Maths (Spé) — Analyse
Applications de la dérivation
Signe de la dérivée, variations, extremums et problèmes d'optimisation
Résumé synthétiqueFiche en 4 sectionsQuiz de 11 questionsGratuit, sans pub
Cours de spé Maths. Même notion dans une autre matière : Dérivation et applications — maths du tronc commun
Résumé
La dérivée permet d'étudier les variations d'une fonction : si $f'(x) > 0$ sur un intervalle, alors $f$ est strictement croissante sur cet intervalle ; si $f'(x) < 0$, $f$ est strictement décroissante. Un extremum local (maximum ou minimum) ne peut se produire qu'en un point où $f'(a) = 0$ (condition nécessaire), avec un changement de signe de $f'$. Par exemple, pour $f(x) = x^3 - 3x$, on calcule $f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x-1)(x+1)$. $f'$ s'annule en $x = -1$ et $x = 1$ : $f$ admet un maximum local en $x = -1$ ($f(-1) = 2$) et un minimum local en $x = 1$ ($f(1) = -2$). La dérivation permet aussi de résoudre des problèmes d'optimisation concrets, comme maximiser une aire ou minimiser un coût.
Le lien entre le signe de la dérivée et les variations est le résultat central du chapitre. Il transforme un problème d'analyse (variations) en un problème d'algèbre (signe d'une expression).
Du signe de $f'$ au tableau de variations : la méthode complète
- Théorème fondamental : si $f'(x) > 0$ sur un intervalle $I$, alors $f$ est strictement croissante sur $I$.
- Si $f'(x) < 0$ sur $I$, alors $f$ est strictement décroissante sur $I$.
- Si $f'(x) = 0$ sur $I$, alors $f$ est constante sur $I$.
- Attention : $f'(a) = 0$ en un point isolé ne signifie pas que $f$ est constante (exemple : $f(x) = x^3$, $f'(0) = 0$ mais $f$ est croissante).
- Méthode : calculer $f'(x)$, résoudre $f'(x) = 0$, étudier le signe de $f'(x)$, dresser le tableau de variations.
- Exemple : $f(x) = x^2 - 4x + 3$. $f'(x) = 2x - 4 = 0 \to x = 2$. $f' < 0$ sur $]-\infty\,;2[$, $f' > 0$ sur $]2\,;+\infty[$.
Exemple
Soit $f(x) = x^3 - 3x + 1$. On calcule $f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x^2 - 1) = 3(x - 1)(x + 1)$. $f'(x) = 0$ pour $x = -1$ et $x = 1$. $f' > 0$ sur $]-\infty\,;-1[$, $f' < 0$ sur $]-1\,;1[$, $f' > 0$ sur $]1\,;+\infty[$. Donc $f$ est croissante, puis décroissante, puis croissante.
Piège à éviter
$f'(a) > 0$ signifie que $f$ est croissante au voisinage de $a$, pas que $f(a)$ est positif ! Le signe de $f'$ renseigne sur les variations de $f$, pas sur le signe de $f$. Ne confondez jamais « $f$ croissante » et « $f$ positive ».
Les extremums (maxima et minima) sont les points les plus importants du tableau de variations. Ils se trouvent là où la dérivée s'annule ET change de signe.
- Un maximum local de $f$ en $a$ : $f(a) \geq f(x)$ pour tout $x$ au voisinage de $a$.
- Un minimum local de $f$ en $a$ : $f(a) \leq f(x)$ pour tout $x$ au voisinage de $a$.
- Condition nécessaire : si $f$ admet un extremum en $a$ et si $f$ est dérivable en $a$, alors $f'(a) = 0$.
- Attention : $f'(a) = 0$ n'implique pas forcément un extremum ! (Contre-exemple : $f(x) = x^3$ en $a = 0$.)
- Condition suffisante : si $f'$ change de signe en $a$ (passage $+$ à $- \to$ maximum ; passage $-$ à $+ \to$ minimum).
- Pour trouver le maximum ou minimum global sur $[a\,;b]$ : comparer $f$ aux points critiques ($f' = 0$) et aux bornes $a$ et $b$.
- Astuce : le tableau de variations montre directement les extremums locaux.
Exemple
Pour $f(x) = x^3 - 3x + 1$ : $f'(x) = 3(x-1)(x+1)$. En $x = -1$ : $f'$ passe de $+$ à $- \to$ maximum local, $f(-1) = -1 + 3 + 1 = 3$. En $x = 1$ : $f'$ passe de $-$ à $+ \to$ minimum local, $f(1) = 1 - 3 + 1 = -1$. Maximum local : $3$ en $x = -1$, minimum local : $-1$ en $x = 1$.
Piège à éviter
$f'(a) = 0$ est nécessaire mais pas suffisant pour un extremum ! Contre-exemple classique : $f(x) = x^3$, $f'(0) = 0$ mais $f$ n'a pas d'extremum en $0$ ($f$ est croissante). Il faut vérifier le changement de signe de $f'$.
Le tableau de variations est l'outil de synthèse qui rassemble toutes les informations sur la fonction. Savoir le construire rigoureusement est essentiel pour le Bac.
- Ligne 1 : valeurs de $x$, avec les bornes et les valeurs où $f'$ s'annule.
- Ligne 2 : signe de $f'(x)$ ($+$ ou $-$) avec $0$ aux points d'annulation.
- Ligne 3 : variations de $f$ (flèche montante $\nearrow$ si $f' > 0$, descendante $\searrow$ si $f' < 0$) avec les valeurs de $f$.
- Exemple complet : $f(x) = -x^2 + 6x - 5 \to f'(x) = -2x + 6 = 0$ en $x = 3$. $f' > 0$ sur $]-\infty\,;3[$, $f' < 0$ sur $]3\,;+\infty[$. Maximum en $x = 3$ : $f(3) = 4$.
- Ne pas oublier les valeurs de $f$ aux bornes du domaine si elles sont finies.
Exemple
Pour $f(x) = -x^2 + 6x - 5$ sur $\mathbb{R}$ : $f'(x) = -2x + 6 = 0 \to x = 3$. $f'(x) > 0$ pour $x < 3$, $f'(x) < 0$ pour $x > 3$. Tableau : $f$ croissante sur $]-\infty\,;3]$, décroissante sur $[3\,;+\infty[$. Maximum en $x = 3$ : $f(3) = -9 + 18 - 5 = 4$.
Piège à éviter
N'oubliez pas de calculer les valeurs de $f$ aux points critiques et aux bornes. Un tableau de variations incomplet (sans les valeurs de $f$) ne rapporte pas tous les points au Bac. Indiquez toujours $f(a)$ en face de chaque valeur remarquable de $x$.
L'optimisation est l'application concrète de la dérivation : maximiser un profit, minimiser un coût, trouver les dimensions optimales. C'est un type d'exercice très fréquent au Bac.
- Étape 1 : identifier la grandeur à optimiser et l'exprimer en fonction d'une seule variable $x$.
- Étape 2 : déterminer l'intervalle de définition (contraintes du problème).
- Étape 3 : dériver, chercher les points critiques ($f' = 0$), dresser le tableau de variations.
- Étape 4 : en déduire le maximum ou minimum et répondre au problème.
- Exemple classique : maximiser l'aire d'un rectangle de périmètre fixé $20$. Aire $A(x) = x(10-x) = -x^2 + 10x$, $A'(x) = -2x + 10 = 0 \to x = 5$. Aire max $= 25$ (carré).
- Toujours vérifier que le point critique trouvé est bien dans le domaine de la variable.
- Conclure avec une phrase répondant à la question posée (ne pas oublier les unités).
Exemple
Un fermier veut clôturer un enclos rectangulaire avec $40$ m de clôture contre un mur ($3$ côtés seulement). Si $x$ est la largeur, la longueur est $40 - 2x$. Aire : $A(x) = x(40 - 2x) = -2x^2 + 40x$, pour $x \in\,]0\,;20[$. $A'(x) = -4x + 40 = 0 \to x = 10$. $A(10) = 200$ m². L'enclos optimal est $10$ m $\times$ $20$ m.
Piège à éviter
Dans un problème d'optimisation, n'oubliez pas de vérifier le domaine de la variable. Si $x$ représente une longueur, $x > 0$ obligatoirement. De plus, le maximum trouvé par la dérivée doit être dans le domaine. Concluez toujours par une phrase avec les unités.
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Questions fréquentes
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Si $f'(x) > 0$ sur un intervalle $I$, alors $f$ est :
Réponse :
Croissante sur $I$
C'est le théorème fondamental : $f'(x) > 0 \Rightarrow f$ strictement croissante.
Soit $f(x) = x^2 - 6x + 8$. $f'(x) = 0$ pour :
Réponse :
$x = 3$
$f'(x) = 2x - 6$. $2x - 6 = 0 \to x = 3$.
Pour $f(x) = x^2 - 6x + 8$, le point $x = 3$ est :
Réponse :
Un minimum local
$f'$ change de signe de négatif à positif en $x = 3$ ($f'(x) = 2x - 6 < 0$ pour $x < 3$, $> 0$ pour $x > 3$) : c'est un minimum local.
$f(x) = x^3$ admet en $x = 0$ :
Réponse :
Aucun extremum
$f'(x) = 3x^2 \geq 0$ partout et $f'(0) = 0$, mais $f'$ ne change pas de signe : $f$ est croissante. Pas d'extremum en $0$.