Fonction
Définition
Relation qui associe à chaque élément d'un ensemble de départ (antécédent) un unique élément d'un ensemble d'arrivée (image).
Explication
Une fonction f : x → f(x) transforme chaque valeur x en une valeur f(x). On étudie son domaine de définition, ses variations (croissance/décroissance), ses extremums et ses limites. Les fonctions de référence : affine (ax+b), carré (x²), inverse (1/x), racine (√x), exponentielle (eˣ), logarithme (ln x).
Exemples
- 1
f(x) = 2x + 1 est une fonction affine, son graphe est une droite de pente 2.
- 2
f(x) = x² est la fonction carré, décroissante sur ]-∞;0] et croissante sur [0;+∞[.
- 3
f(x) = eˣ est toujours positive et toujours croissante.
L'essentiel à retenir
- Chaque x du domaine a une seule image, mais une valeur peut avoir zéro, un ou plusieurs antécédents.
- Pour trouver l'ensemble de définition, repère les interdits : dénominateur non nul, nombre sous une racine carrée positif ou nul, nombre dans un ln strictement positif.
- f est paire si f(−x) = f(x) (courbe symétrique par rapport à l'axe des ordonnées) et impaire si f(−x) = −f(x) (courbe symétrique par rapport à l'origine).
- Les solutions de f(x) = k sont les abscisses des points d'intersection de la courbe avec la droite horizontale y = k.
Erreurs fréquentes
- Confondre image et antécédent sur un graphique : l'image se lit sur l'axe des ordonnées, l'antécédent sur l'axe des abscisses.
- Croire que f(x + 1) = f(x) + 1 ou que f(2x) = 2f(x) : pour f(x) = x², f(x + 1) = x² + 2x + 1.
- Conclure qu'une fonction est croissante parce que f(1) < f(3) : deux valeurs ne suffisent pas, il faut une étude sur tout l'intervalle.
Fonction au bac
La notion de fonction est partout, mais c'est la lecture graphique et la manipulation d'expressions qui sont le plus évaluées directement. Dans la partie automatismes sans calculatrice de l'épreuve anticipée de mathématiques de Première, attends-toi à lire une image ou un antécédent sur une courbe, à résoudre graphiquement f(x) ≤ k, ou à reconnaître la courbe d'une fonction de référence. Dans les exercices longs, le correcteur vérifie que tu donnes l'ensemble de définition avant de calculer, et que tes réponses graphiques sont écrites sous forme d'ensemble de solutions, avec des crochets correctement orientés.
Questions fréquentes
Comment trouver l'antécédent d'un nombre ?
Résous l'équation f(x) = k. Par exemple, avec f(x) = 2x + 1, l'antécédent de 7 vérifie 2x + 1 = 7, donc x = 3.
Quelle est la différence entre une fonction affine et une fonction linéaire ?
Une fonction affine s'écrit ax + b ; une fonction linéaire est le cas particulier b = 0, donc ax, dont la droite passe par l'origine.
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