Maths (Spé) — Algèbre et analyse
Suites numériques (arithmétiques et géométriques)
Définition, terme général, somme et variations des suites arithmétiques et géométriques
Résumé synthétiqueFiche en 4 sectionsQuiz de 12 questionsGratuit, sans pub
Résumé
Une suite numérique est une fonction de ℕ (ou d'une partie de ℕ) dans ℝ : à chaque entier n, on associe un nombre réel u(n). Une suite arithmétique est une suite où l'on passe d'un terme au suivant en ajoutant toujours la même valeur r (la raison) : u(n+1) = u(n) + r. Son terme général est u(n) = u(0) + nr. Par exemple, la suite 2, 5, 8, 11, ... est arithmétique de raison 3 et de premier terme u(0) = 2. Une suite géométrique est une suite où l'on passe d'un terme au suivant en multipliant par la même valeur q (la raison) : u(n+1) = q × u(n). Son terme général est u(n) = u(0) × q^n. Par exemple, la suite 3, 6, 12, 24, ... est géométrique de raison 2. La somme des n+1 premiers termes d'une suite arithmétique est S = (n+1)(u(0)+u(n))/2, et celle d'une suite géométrique (q ≠ 1) est S = u(0) × (1 - q^(n+1))/(1 - q).
Les suites numériques modélisent des phénomènes qui évoluent pas à pas : placements financiers, populations, doses de médicament. C'est un chapitre fondamental pour la Terminale.
- Une suite (u_n) peut être définie de façon explicite : u_n = f(n). Exemple : u_n = 3n + 1 donne u_0 = 1, u_1 = 4, u_2 = 7
- Une suite peut être définie par récurrence : u_{n+1} = f(u_n) avec u_0 donné. Exemple : u_0 = 2 et u_{n+1} = u_n + 5
- Une suite est croissante si pour tout n, u_{n+1} ≥ u_n (on étudie le signe de u_{n+1} - u_n)
- Une suite est décroissante si pour tout n, u_{n+1} ≤ u_n
- Pour une suite définie explicitement u_n = f(n), on peut étudier les variations de f sur [0 ; +∞[
- Représentation graphique : on place les points (n ; u_n) dans un repère. Suite arithmétique → points alignés ; suite géométrique → croissance/décroissance exponentielle
Exemple
Définition explicite : u_n = 2n + 3 → u_0 = 3, u_1 = 5, u_2 = 7. Définition par récurrence : u_0 = 3, u_{n+1} = u_n + 2 → même suite ! Mais la forme explicite permet de calculer directement u_100 = 203, tandis que la récurrence nécessite de calculer les 100 termes un par un.
Piège à éviter
Ne confondez pas suite explicite et suite par récurrence. La forme explicite u_n = f(n) donne directement n'importe quel terme. La récurrence u_{n+1} = f(u_n) nécessite de connaître le terme précédent. Au Bac, on demande souvent de passer de l'une à l'autre.
La suite arithmétique est la plus simple : on ajoute toujours la même valeur. Elle modélise les phénomènes à croissance constante (intérêts simples, salaire avec augmentation fixe).
- Définition : u_{n+1} = u_n + r pour tout n, où r est la raison (constante)
- Terme général : u_n = u_0 + n × r (ou u_n = u_p + (n-p) × r à partir d'un terme quelconque)
- Si r > 0 la suite est strictement croissante ; si r < 0 elle est strictement décroissante ; si r = 0 elle est constante
- Somme des termes consécutifs : S = nombre de termes × (premier terme + dernier terme) / 2
- Formule de Gauss : 1 + 2 + 3 + ... + n = n(n+1)/2. Exemple : 1 + 2 + ... + 100 = 100 × 101 / 2 = 5050
- Astuce : pour reconnaître une suite arithmétique, calculer u_{n+1} - u_n et vérifier que c'est constant
- Erreur fréquente : ne pas confondre u_n = u_0 + nr (arithmétique) avec u_n = u_0 × r^n (géométrique)
Exemple
Un salarié gagne 1 500 € et reçoit 50 € d'augmentation par mois. u_0 = 1 500, r = 50. Après 2 ans (n=24) : u_24 = 1 500 + 24 × 50 = 2 700 €. Somme totale gagnée sur 25 mois : S = 25 × (1 500 + 2 700)/2 = 52 500 €.
Piège à éviter
Dans la formule de somme, le nombre de termes de u_0 à u_n est (n+1), PAS n. De u_3 à u_10, il y a 10 - 3 + 1 = 8 termes. C'est l'erreur la plus fréquente aux contrôles.
La suite géométrique modélise la croissance exponentielle : populations, intérêts composés, décroissance radioactive. Sa somme utilise une formule spécifique à bien maîtriser.
- Définition : u_{n+1} = q × u_n pour tout n, où q est la raison (constante, q ≠ 0)
- Terme général : u_n = u_0 × q^n (ou u_n = u_p × q^{n-p})
- Variations : si q > 1 et u_0 > 0 → croissante ; si 0 < q < 1 et u_0 > 0 → décroissante
- Si q < 0, la suite change de signe à chaque terme (elle n'est ni croissante ni décroissante)
- Somme : u_0 + u_1 + ... + u_n = u_0 × (1 - q^{n+1}) / (1 - q) pour q ≠ 1
- Formule à retenir : 1 + q + q² + ... + q^n = (1 - q^{n+1}) / (1 - q)
- Astuce : pour reconnaître une suite géométrique, calculer u_{n+1}/u_n et vérifier que c'est constant
- Exemple : u_0 = 5, q = 2 → u_3 = 5 × 2³ = 40 ; S = 5 × (1 - 2⁴)/(1 - 2) = 5 × 15 = 75
Exemple
Un capital de 1 000 € placé à 5 % d'intérêts composés : u_n = 1 000 × 1,05^n. Après 10 ans : u_10 = 1 000 × 1,05^10 ≈ 1 628,89 €. La somme des versements annuels de 100 € pendant 10 ans : S = 100 × (1,05^10 - 1)/0,05 ≈ 1 257,79 €.
Piège à éviter
Dans la formule de somme géométrique, l'exposant est (n+1), pas n ! S = u_0 × (1 - q^(n+1))/(1 - q). Si on somme de u_0 à u_n, il y a (n+1) termes et l'exposant est (n+1). Vérifiez toujours avec un petit exemple.
Ce résumé regroupe les astuces et erreurs fréquentes sur les suites. Maîtriser ces points évite la majorité des erreurs aux contrôles.
- Toujours identifier le premier indice : u_0 ou u_1 ? Cela change les formules (u_n = u_1 + (n-1)r si on part de u_1)
- Pour montrer qu'une suite est arithmétique, on calcule u_{n+1} - u_n ; pour géométrique, u_{n+1}/u_n
- Attention au nombre de termes dans les sommes : de u_0 à u_n il y a (n+1) termes, pas n
- Modélisation : un placement à intérêts simples → suite arithmétique ; à intérêts composés → suite géométrique
- Exemple concret : un capital de 1000 € placé à 3 % d'intérêts composés → u_n = 1000 × 1.03^n
Exemple
Pour montrer que u_n = 3 × 2^n - 1 n'est ni arithmétique ni géométrique : u_{n+1} - u_n = 3 × 2^(n+1) - 1 - 3 × 2^n + 1 = 3 × 2^n → pas constant. u_{n+1}/u_n = (3 × 2^(n+1) - 1)/(3 × 2^n - 1) → pas constant non plus. On peut poser v_n = u_n + 1 = 3 × 2^n → v_n est géométrique de raison 2.
Piège à éviter
Intérêts simples ≠ intérêts composés ! Simples : on ajoute toujours le même montant → suite arithmétique. Composés : on multiplie par le même coefficient → suite géométrique. 1 000 € à 5 % simples pendant 10 ans = 1 500 €. À 5 % composés = 1 628,89 €.
Quiz - Suites numériques
12 questions
Notions clés — Maths (Spé)
Articles utiles
Questions fréquentes
Les points clés à retenir sur Suites numériques (arithmétiques et géométriques), extraits du quiz de révision.
La suite définie par u_0 = 3 et u_{n+1} = u_n + 4 est :
Réponse : Arithmétique de raison 4
On ajoute toujours 4 pour passer d'un terme au suivant : c'est une suite arithmétique de raison r = 4.
Le terme général de la suite arithmétique de premier terme u_0 = 5 et de raison r = -2 est :
Réponse : u_n = 5 - 2n
Pour une suite arithmétique : u_n = u_0 + nr = 5 + n×(-2) = 5 - 2n.
La suite définie par u_0 = 2 et u_{n+1} = 3u_n est :
Réponse : Géométrique de raison 3
On multiplie par 3 à chaque étape : c'est une suite géométrique de raison q = 3.
Quel est u_5 pour la suite géométrique u_0 = 1, q = 2 ?
Réponse : 32
u_5 = u_0 × q^5 = 1 × 2^5 = 32.