Équation du second degré
Définition
Équation de la forme ax² + bx + c = 0 (avec a ≠ 0), dont les solutions dépendent du signe du discriminant Δ = b² - 4ac.
Explication
Le discriminant Δ détermine le nombre de solutions : si Δ > 0, deux solutions réelles x₁ = (-b - √Δ) / 2a et x₂ = (-b + √Δ) / 2a ; si Δ = 0, une solution double x₀ = -b / 2a ; si Δ < 0, pas de solution réelle. La forme factorisée est a(x - x₁)(x - x₂). Le sommet de la parabole est en x = -b / 2a.
Exemples
- 1
x² - 5x + 6 = 0 → Δ = 25 - 24 = 1 > 0 → x₁ = 2 et x₂ = 3.
- 2
x² - 4x + 4 = 0 → Δ = 0 → solution double x₀ = 2.
- 3
2x² + 3x + 5 = 0 → Δ = 9 - 40 = -31 < 0 → pas de solution réelle.
L'essentiel à retenir
- Quand Δ > 0, la somme des racines vaut x₁ + x₂ = −b/a et leur produit x₁ × x₂ = c/a.
- Le trinôme ax² + bx + c est du signe de a à l'extérieur des racines et du signe opposé entre les racines.
- Si Δ < 0, le trinôme ne s'annule jamais et garde le signe de a sur tout ℝ.
- La forme canonique a(x − α)² + β, avec α = −b/(2a) et β = f(α), donne directement le sommet S(α ; β) de la parabole.
Erreurs fréquentes
- Mal calculer b² quand b est négatif : pour b = −3, b² = (−3)² = 9, et non −9. Mets toujours b entre parenthèses.
- Diviser par x pour résoudre x² = 3x : tu perds la solution x = 0. Factorise plutôt : x(x − 3) = 0, donc x = 0 ou x = 3.
- Sortir le discriminant pour une équation incomplète comme x² − 9 = 0 : une identité remarquable, (x − 3)(x + 3) = 0, est plus rapide et plus sûre.
Équation du second degré au bac
En contrôle comme à l'examen, le second degré sert surtout d'outil : résoudre une équation, étudier le signe d'une dérivée qui est un trinôme, ou trouver les points d'intersection de deux courbes. La rédaction attendue : calcul de Δ détaillé, conclusion sur le nombre de solutions, puis solutions exactes (avec √ si besoin, pas de valeurs approchées sauf demande). Dans la partie automatismes sans calculatrice de l'épreuve anticipée de mathématiques de Première, on attend surtout des réflexes : repérer une racine évidente, factoriser, lire le signe d'un trinôme sur sa parabole.
Questions fréquentes
Comment trouver une racine évidente ?
Teste x = 1 (la somme a + b + c est nulle), x = −1 (a − b + c = 0), puis 2 ou −2. Si x₁ est racine, l'autre s'obtient avec le produit : x₂ = c/(a × x₁).
Comment factoriser ax² + bx + c ?
Si Δ > 0, c'est a(x − x₁)(x − x₂) ; si Δ = 0, c'est a(x − x₀)² ; si Δ < 0, le trinôme ne se factorise pas dans ℝ.
Les chapitres où réviser Équation du second degré
Notions liées
Révise Équation du second degré dans le programme
Toutes les définitions en Mathématiques
Retrouve toutes les notions clés de Mathématiques pour le Bac.
Voir le glossaire Mathématiques