Maths (Spé) — Probabilités et statistiques
Probabilités conditionnelles et indépendance
Probabilité conditionnelle, formule des probabilités totales, arbres pondérés et indépendance
Résumé synthétiqueFiche en 5 sectionsQuiz de 11 questionsGratuit, sans pub
Résumé
La **probabilité conditionnelle** $P_A(B)$, aussi notée $P(B|A)$, est la probabilité que l'événement $B$ se réalise **sachant que** $A$ est réalisé. Elle se calcule par $P_A(B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}$, avec $P(A) \neq 0$. Par exemple, dans une classe de $30$ élèves dont $18$ filles et $12$ garçons, si $10$ filles font du sport, la probabilité qu'un élève fasse du sport sachant que c'est une fille est $P_F(S) = \dfrac{10}{18}$. La **formule des probabilités totales** permet de calculer $P(B)$ quand on connaît les probabilités conditionnelles : si $A$ et son complémentaire forment une partition, $P(B) = P(A) \times P_A(B) + P(\overline{A}) \times P_{\overline{A}}(B)$. Un **arbre pondéré** représente visuellement ces calculs. Deux événements $A$ et $B$ sont **indépendants** si $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$, ce qui équivaut à $P_A(B) = P(B)$.
La probabilité conditionnelle répond à la question : « si je sais que $A$ s'est produit, quelle est la probabilité que $B$ se produise aussi ? ». C'est un concept fondamental en probabilités, omniprésent dans les sujets du Bac.
- $P_A(B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}$ : probabilité de $B$ **sachant** que $A$ est réalisé ($P(A) \neq 0$).
- Autre notation courante : $P(B|A) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}$.
- Conséquence : $P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B)$ (formule de multiplication).
- Symétrie : $P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B) = P(B) \times P_B(A)$.
- Exemple : un sac contient $3$ boules rouges et $2$ bleues. On tire deux boules sans remise. $P(\text{2e rouge} \mid \text{1re rouge}) = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}$.
- Attention : $P_A(B) \neq P_B(A)$ en général ! L'ordre du conditionnement change le résultat.
- Les propriétés classiques restent valables : $P_A(\overline{B}) = 1 - P_A(B)$ ; $P_A(B \cup C) = P_A(B) + P_A(C) - P_A(B \cap C)$.
Exemple
Un sac contient $4$ boules rouges et $6$ bleues. On tire $2$ boules sans remise. $P(\text{2e rouge} \mid \text{1re rouge}) = \dfrac{3}{9} = \dfrac{1}{3}$ (il reste $3$ rouges sur $9$ boules). $P(\text{1re rouge} \cap \text{2e rouge}) = \dfrac{4}{10} \times \dfrac{3}{9} = \dfrac{12}{90} = \dfrac{2}{15}$.
Piège à éviter
$P_A(B)$ et $P_B(A)$ sont **différentes** en général ! $P(\text{malade} \mid \text{test} +) \neq P(\text{test} + \mid \text{malade})$. Cette confusion est si fréquente qu'elle porte un nom : le « renversement du conditionnel ». Au Bac, lisez bien quel événement est en condition.
L'**arbre pondéré** est l'outil visuel indispensable pour résoudre les problèmes de probabilités conditionnelles. Il organise les calculs et évite les erreurs de raisonnement.
- Un arbre pondéré représente les différentes **étapes** d'une expérience aléatoire.
- **Règle du produit** : la probabilité d'un chemin est le **produit** des probabilités sur les branches.
- **Règle de la somme** : $P(\text{événement}) = $ somme des probabilités des chemins menant à cet événement.
- Les branches issues d'un même nœud ont des probabilités dont la **somme vaut $1$**.
- Première ramification : $P(A)$ et $P(\overline{A})$. Deuxième : $P_A(B)$, $P_A(\overline{B})$, $P_{\overline{A}}(B)$, $P_{\overline{A}}(\overline{B})$.
- Exemple : test médical. $P(\text{malade}) = 0{,}01$, $P_{\text{malade}}(\text{test} +) = 0{,}95$, $P_{\overline{\text{malade}}}(\text{test} +) = 0{,}03$. Alors $P(\text{test} +) = 0{,}01 \times 0{,}95 + 0{,}99 \times 0{,}03 = 0{,}0392$.
Exemple
Usine avec $2$ machines : machine A ($60\,\%$ de la production, $5\,\%$ de défauts) et machine B ($40\,\%$, $3\,\%$ de défauts). On prend une pièce au hasard. Arbre : $P(A) = 0{,}6$, $P_A(D) = 0{,}05$, $P(B) = 0{,}4$, $P_B(D) = 0{,}03$. $P(A \cap D) = 0{,}6 \times 0{,}05 = 0{,}03$. $P(B \cap D) = 0{,}4 \times 0{,}03 = 0{,}012$.
Piège à éviter
Dans un arbre, la somme des branches issues d'un **même nœud** doit toujours faire $1$. Si $P(A) = 0{,}6$, alors $P(\overline{A}) = 0{,}4$ obligatoirement. Vérifiez systématiquement cette règle pour détecter les erreurs de calcul.
La **formule des probabilités totales** permet de calculer la probabilité d'un événement en passant par une **partition**. C'est la clé pour « rassembler les chemins » d'un arbre pondéré.
- Si $A_1, A_2, \dots, A_n$ forment une **partition** de l'univers (disjoints et recouvrants), alors $P(B) = \sum P(A_i) \times P_{A_i}(B)$.
- Cas le plus courant (partition en $2$) : $P(B) = P(A) \times P_A(B) + P(\overline{A}) \times P_{\overline{A}}(B)$.
- C'est la somme des probabilités des chemins aboutissant à $B$ dans l'arbre.
- Application fréquente : calculer $P(B)$ quand on connaît les probabilités conditionnelles.
- Exemple : $60\,\%$ des clients sont des femmes. $30\,\%$ des femmes achètent le produit, $20\,\%$ des hommes. $P(\text{achat}) = 0{,}6 \times 0{,}3 + 0{,}4 \times 0{,}2 = 0{,}26$.
- **Formule de Bayes** (inverser l'arbre) : $P_B(A) = \dfrac{P(A) \times P_A(B)}{P(B)}$. Très utile pour les exercices de diagnostic.
Exemple
Suite de l'usine : $P(D) = P(A) \times P_A(D) + P(B) \times P_B(D) = 0{,}03 + 0{,}012 = 0{,}042$ ($4{,}2\,\%$ de défauts au total). Avec Bayes : $P_D(A) = \dfrac{P(A \cap D)}{P(D)} = \dfrac{0{,}03}{0{,}042} \approx 0{,}714$. Si une pièce est défectueuse, il y a $71{,}4\,\%$ de chances qu'elle vienne de A.
Piège à éviter
La formule des probabilités totales n'est **pas** $P(B) = P_A(B) + P_{\overline{A}}(B)$. Il faut **pondérer** par les probabilités des branches : $P(B) = P(A) \times P_A(B) + P(\overline{A}) \times P_{\overline{A}}(B)$. L'oubli de la pondération est une erreur très courante.
Deux événements sont **indépendants** quand la réalisation de l'un n'influence pas la probabilité de l'autre. C'est un concept subtil, souvent confondu avec l'**incompatibilité**.
- $A$ et $B$ sont **indépendants** si $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$.
- Cela équivaut à $P_A(B) = P(B)$ : savoir que $A$ est réalisé ne change pas la probabilité de $B$.
- Si $A$ et $B$ sont indépendants, alors $A$ et $\overline{B}$, $\overline{A}$ et $B$, $\overline{A}$ et $\overline{B}$ sont aussi indépendants.
- Attention : indépendance $\neq$ incompatibilité ! Deux événements incompatibles ($A \cap B = \varnothing$) de probabilités non nulles ne sont jamais indépendants.
- Exemple : lancer deux dés. $A = $ « le premier dé donne $6$ », $B = $ « le second dé donne pair ». $P(A \cap B) = \dfrac{1}{6} \times \dfrac{1}{2} = P(A) \times P(B) \to$ indépendants.
- Pour vérifier l'indépendance : calculer $P(A \cap B)$ et comparer avec $P(A) \times P(B)$.
Exemple
On lance un dé. $A = $ « obtenir un nombre pair » $= \{2,4,6\}$, $P(A) = \dfrac{1}{2}$. $B = $ « obtenir un multiple de $3$ » $= \{3,6\}$, $P(B) = \dfrac{1}{3}$. $A \cap B = \{6\}$, $P(A \cap B) = \dfrac{1}{6}$. Or $P(A) \times P(B) = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{6} = P(A \cap B)$. Donc $A$ et $B$ sont **indépendants**.
Piège à éviter
Indépendance $\neq$ incompatibilité ! Incompatibles : $A \cap B = \varnothing$ (ils ne peuvent **pas** se produire ensemble). Indépendants : $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$ (l'un n'influence pas l'autre). Deux événements incompatibles de probabilités non nulles ne sont **jamais** indépendants.
Ce chapitre regorge de pièges classiques. Voici les erreurs les plus fréquentes et les réflexes à adopter pour les éviter au Bac.
- Ne pas confondre $P_A(B)$ et $P_B(A)$ : ce sont deux probabilités différentes en général.
- Ne pas confondre indépendance et incompatibilité : incompatibles $\to P(A \cap B) = 0$, indépendants $\to P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$.
- Toujours vérifier que $P(A) > 0$ avant de calculer $P_A(B)$.
- Dans un arbre, la somme des branches issues d'un nœud doit toujours faire $1$.
- Pour les problèmes de diagnostic (test médical, etc.), bien utiliser **Bayes** pour « inverser » le conditionnement.
Exemple
Erreur type : « $P_{\text{malade}}(\text{test} +) = 0{,}95$, donc si le test est positif, j'ai $95\,\%$ de chances d'être malade ». **Faux** ! C'est $P_{\text{test} +}(\text{malade})$ qu'il faut calculer avec Bayes. Si la maladie est rare ($1\,\%$), $P_{\text{test} +}(\text{malade}) \approx 24\,\%$ seulement, bien loin de $95\,\%$.
Piège à éviter
Au Bac, avant tout calcul, dessinez **toujours** l'arbre pondéré. Il structure le raisonnement et évite les confusions entre $P_A(B)$ et $P_B(A)$. Placez les probabilités sur les branches, vérifiez que chaque nœud somme à $1$, puis lisez les résultats.
Quiz - Probabilités conditionnelles et indépendance
11 questions
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Notions clés — Maths (Spé)
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Questions fréquentes
Les points clés à retenir sur Probabilités conditionnelles et indépendance, extraits du quiz de révision.
$P_A(B)$ se calcule par :
Réponse :
$\dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}$
La probabilité de $B$ sachant $A$ est $P_A(B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}$.
Si $P(A) = 0{,}4$ et $P_A(B) = 0{,}3$, alors $P(A \cap B)$ vaut :
Réponse :
$0{,}12$
$P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B) = 0{,}4 \times 0{,}3 = 0{,}12$.
Deux événements $A$ et $B$ sont indépendants si :
Réponse :
$P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$
L'indépendance se caractérise par $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$.
Si $A$ et $B$ sont incompatibles avec $P(A) > 0$ et $P(B) > 0$, alors ils sont :
Réponse :
Non indépendants
Si $A \cap B = \varnothing$, alors $P(A \cap B) = 0 \neq P(A) \times P(B) > 0$. Ils ne sont donc **pas** indépendants.