Suite géométrique
Définition
Suite de nombres où chaque terme est obtenu en multipliant le précédent par un nombre fixe appelé raison (q).
Explication
Une suite géométrique (uₙ) de premier terme u₀ et de raison q vérifie : uₙ₊₁ = q × uₙ. Le terme général est uₙ = u₀ × qⁿ. Si |q| < 1, la suite converge vers 0. Si q > 1, elle diverge vers +∞. La somme des n premiers termes est S = u₀ × (1 - qⁿ)/(1 - q).
Exemples
- 1
u₀ = 2, q = 3 → 2, 6, 18, 54, 162... (×3 à chaque fois).
- 2
u₀ = 100, q = 0,5 → 100, 50, 25, 12.5... (converge vers 0).
- 3
Application : un capital de 1000€ placé à 5% par an suit une suite géométrique de raison 1,05.
L'essentiel à retenir
- Entre deux rangs quelconques : uₙ = uₚ × qⁿ⁻ᵖ, par exemple uₙ = u₁ × qⁿ⁻¹ si la suite commence à u₁.
- Une hausse de t % correspond à une raison q = 1 + t/100, une baisse de t % à q = 1 − t/100.
- Pour q ≠ 1 : 1 + q + q² + … + qⁿ = (1 − qⁿ⁺¹)/(1 − q).
- Une somme de termes consécutifs vaut (premier terme) × (1 − q^(nombre de termes))/(1 − q).
Erreurs fréquentes
- Prendre q = 0,05 pour une hausse de 5 % : la bonne raison est 1,05, et une baisse de 20 % donne q = 0,8.
- Se tromper d'exposant dans la somme : de u₀ à uₙ il y a n + 1 termes, donc l'exposant est n + 1.
- Montrer que uₙ₊₁/uₙ est constant sans vérifier que uₙ ne s'annule pas : il est plus sûr d'établir directement que uₙ₊₁ = q × uₙ.
Suite géométrique au bac
Le grand classique est la suite arithmético-géométrique, du type uₙ₊₁ = 0,8uₙ + 50. L'énoncé introduit une suite auxiliaire vₙ = uₙ − 250 : tu dois montrer que vₙ₊₁ = 0,8vₙ, en déduire vₙ puis uₙ en fonction de n, et enfin la limite. On te demande aussi un seuil, avec le logarithme ou un algorithme Python en boucle while. Le correcteur vérifie le calcul de vₙ₊₁ écrit en entier et la justification de la limite par le fait que 0 < q < 1. Dans la partie automatismes sans calculatrice de l'épreuve anticipée de mathématiques de Première, les coefficients multiplicateurs sont incontournables.
Questions fréquentes
Comment montrer qu'une suite est géométrique ?
Exprime uₙ₊₁ en fonction de uₙ et arrive à une écriture uₙ₊₁ = q × uₙ avec q constant. Conclus en donnant la raison et le premier terme.
Quelle est la limite d'une suite géométrique ?
Pour u₀ > 0 : si 0 ≤ q < 1, qⁿ tend vers 0 et la suite converge vers 0 ; si q > 1, la suite tend vers +∞ ; si q = 1, elle est constante.
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