Maths (Spé) — Probabilités et statistiques
Variables aléatoires réelles
Variable aléatoire, loi de probabilité, espérance, variance et écart-type
Résumé synthétiqueFiche en 4 sectionsQuiz de 10 questionsGratuit, sans pub
Résumé
Une variable aléatoire $X$ est une fonction qui associe un nombre réel à chaque issue d'une expérience aléatoire. La loi de probabilité de $X$ est le tableau donnant chaque valeur $x_i$ prise par $X$ et la probabilité $P(X = x_i)$ correspondante. La somme de toutes les probabilités vaut $1$. L'espérance $E(X) = \sum x_i \times P(X = x_i)$ est la valeur moyenne attendue sur un grand nombre de répétitions : par exemple, pour un dé équilibré, $E(X) = \dfrac{1+2+3+4+5+6}{6} = 3{,}5$. La variance $V(X) = \sum (x_i - E(X))^2 \times P(X = x_i) = E(X^2) - [E(X)]^2$ mesure la dispersion des valeurs autour de l'espérance. L'écart-type $\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$ s'exprime dans la même unité que $X$ et donne une mesure concrète de la dispersion.
La variable aléatoire formalise mathématiquement le résultat numérique d'une expérience aléatoire. Sa loi de probabilité résume toute l'information sur ses valeurs possibles et leurs chances de se réaliser.
La loi de probabilité d'une variable aléatoire : chaque valeur a sa probabilité
- Une variable aléatoire $X$ associe un nombre réel à chaque issue d'une expérience aléatoire.
- Exemple : on lance un dé, $X = $ valeur obtenue. $X$ prend les valeurs $1, 2, 3, 4, 5, 6$.
- La loi de $X$ est le tableau des valeurs $x_i$ et des probabilités $P(X = x_i)$.
- Propriété fondamentale : la somme des probabilités vaut $1$ : $\sum P(X = x_i) = 1$.
- Événement $\{X = k\}$ : ensemble des issues pour lesquelles $X$ prend la valeur $k$.
- On peut aussi considérer $P(X \leq k)$, $P(X \geq k)$, $P(a \leq X \leq b)$ en additionnant les probabilités correspondantes.
- Exemple : si $X$ suit la loi $P(X=0)=0{,}3$, $P(X=1)=0{,}5$, $P(X=2)=0{,}2$, alors $P(X \geq 1) = 0{,}5 + 0{,}2 = 0{,}7$.
Exemple
On lance deux pièces. $X = $ nombre de Pile. Issues : $\{PP, PF, FP, FF\}$. $X$ prend les valeurs $0, 1, 2$. $P(X=0) = \dfrac{1}{4}$ (FF), $P(X=1) = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}$ (PF ou FP), $P(X=2) = \dfrac{1}{4}$ (PP). Vérification : $\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} = 1$. $P(X \geq 1) = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{4}$.
Piège à éviter
La somme des probabilités doit toujours faire $1$. Si vous trouvez une somme différente de $1$, c'est qu'il manque une valeur ou qu'un calcul est faux. C'est le premier réflexe de vérification à avoir !
L'espérance est la valeur moyenne qu'on obtiendrait en répétant l'expérience un très grand nombre de fois. C'est l'indicateur clé pour savoir si un jeu est favorable ou non.
- $E(X) = \sum x_i \times P(X = x_i)$ : c'est la moyenne pondérée des valeurs par leurs probabilités.
- Interprétation : sur un grand nombre de répétitions, la moyenne des résultats tend vers $E(X)$ (loi des grands nombres).
- Exemple dé : $E(X) = 1 \times \dfrac{1}{6} + 2 \times \dfrac{1}{6} + \dots + 6 \times \dfrac{1}{6} = \dfrac{21}{6} = 3{,}5$.
- Jeu équitable : un jeu est équitable si l'espérance du gain est nulle ($E(G) = 0$).
- Propriété : $E(aX + b) = aE(X) + b$ (linéarité).
- Si $X$ ne prend que la valeur $c$, alors $E(X) = c$.
- L'espérance n'est pas forcément une valeur prise par $X$ ($3{,}5$ n'est pas un résultat possible du dé).
Exemple
On lance deux pièces, $X = $ nombre de Pile. $E(X) = 0 \times \dfrac{1}{4} + 1 \times \dfrac{1}{2} + 2 \times \dfrac{1}{4} = 0 + 0{,}5 + 0{,}5 = 1$. En moyenne, on obtient $1$ Pile sur $2$ lancers, ce qui est logique. Avec $Y = 3X - 1$ : $E(Y) = 3 \times 1 - 1 = 2$.
Piège à éviter
L'espérance n'est pas toujours une valeur possible de $X$ ! Pour un dé, $E(X) = 3{,}5$ mais on ne peut jamais obtenir $3{,}5$. L'espérance est une moyenne théorique, pas un résultat observable en une seule expérience.
La variance et l'écart-type mesurent la dispersion des résultats autour de l'espérance. Un écart-type élevé signifie des résultats très variables, un écart-type faible signifie des résultats concentrés.
- Variance : $V(X) = \sum (x_i - E(X))^2 \times P(X = x_i) = E[(X - E(X))^2]$.
- Formule de König-Huygens (plus pratique pour calculer) : $V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$.
- $E(X^2) = \sum x_i^2 \times P(X = x_i)$.
- Écart-type : $\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$. Il est dans la même unité que $X$.
- $V(X) \geq 0$ toujours ; $V(X) = 0$ si et seulement si $X$ est constante.
- Propriétés : $V(aX + b) = a^2 V(X)$ et $\sigma(aX + b) = |a|\,\sigma(X)$.
- Plus $V(X)$ est grande, plus les valeurs de $X$ sont dispersées autour de $E(X)$.
- Exemple : dé équilibré, $E(X^2) = \dfrac{1+4+9+16+25+36}{6} = \dfrac{91}{6}$. $V(X) = \dfrac{91}{6} - (3{,}5)^2 = \dfrac{35}{12} \approx 2{,}92$.
Exemple
Pour $X = $ nombre de Pile en $2$ lancers : $E(X) = 1$, $E(X^2) = 0^2 \times \dfrac{1}{4} + 1^2 \times \dfrac{1}{2} + 2^2 \times \dfrac{1}{4} = 0 + 0{,}5 + 1 = 1{,}5$. $V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = 1{,}5 - 1^2 = 0{,}5$. $\sigma(X) = \sqrt{0{,}5} \approx 0{,}71$. L'écart-type, d'environ $0{,}71$, mesure la dispersion des résultats autour de l'espérance $1$ (ce n'est pas exactement l'écart moyen, qui vaut ici $0{,}5$).
Piège à éviter
Ne confondez pas $V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$ avec $V(X) = [E(X)]^2 - E(X^2)$ ! L'ordre est crucial : c'est $E(X^2)$ moins le carré de $E(X)$. Si vous trouvez une variance négative, c'est que vous avez inversé. La variance est toujours positive ou nulle.
Les exercices du Bac portent souvent sur des jeux de hasard ou des situations concrètes. La clé est de bien définir la variable aléatoire et son gain net avant de calculer.
- Pour déterminer une loi : lister toutes les valeurs possibles et calculer chaque probabilité (arbre, dénombrement…).
- Toujours vérifier que la somme des probabilités fait $1$.
- Pour un jeu : définir $X$ le gain algébrique, calculer $E(X)$. Si $E(X) > 0$, le jeu est favorable au joueur.
- Exemple : mise de $2$ €, on gagne $5$ € avec proba $\dfrac{1}{3}$ et rien avec proba $\dfrac{2}{3}$. Gain net $G$ : $G = 3$ avec proba $\dfrac{1}{3}$ et $G = -2$ avec proba $\dfrac{2}{3}$. $E(G) = 3 \times \dfrac{1}{3} + (-2) \times \dfrac{2}{3} = 1 - \dfrac{4}{3} = -\dfrac{1}{3} \approx -0{,}33$ €. Jeu défavorable.
Exemple
Un jeu coûte $2$ €. On lance un dé : si $6$, on gagne $10$ € ; sinon, rien. Gain net $G$ : $G = 10 - 2 = 8$ avec proba $\dfrac{1}{6}$, $G = 0 - 2 = -2$ avec proba $\dfrac{5}{6}$. $E(G) = 8 \times \dfrac{1}{6} + (-2) \times \dfrac{5}{6} = \dfrac{8}{6} - \dfrac{10}{6} = -\dfrac{2}{6} \approx -0{,}33$ €. Jeu défavorable : en moyenne on perd $33$ centimes par partie.
Piège à éviter
Le gain net est le gain moins la mise. Si on mise $2$ € et on reçoit $10$ €, le gain net est $8$ € (pas $10$ €). Si on ne gagne rien, le gain net est $-2$ € (pas $0$ €). Oublier de soustraire la mise fausse complètement le calcul de l'espérance.
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Questions fréquentes
Les points clés à retenir sur Variables aléatoires réelles, extraits du quiz de révision.
Si $X$ prend les valeurs $1, 2, 3$ avec $P(X=1) = 0{,}2$, $P(X=2) = 0{,}5$, alors $P(X=3)$ vaut :
Réponse :
$0{,}3$
La somme des probabilités vaut $1$ : $P(X=3) = 1 - 0{,}2 - 0{,}5 = 0{,}3$.
L'espérance d'un dé équilibré à $6$ faces est :
Réponse :
$3{,}5$
$E(X) = \dfrac{1+2+3+4+5+6}{6} = \dfrac{21}{6} = 3{,}5$.
Si $E(X) = 4$ et on pose $Y = 2X + 3$, alors $E(Y)$ vaut :
Réponse :
$11$
$E(Y) = E(2X + 3) = 2E(X) + 3 = 2 \times 4 + 3 = 11$.
Un jeu est équitable si :
Réponse :
$E(X) = 0$
Un jeu est équitable lorsque l'espérance du gain est nulle : ni le joueur ni la banque ne sont avantagés en moyenne.