Maths (Spé) — Probabilités et statistiques
Variables aléatoires réelles
Variable aléatoire, loi de probabilité, espérance, variance et écart-type
Résumé synthétiqueFiche en 4 sectionsQuiz de 10 questionsGratuit, sans pub
Résumé
Une **variable aléatoire** $X$ est une fonction qui associe un nombre réel à chaque issue d'une expérience aléatoire. La **loi de probabilité** de $X$ est le tableau donnant chaque valeur $x_i$ prise par $X$ et la probabilité $P(X = x_i)$ correspondante. La somme de toutes les probabilités vaut $1$. L'**espérance** $E(X) = \sum x_i \times P(X = x_i)$ est la valeur moyenne attendue sur un grand nombre de répétitions : par exemple, pour un dé équilibré, $E(X) = \dfrac{1+2+3+4+5+6}{6} = 3{,}5$. La **variance** $V(X) = \sum (x_i - E(X))^2 \times P(X = x_i) = E(X^2) - [E(X)]^2$ mesure la **dispersion** des valeurs autour de l'espérance. L'**écart-type** $\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$ s'exprime dans la même unité que $X$ et donne une mesure concrète de la dispersion.
La variable aléatoire formalise mathématiquement le résultat numérique d'une expérience aléatoire. Sa **loi de probabilité** résume toute l'information sur ses valeurs possibles et leurs chances de se réaliser.
- Une **variable aléatoire** $X$ associe un nombre réel à chaque issue d'une expérience aléatoire.
- Exemple : on lance un dé, $X = $ valeur obtenue. $X$ prend les valeurs $1, 2, 3, 4, 5, 6$.
- La **loi** de $X$ est le tableau des valeurs $x_i$ et des probabilités $P(X = x_i)$.
- **Propriété fondamentale** : la somme des probabilités vaut $1$ : $\sum P(X = x_i) = 1$.
- **Événement** $\{X = k\}$ : ensemble des issues pour lesquelles $X$ prend la valeur $k$.
- On peut aussi considérer $P(X \leq k)$, $P(X \geq k)$, $P(a \leq X \leq b)$ en additionnant les probabilités correspondantes.
- Exemple : si $X$ suit la loi $P(X=0)=0{,}3$, $P(X=1)=0{,}5$, $P(X=2)=0{,}2$, alors $P(X \geq 1) = 0{,}5 + 0{,}2 = 0{,}7$.
Exemple
On lance deux pièces. $X = $ nombre de Pile. Issues : $\{PP, PF, FP, FF\}$. $X$ prend les valeurs $0, 1, 2$. $P(X=0) = \dfrac{1}{4}$ (FF), $P(X=1) = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}$ (PF ou FP), $P(X=2) = \dfrac{1}{4}$ (PP). Vérification : $\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} = 1$. $P(X \geq 1) = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{4}$.
Piège à éviter
La somme des probabilités doit **toujours** faire $1$. Si vous trouvez une somme différente de $1$, c'est qu'il manque une valeur ou qu'un calcul est faux. C'est le premier réflexe de vérification à avoir !
L'**espérance** est la valeur moyenne qu'on obtiendrait en répétant l'expérience un très grand nombre de fois. C'est l'indicateur clé pour savoir si un jeu est favorable ou non.
- $E(X) = \sum x_i \times P(X = x_i)$ : c'est la **moyenne pondérée** des valeurs par leurs probabilités.
- **Interprétation** : sur un grand nombre de répétitions, la moyenne des résultats tend vers $E(X)$ (loi des grands nombres).
- Exemple dé : $E(X) = 1 \times \dfrac{1}{6} + 2 \times \dfrac{1}{6} + \dots + 6 \times \dfrac{1}{6} = \dfrac{21}{6} = 3{,}5$.
- **Jeu équitable** : un jeu est équitable si l'espérance du gain est nulle ($E(G) = 0$).
- **Propriété** : $E(aX + b) = aE(X) + b$ (linéarité).
- Si $X$ ne prend que la valeur $c$, alors $E(X) = c$.
- L'espérance n'est pas forcément une valeur prise par $X$ ($3{,}5$ n'est pas un résultat possible du dé).
Exemple
On lance deux pièces, $X = $ nombre de Pile. $E(X) = 0 \times \dfrac{1}{4} + 1 \times \dfrac{1}{2} + 2 \times \dfrac{1}{4} = 0 + 0{,}5 + 0{,}5 = 1$. En moyenne, on obtient $1$ Pile sur $2$ lancers, ce qui est logique. Avec $Y = 3X - 1$ : $E(Y) = 3 \times 1 - 1 = 2$.
Piège à éviter
L'espérance n'est **pas** toujours une valeur possible de $X$ ! Pour un dé, $E(X) = 3{,}5$ mais on ne peut jamais obtenir $3{,}5$. L'espérance est une **moyenne théorique**, pas un résultat observable en une seule expérience.
La **variance** et l'**écart-type** mesurent la **dispersion** des résultats autour de l'espérance. Un écart-type élevé signifie des résultats très variables, un écart-type faible signifie des résultats concentrés.
- **Variance** : $V(X) = \sum (x_i - E(X))^2 \times P(X = x_i) = E[(X - E(X))^2]$.
- **Formule de König-Huygens** (plus pratique pour calculer) : $V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$.
- $E(X^2) = \sum x_i^2 \times P(X = x_i)$.
- **Écart-type** : $\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$. Il est dans la même unité que $X$.
- $V(X) \geq 0$ toujours ; $V(X) = 0$ si et seulement si $X$ est constante.
- **Propriétés** : $V(aX + b) = a^2 V(X)$ et $\sigma(aX + b) = |a|\,\sigma(X)$.
- Plus $V(X)$ est grande, plus les valeurs de $X$ sont **dispersées** autour de $E(X)$.
- Exemple : dé équilibré, $E(X^2) = \dfrac{1+4+9+16+25+36}{6} = \dfrac{91}{6}$. $V(X) = \dfrac{91}{6} - (3{,}5)^2 = \dfrac{35}{12} \approx 2{,}92$.
Exemple
Pour $X = $ nombre de Pile en $2$ lancers : $E(X) = 1$, $E(X^2) = 0^2 \times \dfrac{1}{4} + 1^2 \times \dfrac{1}{2} + 2^2 \times \dfrac{1}{4} = 0 + 0{,}5 + 1 = 1{,}5$. $V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = 1{,}5 - 1^2 = 0{,}5$. $\sigma(X) = \sqrt{0{,}5} \approx 0{,}71$. Les résultats s'écartent en moyenne de $0{,}71$ autour de $1$.
Piège à éviter
Ne confondez **pas** $V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$ avec $V(X) = [E(X)]^2 - E(X^2)$ ! L'ordre est crucial : c'est $E(X^2)$ **moins** le carré de $E(X)$. Si vous trouvez une variance négative, c'est que vous avez inversé. La variance est **toujours** positive ou nulle.
Les exercices du Bac portent souvent sur des **jeux de hasard** ou des situations concrètes. La clé est de bien définir la variable aléatoire et son **gain net** avant de calculer.
- Pour déterminer une loi : lister toutes les valeurs possibles et calculer chaque probabilité (arbre, dénombrement…).
- Toujours vérifier que la somme des probabilités fait $1$.
- Pour un jeu : définir $X$ le **gain algébrique**, calculer $E(X)$. Si $E(X) > 0$, le jeu est favorable au joueur.
- Exemple : mise de $2$ €, on gagne $5$ € avec proba $\dfrac{1}{3}$ et rien avec proba $\dfrac{2}{3}$. Gain net $G$ : $G = 3$ avec proba $\dfrac{1}{3}$ et $G = -2$ avec proba $\dfrac{2}{3}$. $E(G) = 3 \times \dfrac{1}{3} + (-2) \times \dfrac{2}{3} = 1 - \dfrac{4}{3} = -\dfrac{1}{3} \approx -0{,}33$ €. Jeu défavorable.
Exemple
Un jeu coûte $2$ €. On lance un dé : si $6$, on gagne $10$ € ; sinon, rien. Gain net $G$ : $G = 10 - 2 = 8$ avec proba $\dfrac{1}{6}$, $G = 0 - 2 = -2$ avec proba $\dfrac{5}{6}$. $E(G) = 8 \times \dfrac{1}{6} + (-2) \times \dfrac{5}{6} = \dfrac{8}{6} - \dfrac{10}{6} = -\dfrac{2}{6} \approx -0{,}33$ €. Jeu défavorable : en moyenne on perd $33$ centimes par partie.
Piège à éviter
Le **gain net** est le gain **moins la mise**. Si on mise $2$ € et on reçoit $10$ €, le gain net est $8$ € (pas $10$ €). Si on ne gagne rien, le gain net est $-2$ € (pas $0$ €). Oublier de soustraire la mise fausse complètement le calcul de l'espérance.
Quiz - Variables aléatoires réelles
10 questions
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Questions fréquentes
Les points clés à retenir sur Variables aléatoires réelles, extraits du quiz de révision.
Si $X$ prend les valeurs $1, 2, 3$ avec $P(X=1) = 0{,}2$, $P(X=2) = 0{,}5$, alors $P(X=3)$ vaut :
Réponse :
$0{,}3$
La somme des probabilités vaut $1$ : $P(X=3) = 1 - 0{,}2 - 0{,}5 = 0{,}3$.
L'espérance d'un dé équilibré à $6$ faces est :
Réponse :
$3{,}5$
$E(X) = \dfrac{1+2+3+4+5+6}{6} = \dfrac{21}{6} = 3{,}5$.
Si $E(X) = 4$ et on pose $Y = 2X + 3$, alors $E(Y)$ vaut :
Réponse :
$11$
$E(Y) = E(2X + 3) = 2E(X) + 3 = 2 \times 4 + 3 = 11$.
Un jeu est équitable si :
Réponse :
$E(X) = 0$
Un jeu est **équitable** lorsque l'espérance du gain est nulle : ni le joueur ni la banque ne sont avantagés en moyenne.