Suite arithmétique
Définition
Suite de nombres où chaque terme est obtenu en ajoutant une valeur fixe appelée raison (r) au terme précédent.
Explication
Une suite arithmétique (uₙ) de premier terme u₀ et de raison r vérifie : uₙ₊₁ = uₙ + r. Le terme général est uₙ = u₀ + n × r. Si r > 0, la suite est croissante ; si r < 0, elle est décroissante. La somme des n premiers termes est S = n × (u₀ + uₙ₋₁) / 2. Elle diverge toujours vers +∞ ou -∞.
Exemples
- 1
u₀ = 3, r = 5 → 3, 8, 13, 18, 23... (+5 à chaque fois).
- 2
u₀ = 100, r = -10 → 100, 90, 80, 70... (décroissante).
- 3
Somme des 100 premiers entiers : S = 100 × (1 + 100) / 2 = 5 050 (formule de Gauss).
L'essentiel à retenir
- Entre deux rangs quelconques : uₙ = uₚ + (n − p) × r, par exemple uₙ = u₁ + (n − 1) × r si la suite commence à u₁.
- Pour prouver qu'une suite est arithmétique, montre que uₙ₊₁ − uₙ est une constante indépendante de n.
- Somme des entiers : 1 + 2 + … + n = n(n + 1)/2.
- Une somme de termes consécutifs vaut (nombre de termes) × (premier terme + dernier terme)/2.
Erreurs fréquentes
- Se tromper sur le nombre de termes : de u₀ à uₙ il y a n + 1 termes, et de u₃ à u₁₀ il y en a 8, pas 7.
- Croire qu'observer trois termes en progression constante prouve que la suite est arithmétique : il faut un calcul valable pour tout n.
- Utiliser une suite arithmétique pour une hausse en pourcentage : « +3 % par an » donne une suite géométrique ; seule une hausse d'une quantité fixe (« +30 € par an ») est arithmétique.
Suite arithmétique au bac
Les suites arithmétiques tombent dans des problèmes concrets : salaire augmenté d'un montant fixe, abonnés gagnés chaque mois, rangées d'un gradin. On te demande de justifier la nature de la suite à partir de l'énoncé, d'exprimer uₙ en fonction de n, puis de calculer un terme ou une somme. Le correcteur vérifie la justification (« on ajoute 30 chaque année, donc la suite est arithmétique de raison 30 ») et le bon décompte des termes. Dans la partie automatismes sans calculatrice de l'épreuve anticipée de mathématiques de Première, attends-toi à calculer un terme de tête ou à reconnaître une évolution à croissance constante.
Questions fréquentes
Comment calculer la raison d'une suite arithmétique ?
Fais la différence de deux termes consécutifs : r = uₙ₊₁ − uₙ. Si tu connais deux termes éloignés, r = (uₙ − uₚ)/(n − p), par exemple r = (u₁₀ − u₄)/6.
Quelle est la différence entre une suite arithmétique et une suite géométrique ?
Dans une suite arithmétique on ajoute toujours la même quantité r ; dans une suite géométrique on multiplie toujours par le même nombre q. La première correspond à une croissance linéaire, la seconde à une croissance exponentielle.
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