Dérivée
Définition
La dérivée d'une fonction en un point mesure le taux de variation instantané de cette fonction, soit la pente de la tangente à la courbe en ce point.
Explication
Si f est une fonction, sa dérivée f'(a) en un point a est la limite du taux de variation (f(a+h) - f(a))/h quand h tend vers 0. Géométriquement, c'est la pente de la tangente. Les formules de base : (xⁿ)' = nxⁿ⁻¹, (eˣ)' = eˣ, (ln x)' = 1/x, (sin x)' = cos x.
Exemples
- 1
f(x) = x² → f'(x) = 2x. Au point x = 3, la pente de la tangente est f'(3) = 6.
- 2
f(x) = eˣ → f'(x) = eˣ. La fonction exponentielle est sa propre dérivée.
- 3
Application : si f'(x) > 0 sur un intervalle, alors f est croissante sur cet intervalle.
L'essentiel à retenir
- Produit et quotient : (uv)' = u'v + uv' et (u/v)' = (u'v − uv')/v², avec v qui ne s'annule pas.
- Composées usuelles : (eᵘ)' = u'eᵘ, (ln u)' = u'/u avec u > 0, et (√x)' = 1/(2√x) pour x > 0.
- L'équation de la tangente à la courbe de f au point d'abscisse a est y = f'(a)(x − a) + f(a).
- Le signe de f' donne les variations de f : si f' s'annule en changeant de signe en a, f admet un extremum local en a.
Erreurs fréquentes
- Inverser l'ordre au numérateur du quotient : c'est u'v − uv', et non uv' − u'v, sinon tout le signe de f' est faux.
- Oublier le facteur u' dans une composée : la dérivée de e^(3x) est 3e^(3x), pas e^(3x), et celle de (2x + 1)² est 2 × 2 × (2x + 1) = 4(2x + 1).
- Confondre f'(a) et f(a) dans la tangente : f'(a) est le coefficient directeur, f(a) est l'ordonnée du point de contact.
Dérivée au bac
La dérivée est présente dans presque tous les sujets d'analyse. On te demande de calculer f'(x), d'étudier son signe (souvent en factorisant ou avec un tableau de signes), puis de dresser le tableau de variations complet avec les valeurs aux bornes. Le correcteur vérifie que tu nommes la formule utilisée (u × v, u/v, eᵘ), que tu justifies le signe de chaque facteur et que tu relies clairement « f' > 0 » à « f croissante ». Dans la partie automatismes sans calculatrice de l'épreuve anticipée de mathématiques de Première, attends-toi à des dérivées directes de polynômes et à la lecture graphique d'un nombre dérivé comme pente d'une tangente.
Questions fréquentes
Comment trouver l'équation d'une tangente ?
Calcule f(a) et f'(a), puis remplace dans y = f'(a)(x − a) + f(a) et développe. Par exemple, pour f(x) = x² en a = 1 : f(1) = 1, f'(1) = 2, donc y = 2(x − 1) + 1 = 2x − 1.
Quelle est la dérivée de 1/x ?
La dérivée de 1/x est −1/x² sur ]−∞ ; 0[ et sur ]0 ; +∞[. Plus généralement, (1/v)' = −v'/v².
Pourquoi la dérivée donne-t-elle les variations d'une fonction ?
f'(x) est la pente de la tangente : une pente positive sur tout un intervalle signifie que la courbe monte, donc que f est croissante sur cet intervalle. C'est un théorème du cours que tu peux citer tel quel.
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