : pression dans une bouteille de plongée, volume d'air dans les poumons en profondeur.
Exemple
Un plongeur gonfle ses poumons ($V_1 = 6\ \mathrm{L}$) en surface ($p_1 = 1{,}0 \times 10^{5}\ \mathrm{Pa}$). Il descend à $20\ \mathrm{m}$ de profondeur ($p_2 = 3{,}0 \times 10^{5}\ \mathrm{Pa}$, car $+2\ \mathrm{atm}$). Par Mariotte : $V_2 = \dfrac{p_1 V_1}{p_2} = \dfrac{1{,}0 \times 6}{3{,}0} = 2\ \mathrm{L}$. Le volume d'air est divisé par $3$.
Piège à éviter
La loi de Mariotte ne s'applique qu'à température constante. Si la température change (ex : gaz chauffé), il faut utiliser la loi des gaz parfaits complète $p\,V = nRT$.
Dans un fluide au repos, la pression augmente avec la profondeur de manière prévisible. Cette loi fondamentale explique pourquoi les barrages sont plus épais à la base et pourquoi vos oreilles se bouchent en plongeant.
- Loi fondamentale de la statique des fluides : $p_B - p_A = \rho\,g\,(z_A - z_B)$, soit $\Delta p = \rho\,g\,\Delta h$.
- $\rho$ = masse volumique du fluide (en $\mathrm{kg/m^3}$), $g \approx 9{,}81\ \mathrm{m/s^2}$, $\Delta h$ = différence de profondeur (en $\mathrm{m}$).
- $\rho_{\text{eau}} = 1\,000\ \mathrm{kg/m^3}$, $\rho_{\text{mercure}} = 13\,600\ \mathrm{kg/m^3}$, $\rho_{\text{air}} \approx 1{,}2\ \mathrm{kg/m^3}$.
- À $10\ \mathrm{m}$ de profondeur dans l'eau : $\Delta p = 1\,000 \times 9{,}81 \times 10 \approx 10^{5}\ \mathrm{Pa} \approx 1\ \mathrm{atm}$ supplémentaire.
- La pression ne dépend que de la profondeur, pas de la forme du récipient (paradoxe hydrostatique).
- Tous les points situés à la même profondeur dans un même fluide au repos sont à la même pression.
- Application : les barrages sont plus épais à leur base car la pression y est plus grande.
Exemple
Un sous-marin est à $150\ \mathrm{m}$ de profondeur dans la mer ($\rho_{\text{eau de mer}} = 1\,025\ \mathrm{kg/m^3}$). Pression due à l'eau : $\Delta p = 1\,025 \times 9{,}81 \times 150 \approx 1{,}51 \times 10^{6}\ \mathrm{Pa} \approx 15\ \mathrm{atm}$. Pression totale : $p = p_{\text{atm}} + \Delta p \approx 1 + 15 = 16\ \mathrm{atm}$.
Piège à éviter
Dans $\Delta p = \rho\,g\,\Delta h$, $\Delta h$ est une différence de profondeur (positive vers le bas) : la pression augmente quand on descend. Erreur fréquente : confondre altitude et profondeur dans le signe.
La poussée d'Archimède explique pourquoi certains objets flottent et d'autres coulent. C'est une force qui s'exerce sur tout objet immergé, égale au poids du fluide déplacé.
- Tout corps immergé dans un fluide subit une force verticale, dirigée vers le haut : la poussée d'Archimède.
- Intensité : $F_A = \rho_{\text{fluide}}\,g\,V_{\text{immergé}}$ (poids du volume de fluide déplacé).
- Un objet flotte si $F_A \geq P_{\text{objet}}$, c'est-à-dire si $\rho_{\text{objet}} < \rho_{\text{fluide}}$.
- Un objet coule si $\rho_{\text{objet}} > \rho_{\text{fluide}}$ (la poussée d'Archimède est insuffisante pour compenser le poids).
- Le bois ($\rho \approx 500$ à $800\ \mathrm{kg/m^3}$) flotte sur l'eau ($\rho = 1\,000\ \mathrm{kg/m^3}$), le fer ($\rho \approx 7\,800\ \mathrm{kg/m^3}$) coule.
- Un bateau en acier flotte car il enferme beaucoup d'air : sa masse volumique moyenne est inférieure à celle de l'eau.
- Application : les sous-marins ajustent leur flottabilité en remplissant ou vidant leurs ballasts (réservoirs d'eau).
Exemple
Un ballon de baudruche de volume $V = 0{,}015\ \mathrm{m^3}$ est immergé dans l'eau ($\rho = 1\,000\ \mathrm{kg/m^3}$). Poussée d'Archimède : $F_A = \rho\,g\,V = 1\,000 \times 9{,}81 \times 0{,}015 \approx 147\ \mathrm{N}$. Le poids du ballon gonflé (air + caoutchouc) $\approx 0{,}03 \times 9{,}81 \approx 0{,}29\ \mathrm{N}$. Comme $F_A \gg P$, le ballon remonte violemment.
Piège à éviter
Dans la formule $F_A = \rho\,g\,V$, le $\rho$ est celui du fluide (pas de l'objet !) et le $V$ est le volume immergé de l'objet (pas son volume total si l'objet flotte partiellement).
Les exercices sur la statique des fluides sont souvent source de confusions sur les unités, les signes et les grandeurs utilisées. Voici un récapitulatif des pièges les plus fréquents.
- Ne pas confondre pression ($p$ en $\mathrm{Pa}$, scalaire) et force pressante ($F$ en $\mathrm{N}$, vecteur).
- Dans $\Delta p = \rho\,g\,\Delta h$, $\Delta h$ est bien une différence de profondeur (pas d'altitude) : la pression augmente quand on descend.
- La poussée d'Archimède utilise la masse volumique du fluide, pas celle de l'objet.
- Unités : toujours convertir en SI ($\mathrm{Pa}$, $\mathrm{m}$, $\mathrm{m^3}$, $\mathrm{kg/m^3}$) avant de calculer.
- Piège de la loi de Mariotte : elle n'est valable qu'à température constante et pour un gaz (pas un liquide, car les liquides sont quasi incompressibles).
Exemple
Erreur type : on calcule la poussée d'Archimède sur un cube d'acier ($\rho = 7\,800\ \mathrm{kg/m^3}$, côté $10\ \mathrm{cm} = 0{,}1\ \mathrm{m}$) dans l'eau, $V = 0{,}001\ \mathrm{m^3}$. $F_A = 1\,000 \times 9{,}81 \times 0{,}001 \approx 9{,}81\ \mathrm{N}$. Poids : $P = 7\,800 \times 0{,}001 \times 9{,}81 \approx 76{,}5\ \mathrm{N}$. Comme $P > F_A$, l'objet coule (résultat cohérent car $\rho_{\text{acier}} > \rho_{\text{eau}}$).
Piège à éviter
Toujours convertir en unités SI avant de calculer : pressions en $\mathrm{Pa}$ (pas en $\mathrm{hPa}$ ou $\mathrm{atm}$), volumes en $\mathrm{m^3}$ (pas en $\mathrm{L}$), masses volumiques en $\mathrm{kg/m^3}$. Un oubli de conversion = résultat faux assuré.
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Questions fréquentes
Les points clés à retenir sur Statique des fluides, extraits du quiz de révision.
Quelle est l'unité SI de la pression ?
Réponse :
Le pascal ($\mathrm{Pa}$)
L'unité SI de la pression est le pascal ($\mathrm{Pa}$). $1\ \mathrm{Pa} = 1\ \mathrm{N/m^2}$. Le bar et l'atmosphère sont des unités courantes mais pas des unités SI.
Selon la loi de Mariotte, si on double le volume d'un gaz à température constante, sa pression :
Réponse :
Est divisée par deux
La loi de Mariotte dit $p\,V = \text{constante}$ (à $T$ constante). Si $V$ est doublé ($V_2 = 2V_1$), alors $p_2 = \dfrac{p_1 V_1}{V_2} = \dfrac{p_1}{2}$. La pression est divisée par deux.
À quelle profondeur dans l'eau la pression augmente-t-elle d'environ $1\ \mathrm{atm}$ ($10^{5}\ \mathrm{Pa}$) ?
Réponse :
$10\ \mathrm{m}$
$\Delta p = \rho\,g\,\Delta h = 1\,000 \times 10 \times 10 = 10^{5}\ \mathrm{Pa} \approx 1\ \mathrm{atm}$. Tous les $10\ \mathrm{m}$ de profondeur dans l'eau, la pression augmente d'environ $1$ atmosphère.
La poussée d'Archimède s'exerce :
Réponse :
Verticalement vers le haut
La poussée d'Archimède est toujours verticale et dirigée vers le haut. Elle s'exerce sur TOUT objet immergé, qu'il flotte ou qu'il coule.