Maths (Spé) — Algèbre et analyse
Suites numériques (arithmétiques et géométriques)
Définition, terme général, somme et variations des suites arithmétiques et géométriques
Résumé synthétiqueFiche en 4 sectionsQuiz de 12 questionsGratuit, sans pub
Résumé
Une **suite numérique** est une fonction de $\mathbb{N}$ (ou d'une partie de $\mathbb{N}$) dans $\mathbb{R}$ : à chaque entier $n$, on associe un nombre réel $u_n$. Une **suite arithmétique** est une suite où l'on passe d'un terme au suivant en **ajoutant** toujours la même valeur $r$ (la **raison**) : $u_{n+1} = u_n + r$. Son terme général est $u_n = u_0 + nr$. Par exemple, la suite $2, 5, 8, 11, \dots$ est arithmétique de raison $3$ et de premier terme $u_0 = 2$. Une **suite géométrique** est une suite où l'on passe d'un terme au suivant en **multipliant** par la même valeur $q$ (la **raison**) : $u_{n+1} = q \times u_n$. Son terme général est $u_n = u_0 \times q^n$. Par exemple, la suite $3, 6, 12, 24, \dots$ est géométrique de raison $2$. La somme des $n+1$ premiers termes d'une suite arithmétique est $S = \dfrac{(n+1)(u_0 + u_n)}{2}$, et celle d'une suite géométrique ($q \neq 1$) est $S = u_0 \times \dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$.
Les suites numériques modélisent des phénomènes qui évoluent pas à pas : placements financiers, populations, doses de médicament. C'est un chapitre **fondamental** pour la Terminale.
- Une suite $(u_n)$ peut être définie de façon **explicite** : $u_n = f(n)$. Exemple : $u_n = 3n + 1$ donne $u_0 = 1$, $u_1 = 4$, $u_2 = 7$.
- Une suite peut être définie par **récurrence** : $u_{n+1} = f(u_n)$ avec $u_0$ donné. Exemple : $u_0 = 2$ et $u_{n+1} = u_n + 5$.
- Une suite est **croissante** si pour tout $n$, $u_{n+1} \geq u_n$ (on étudie le signe de $u_{n+1} - u_n$).
- Une suite est **décroissante** si pour tout $n$, $u_{n+1} \leq u_n$.
- Pour une suite définie explicitement $u_n = f(n)$, on peut étudier les variations de $f$ sur $[0\,;+\infty[$.
- **Représentation graphique** : on place les points $(n\,;u_n)$ dans un repère. Suite arithmétique $\to$ points alignés ; suite géométrique $\to$ croissance/décroissance exponentielle.
Exemple
**Définition explicite** : $u_n = 2n + 3 \to u_0 = 3$, $u_1 = 5$, $u_2 = 7$. **Définition par récurrence** : $u_0 = 3$, $u_{n+1} = u_n + 2 \to$ même suite ! Mais la forme explicite permet de calculer directement $u_{100} = 203$, tandis que la récurrence nécessite de calculer les $100$ termes un par un.
Piège à éviter
Ne confondez pas suite **explicite** et suite par **récurrence**. La forme explicite $u_n = f(n)$ donne directement n'importe quel terme. La récurrence $u_{n+1} = f(u_n)$ nécessite de connaître le terme précédent. Au Bac, on demande souvent de passer de l'une à l'autre.
La suite arithmétique est la plus simple : on **ajoute** toujours la même valeur. Elle modélise les phénomènes à **croissance constante** (intérêts simples, salaire avec augmentation fixe).
- **Définition** : $u_{n+1} = u_n + r$ pour tout $n$, où $r$ est la **raison** (constante).
- **Terme général** : $u_n = u_0 + n \times r$ (ou $u_n = u_p + (n-p) \times r$ à partir d'un terme quelconque).
- Si $r > 0$ la suite est strictement **croissante** ; si $r < 0$ elle est strictement **décroissante** ; si $r = 0$ elle est **constante**.
- **Somme des termes consécutifs** : $S = (\text{nombre de termes}) \times \dfrac{\text{premier} + \text{dernier}}{2}$.
- **Formule de Gauss** : $1 + 2 + 3 + \dots + n = \dfrac{n(n+1)}{2}$. Exemple : $1 + 2 + \dots + 100 = \dfrac{100 \times 101}{2} = 5050$.
- **Astuce** : pour reconnaître une suite arithmétique, calculer $u_{n+1} - u_n$ et vérifier que c'est **constant**.
Exemple
Un salarié gagne $1\,500$ € et reçoit $50$ € d'augmentation par mois. $u_0 = 1\,500$, $r = 50$. Après $2$ ans ($n = 24$) : $u_{24} = 1\,500 + 24 \times 50 = 2\,700$ €. Somme totale gagnée sur $25$ mois : $S = 25 \times \dfrac{1\,500 + 2\,700}{2} = 52\,500$ €.
Piège à éviter
Dans la formule de somme, le nombre de termes de $u_0$ à $u_n$ est $(n+1)$, **pas** $n$. De $u_3$ à $u_{10}$, il y a $10 - 3 + 1 = 8$ termes : c'est l'erreur la plus fréquente aux contrôles. Ne confondez pas non plus $u_n = u_0 + nr$ (**arithmétique**) avec $u_n = u_0 \times q^n$ (**géométrique**).
La suite géométrique modélise la **croissance exponentielle** : populations, intérêts composés, décroissance radioactive. Sa somme utilise une formule spécifique à bien maîtriser.
- **Définition** : $u_{n+1} = q \times u_n$ pour tout $n$, où $q$ est la **raison** (constante, $q \neq 0$).
- **Terme général** : $u_n = u_0 \times q^n$ (ou $u_n = u_p \times q^{n-p}$).
- **Variations** : si $q > 1$ et $u_0 > 0 \to$ croissante ; si $0 < q < 1$ et $u_0 > 0 \to$ décroissante.
- Si $q < 0$, la suite **change de signe** à chaque terme (elle n'est ni croissante ni décroissante).
- **Somme** : $u_0 + u_1 + \dots + u_n = u_0 \times \dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$ pour $q \neq 1$.
- **Formule à retenir** : $1 + q + q^2 + \dots + q^n = \dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$.
- **Astuce** : pour reconnaître une suite géométrique, calculer $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ et vérifier que c'est **constant**.
- Exemple : $u_0 = 5$, $q = 2 \to u_3 = 5 \times 2^3 = 40$ ; $S = 5 \times \dfrac{1 - 2^4}{1 - 2} = 5 \times 15 = 75$.
Exemple
Un capital de $1\,000$ € placé à $5\,\%$ d'intérêts composés : $u_n = 1\,000 \times 1{,}05^n$. Après $10$ ans : $u_{10} = 1\,000 \times 1{,}05^{10} \approx 1\,628{,}89$ €. La somme des versements annuels de $100$ € pendant $10$ ans : $S = 100 \times \dfrac{1{,}05^{10} - 1}{0{,}05} \approx 1\,257{,}79$ €.
Piège à éviter
Dans la formule de somme géométrique, l'exposant est $(n+1)$, pas $n$ ! $S = u_0 \times \dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$. Si on somme de $u_0$ à $u_n$, il y a $(n+1)$ termes et l'exposant est $(n+1)$. Vérifiez toujours avec un petit exemple.
Ce résumé regroupe les astuces et erreurs fréquentes sur les suites. Maîtriser ces points évite la majorité des erreurs aux contrôles.
- Toujours identifier le **premier indice** : $u_0$ ou $u_1$ ? Cela change les formules ($u_n = u_1 + (n-1)r$ si on part de $u_1$).
- Pour montrer qu'une suite est **arithmétique**, on calcule $u_{n+1} - u_n$ ; pour **géométrique**, $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$.
- Attention au nombre de termes dans les sommes : de $u_0$ à $u_n$ il y a $(n+1)$ termes, pas $n$.
- **Modélisation** : un placement à **intérêts simples** $\to$ suite arithmétique ; à **intérêts composés** $\to$ suite géométrique.
- Exemple concret : un capital de $1\,000$ € placé à $3\,\%$ d'intérêts composés $\to u_n = 1\,000 \times 1{,}03^n$.
Exemple
Pour montrer que $u_n = 3 \times 2^n - 1$ n'est ni arithmétique ni géométrique : $u_{n+1} - u_n = 3 \times 2^{n+1} - 1 - (3 \times 2^n - 1) = 3 \times 2^n \to$ pas constant. $\dfrac{u_{n+1}}{u_n} = \dfrac{3 \times 2^{n+1} - 1}{3 \times 2^n - 1} \to$ pas constant non plus. On peut poser $v_n = u_n + 1 = 3 \times 2^n \to v_n$ est géométrique de raison $2$.
Piège à éviter
**Intérêts simples** $\neq$ **intérêts composés** ! Simples : on ajoute toujours le même montant $\to$ suite arithmétique. Composés : on multiplie par le même coefficient $\to$ suite géométrique. $1\,000$ € à $5\,\%$ simples pendant $10$ ans $= 1\,500$ €. À $5\,\%$ composés $= 1\,628{,}89$ €.
Quiz - Suites numériques
12 questions
Notions clés — Maths (Spé)
Articles utiles
Questions fréquentes
Les points clés à retenir sur Suites numériques (arithmétiques et géométriques), extraits du quiz de révision.
La suite définie par $u_0 = 3$ et $u_{n+1} = u_n + 4$ est :
Réponse :
Arithmétique de raison $4$
On ajoute toujours $4$ pour passer d'un terme au suivant : c'est une suite **arithmétique** de raison $r = 4$.
Le terme général de la suite arithmétique de premier terme $u_0 = 5$ et de raison $r = -2$ est :
Réponse :
$u_n = 5 - 2n$
Pour une suite arithmétique : $u_n = u_0 + nr = 5 + n \times (-2) = 5 - 2n$.
La suite définie par $u_0 = 2$ et $u_{n+1} = 3u_n$ est :
Réponse :
Géométrique de raison $3$
On multiplie par $3$ à chaque étape : c'est une suite **géométrique** de raison $q = 3$.
Quel est $u_5$ pour la suite géométrique $u_0 = 1$, $q = 2$ ?
Réponse :
$32$
$u_5 = u_0 \times q^5 = 1 \times 2^5 = 32$.