Maths (Spé) — Probabilités et statistiques
Probabilités conditionnelles et indépendance
Probabilité conditionnelle, formule des probabilités totales, arbres pondérés et indépendance
Résumé synthétiqueFiche en 5 sectionsQuiz de 11 questionsGratuit, sans pub
Cours de spé Maths. Même notion dans une autre matière : Probabilités conditionnelles — maths du tronc commun
Résumé
La probabilité conditionnelle $P_A(B)$, aussi notée $P(B|A)$, est la probabilité que l'événement $B$ se réalise sachant que $A$ est réalisé. Elle se calcule par $P_A(B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}$, avec $P(A) \neq 0$. Par exemple, dans une classe de $30$ élèves dont $18$ filles et $12$ garçons, si $10$ filles font du sport, la probabilité qu'un élève fasse du sport sachant que c'est une fille est $P_F(S) = \dfrac{10}{18}$. La formule des probabilités totales permet de calculer $P(B)$ quand on connaît les probabilités conditionnelles : si $A$ et son complémentaire forment une partition, $P(B) = P(A) \times P_A(B) + P(\overline{A}) \times P_{\overline{A}}(B)$. Un arbre pondéré représente visuellement ces calculs. Deux événements $A$ et $B$ sont indépendants si $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$, ce qui équivaut à $P_A(B) = P(B)$.
La probabilité conditionnelle répond à la question : « si je sais que $A$ s'est produit, quelle est la probabilité que $B$ se produise aussi ? ». C'est un concept fondamental en probabilités, omniprésent dans les sujets du Bac.
L'arbre pondéré : outil visuel pour les probabilités conditionnelles
- $P_A(B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}$ : probabilité de $B$ sachant que $A$ est réalisé ($P(A) \neq 0$).
- Autre notation courante : $P(B|A) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}$.
- Conséquence : $P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B)$ (formule de multiplication).
- Symétrie : $P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B) = P(B) \times P_B(A)$.
- Exemple : un sac contient $3$ boules rouges et $2$ bleues. On tire deux boules sans remise. $P(\text{2e rouge} \mid \text{1re rouge}) = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}$.
- Attention : $P_A(B) \neq P_B(A)$ en général ! L'ordre du conditionnement change le résultat.
- Les propriétés classiques restent valables : $P_A(\overline{B}) = 1 - P_A(B)$ ; $P_A(B \cup C) = P_A(B) + P_A(C) - P_A(B \cap C)$.
Exemple
Un sac contient $4$ boules rouges et $6$ bleues. On tire $2$ boules sans remise. $P(\text{2e rouge} \mid \text{1re rouge}) = \dfrac{3}{9} = \dfrac{1}{3}$ (il reste $3$ rouges sur $9$ boules). $P(\text{1re rouge} \cap \text{2e rouge}) = \dfrac{4}{10} \times \dfrac{3}{9} = \dfrac{12}{90} = \dfrac{2}{15}$.
Piège à éviter
$P_A(B)$ et $P_B(A)$ sont différentes en général ! $P(\text{malade} \mid \text{test} +) \neq P(\text{test} + \mid \text{malade})$. Cette confusion est si fréquente qu'elle porte un nom : le « renversement du conditionnel ». Au Bac, lisez bien quel événement est en condition.
L'arbre pondéré est l'outil visuel indispensable pour résoudre les problèmes de probabilités conditionnelles. Il organise les calculs et évite les erreurs de raisonnement.
- Un arbre pondéré représente les différentes étapes d'une expérience aléatoire.
- Règle du produit : la probabilité d'un chemin est le produit des probabilités sur les branches.
- Règle de la somme : $P(\text{événement}) = $ somme des probabilités des chemins menant à cet événement.
- Les branches issues d'un même nœud ont des probabilités dont la somme vaut $1$.
- Première ramification : $P(A)$ et $P(\overline{A})$. Deuxième : $P_A(B)$, $P_A(\overline{B})$, $P_{\overline{A}}(B)$, $P_{\overline{A}}(\overline{B})$.
- Exemple : test médical. $P(\text{malade}) = 0{,}01$, $P_{\text{malade}}(\text{test} +) = 0{,}95$, $P_{\overline{\text{malade}}}(\text{test} +) = 0{,}03$. Alors $P(\text{test} +) = 0{,}01 \times 0{,}95 + 0{,}99 \times 0{,}03 = 0{,}0392$.
Exemple
Usine avec $2$ machines : machine A ($60\,\%$ de la production, $5\,\%$ de défauts) et machine B ($40\,\%$, $3\,\%$ de défauts). On prend une pièce au hasard. Arbre : $P(A) = 0{,}6$, $P_A(D) = 0{,}05$, $P(B) = 0{,}4$, $P_B(D) = 0{,}03$. $P(A \cap D) = 0{,}6 \times 0{,}05 = 0{,}03$. $P(B \cap D) = 0{,}4 \times 0{,}03 = 0{,}012$.
Piège à éviter
Dans un arbre, la somme des branches issues d'un même nœud doit toujours faire $1$. Si $P(A) = 0{,}6$, alors $P(\overline{A}) = 0{,}4$ obligatoirement. Vérifiez systématiquement cette règle pour détecter les erreurs de calcul.
La formule des probabilités totales permet de calculer la probabilité d'un événement en passant par une partition. C'est la clé pour « rassembler les chemins » d'un arbre pondéré.
- Si $A_1, A_2, \dots, A_n$ forment une partition de l'univers (disjoints et recouvrants), alors $P(B) = \sum P(A_i) \times P_{A_i}(B)$.
- Cas le plus courant (partition en $2$) : $P(B) = P(A) \times P_A(B) + P(\overline{A}) \times P_{\overline{A}}(B)$.
- C'est la somme des probabilités des chemins aboutissant à $B$ dans l'arbre.
- Application fréquente : calculer $P(B)$ quand on connaît les probabilités conditionnelles.
- Exemple : $60\,\%$ des clients sont des femmes. $30\,\%$ des femmes achètent le produit, $20\,\%$ des hommes. $P(\text{achat}) = 0{,}6 \times 0{,}3 + 0{,}4 \times 0{,}2 = 0{,}26$.
- Formule de Bayes (inverser l'arbre) : $P_B(A) = \dfrac{P(A) \times P_A(B)}{P(B)}$. Très utile pour les exercices de diagnostic.
Exemple
Suite de l'usine : $P(D) = P(A) \times P_A(D) + P(B) \times P_B(D) = 0{,}03 + 0{,}012 = 0{,}042$ ($4{,}2\,\%$ de défauts au total). Avec Bayes : $P_D(A) = \dfrac{P(A \cap D)}{P(D)} = \dfrac{0{,}03}{0{,}042} \approx 0{,}714$. Si une pièce est défectueuse, il y a $71{,}4\,\%$ de chances qu'elle vienne de A.
Piège à éviter
La formule des probabilités totales n'est pas $P(B) = P_A(B) + P_{\overline{A}}(B)$. Il faut pondérer par les probabilités des branches : $P(B) = P(A) \times P_A(B) + P(\overline{A}) \times P_{\overline{A}}(B)$. L'oubli de la pondération est une erreur très courante.
Deux événements sont indépendants quand la réalisation de l'un n'influence pas la probabilité de l'autre. C'est un concept subtil, souvent confondu avec l'incompatibilité.
- $A$ et $B$ sont indépendants si $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$.
- Cela équivaut à $P_A(B) = P(B)$ : savoir que $A$ est réalisé ne change pas la probabilité de $B$.
- Si $A$ et $B$ sont indépendants, alors $A$ et $\overline{B}$, $\overline{A}$ et $B$, $\overline{A}$ et $\overline{B}$ sont aussi indépendants.
- Attention : indépendance $\neq$ incompatibilité ! Deux événements incompatibles ($A \cap B = \varnothing$) de probabilités non nulles ne sont jamais indépendants.
- Exemple : lancer deux dés. $A = $ « le premier dé donne $6$ », $B = $ « le second dé donne pair ». $P(A \cap B) = \dfrac{1}{6} \times \dfrac{1}{2} = P(A) \times P(B) \to$ indépendants.
- Pour vérifier l'indépendance : calculer $P(A \cap B)$ et comparer avec $P(A) \times P(B)$.
Exemple
On lance un dé. $A = $ « obtenir un nombre pair » $= \{2,4,6\}$, $P(A) = \dfrac{1}{2}$. $B = $ « obtenir un multiple de $3$ » $= \{3,6\}$, $P(B) = \dfrac{1}{3}$. $A \cap B = \{6\}$, $P(A \cap B) = \dfrac{1}{6}$. Or $P(A) \times P(B) = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{6} = P(A \cap B)$. Donc $A$ et $B$ sont indépendants.
Piège à éviter
Indépendance $\neq$ incompatibilité ! Incompatibles : $A \cap B = \varnothing$ (ils ne peuvent pas se produire ensemble). Indépendants : $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$ (l'un n'influence pas l'autre). Deux événements incompatibles de probabilités non nulles ne sont jamais indépendants.
Ce chapitre regorge de pièges classiques. Voici les erreurs les plus fréquentes et les réflexes à adopter pour les éviter au Bac.
- Ne pas confondre $P_A(B)$ et $P_B(A)$ : ce sont deux probabilités différentes en général.
- Ne pas confondre indépendance et incompatibilité : incompatibles $\to P(A \cap B) = 0$, indépendants $\to P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$.
- Toujours vérifier que $P(A) > 0$ avant de calculer $P_A(B)$.
- Dans un arbre, la somme des branches issues d'un nœud doit toujours faire $1$.
- Pour les problèmes de diagnostic (test médical, etc.), bien utiliser Bayes pour « inverser » le conditionnement.
Exemple
Erreur type : « $P_{\text{malade}}(\text{test} +) = 0{,}95$, donc si le test est positif, j'ai $95\,\%$ de chances d'être malade ». Faux ! C'est $P_{\text{test} +}(\text{malade})$ qu'il faut calculer avec Bayes. Si la maladie est rare ($1\,\%$), $P_{\text{test} +}(\text{malade}) \approx 24\,\%$ seulement, bien loin de $95\,\%$.
Piège à éviter
Au Bac, avant tout calcul, dessinez toujours l'arbre pondéré. Il structure le raisonnement et évite les confusions entre $P_A(B)$ et $P_B(A)$. Placez les probabilités sur les branches, vérifiez que chaque nœud somme à $1$, puis lisez les résultats.
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Questions fréquentes
Les points clés à retenir sur Probabilités conditionnelles et indépendance, extraits du quiz de révision.
$P_A(B)$ se calcule par :
Réponse :
$\dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}$
La probabilité de $B$ sachant $A$ est $P_A(B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}$.
Si $P(A) = 0{,}4$ et $P_A(B) = 0{,}3$, alors $P(A \cap B)$ vaut :
Réponse :
$0{,}12$
$P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B) = 0{,}4 \times 0{,}3 = 0{,}12$.
Deux événements $A$ et $B$ sont indépendants si :
Réponse :
$P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$
L'indépendance se caractérise par $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$.
Si $A$ et $B$ sont incompatibles avec $P(A) > 0$ et $P(B) > 0$, alors ils sont :
Réponse :
Non indépendants
Si $A \cap B = \varnothing$, alors $P(A \cap B) = 0 \neq P(A) \times P(B) > 0$. Ils ne sont donc pas indépendants.