Probabilité
Définition
Mesure de la chance qu'un événement se produise, exprimée par un nombre entre 0 (impossible) et 1 (certain).
Explication
La probabilité d'un événement A est P(A) = nombre de cas favorables / nombre de cas possibles (dans le cas d'équiprobabilité). Les lois fondamentales : P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B), P(contraire de A) = 1 - P(A). On distingue les probabilités conditionnelles P(A|B) et les événements indépendants où P(A ∩ B) = P(A) × P(B).
Exemples
- 1
Lancer un dé : P(obtenir un 6) = 1/6 ≈ 0,167.
- 2
Tirer une carte rouge dans un jeu de 52 cartes : P = 26/52 = 1/2.
- 3
Événements indépendants : P(pile ET pile) = 1/2 × 1/2 = 1/4 pour deux lancers successifs.
L'essentiel à retenir
- Probabilité conditionnelle : P_A(B) = P(A ∩ B) / P(A), avec P(A) ≠ 0 ; sur un arbre, P(A ∩ B) = P(A) × P_A(B).
- Probabilités totales : si A et Ā forment une partition, P(B) = P(A ∩ B) + P(Ā ∩ B).
- L'espérance d'une variable aléatoire X est E(X) = x₁p₁ + x₂p₂ + … + xₙpₙ, la moyenne des valeurs pondérée par leurs probabilités.
- Loi binomiale de paramètres n et p : P(X = k) = (k parmi n) × pᵏ × (1 − p)ⁿ⁻ᵏ et E(X) = n × p.
Erreurs fréquentes
- Confondre P_A(B) et P(A ∩ B) : « parmi les A, la proportion de B » est conditionnelle, « A et B à la fois » est une intersection.
- Confondre incompatibles et indépendants : incompatibles veut dire P(A ∩ B) = 0 ; indépendants veut dire P(A ∩ B) = P(A) × P(B).
- Calculer « au moins un » en additionnant des cas : passe par le contraire, P(au moins un) = 1 − P(aucun).
Probabilité au bac
L'exercice type part d'un énoncé en pourcentages qu'il faut traduire en arbre pondéré, puis calculer une intersection, une probabilité totale et enfin une probabilité conditionnelle « inversée » du type P_B(A). Le correcteur vérifie que chaque probabilité est nommée avec la bonne notation avant le calcul et que tu cites la formule des probabilités totales. En Terminale s'ajoute la loi binomiale : il faut justifier les paramètres (répétition de n épreuves identiques et indépendantes à deux issues). Dans la partie automatismes sans calculatrice de l'épreuve anticipée de mathématiques de Première, on attend des calculs rapides de proportions et de probabilités simples.
Questions fréquentes
Comment calculer une probabilité conditionnelle ?
Utilise P_A(B) = P(A ∩ B) / P(A). Sur un arbre, lis P_A(B) directement sur la branche qui part de A ; pour P_B(A), calcule P(A ∩ B) et P(B) puis divise.
Comment savoir si deux événements sont indépendants ?
Calcule P(A ∩ B) et compare-le à P(A) × P(B) : s'ils sont égaux, les événements sont indépendants. On peut aussi vérifier que P_A(B) = P(B).
Quand utiliser la loi binomiale ?
Quand on répète n fois, de façon identique et indépendante, une expérience à deux issues (succès de probabilité p ou échec) et qu'on compte le nombre de succès.
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