Mathématiques — Fonctions
Fonctions de référence
Fonctions affines, carrée, inverse, racine carrée
Résumé synthétiqueFiche en 4 sectionsQuiz de 10 questionsGratuit, sans pub
Résumé
Quatre fonctions reviennent sans cesse au lycée : ce sont les fonctions de référence. La fonction affine $f(x) = ax + b$ trace une droite dont la pente $a$ donne la vitesse de montée. La fonction carrée $f(x) = x^2$ dessine une parabole symétrique, toujours positive. La fonction inverse $f(x) = \dfrac{1}{x}$ forme une hyperbole à deux branches qui frôlent les axes sans les toucher. La fonction racine carrée $f(x) = \sqrt{x}$ n'existe que pour $x \geq 0$ et grandit de plus en plus lentement. Connaître par cœur leur courbe, leur domaine et leurs variations, c'est se donner les moyens de résoudre des inéquations, d'étudier des fonctions plus complexes et de modéliser le réel.
La fonction affine $f(x) = ax + b$ a pour courbe une droite. Le coefficient $a$ (la pente) indique à quelle vitesse elle monte ou descend ; $b$ (l'ordonnée à l'origine) fixe le point de départ sur l'axe des ordonnées.
- Forme : $f(x) = ax + b$, avec $a$ le coefficient directeur et $b$ l'ordonnée à l'origine ($b = f(0)$).
- Variation : croissante si $a > 0$, décroissante si $a < 0$, constante si $a = 0$.
- Cas linéaire : si $b = 0$, alors $f(x) = ax$ et la droite passe par l'origine.
- Pente entre deux points : $a = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$.
- Racine : $ax + b = 0 \Rightarrow x = -\dfrac{b}{a}$ (intersection avec l'axe des abscisses).
Exemple
Tarif taxi $f(x) = 1{,}5x + 3$ ($1{,}5$ € par km, prise en charge de $3$ €) : $5$ km coûtent $f(5) = 1{,}5 \times 5 + 3 = 10{,}5$ €. Entre $A(1\,;3)$ et $B(4\,;9)$, la pente vaut $a = \dfrac{9 - 3}{4 - 1} = \dfrac{6}{3} = 2$.
Piège à éviter
Ne confonds pas $a$ et $b$ : $a$ est la pente, $b$ l'ordonnée à l'origine. Dans $f(x) = 2x - 5$, l'ordonnée à l'origine est $-5$ (et non $2$), car $f(0) = -5$.
La fonction carrée $f(x) = x^2$ a pour courbe une parabole de sommet l'origine. Elle décroît sur les négatifs puis croît sur les positifs, et reste toujours positive ou nulle.
La parabole est symétrique par rapport à l'axe $Oy$ : deux nombres opposés ont la même image, par exemple $f(-2) = f(2) = 4$.
- Courbe : parabole de sommet $O(0\,;0)$, ouverte vers le haut.
- Variation : décroissante sur $]-\infty\,;0]$, croissante sur $[0\,;+\infty[$ ; minimum atteint en $0$.
- Signe : $x^2 \geq 0$ pour tout réel $x$ (la courbe reste au-dessus de l'axe $Ox$).
- Parité : $f(-x) = (-x)^2 = x^2 = f(x)$ — fonction paire, symétrique par rapport à $Oy$.
- Ordre : si $0 < a < b$ alors $a^2 < b^2$ ; mais si $a < b < 0$ alors $a^2 > b^2$ (ordre inversé).
Exemple
$f(-3) = (-3)^2 = 9$ et $f(3) = 3^2 = 9$ : l'image $9$ a deux antécédents, $-3$ et $3$. C'est la signature de la symétrie de la parabole par rapport à l'axe $Oy$.
Piège à éviter
$(-3)^2 = 9$ (positif), mais $-3^2 = -9$ : sans parenthèses, le carré ne porte que sur le $3$. Et l'ordre n'est conservé que sur les positifs : pour deux négatifs, le carré l'inverse.
La fonction inverse $f(x) = \dfrac{1}{x}$ a pour courbe une hyperbole en deux branches. Elle n'est pas définie en $0$ (division impossible) et décroît sur chacune de ses deux branches.
Les deux branches s'approchent des axes (asymptotes) sans jamais les toucher : $f(1) = 1$, $f(2) = 0{,}5$, et $f(x)$ tend vers $0$ quand $x$ grandit.
- Domaine : $\mathbb{R}^* = \mathbb{R} \setminus \{0\}$ (tous les réels sauf $0$).
- Courbe : hyperbole à deux branches (quadrants haut-droite et bas-gauche).
- Variation : décroissante sur $]-\infty\,;0[$ et décroissante sur $]0\,;+\infty[$ (deux intervalles séparés).
- Asymptotes : l'axe $Ox$ ($y = 0$) et l'axe $Oy$ ($x = 0$).
- Parité : $f(-x) = -\dfrac{1}{x} = -f(x)$ — fonction impaire, symétrie centrale en $O$.
Exemple
$f(2) = \dfrac{1}{2} = 0{,}5$ et $f(0{,}5) = \dfrac{1}{0{,}5} = 2$. Plus $x$ grandit, plus $\dfrac{1}{x}$ se rapproche de $0$ — sans jamais l'atteindre.
Piège à éviter
On ne peut pas dire que $f$ est « décroissante sur $\mathbb{R}^*$ » : ce n'est pas un intervalle. Contre-exemple : $f(-1) = -1 < f(1) = 1$, alors que $-1 < 1$.
La fonction racine carrée $f(x) = \sqrt{x}$ n'existe que pour $x \geq 0$. Elle est croissante, mais de plus en plus lentement : sa courbe s'aplatit progressivement.
- Domaine : $[0\,;+\infty[$ — pas de racine carrée d'un nombre négatif dans $\mathbb{R}$.
- Variation : strictement croissante sur $[0\,;+\infty[$, avec une croissance qui ralentit.
- Valeurs repères : $\sqrt{0}=0$, $\sqrt{1}=1$, $\sqrt{4}=2$, $\sqrt{9}=3$, $\sqrt{16}=4$, $\sqrt{25}=5$.
- Identité : $\sqrt{a^2} = |a|$ (valeur absolue) ; par exemple $\sqrt{(-3)^2} = \sqrt{9} = 3$.
- Produit : $\sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}$ pour $a, b \geq 0$ ; ainsi $\sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = 5\sqrt{2}$.
Exemple
Pour résoudre $\sqrt{x} = 4$ (avec $x \geq 0$), on élève au carré : $x = 4^2 = 16$. Vérification : $\sqrt{16} = 4$.
Piège à éviter
Attention : $\sqrt{a + b} \neq \sqrt{a} + \sqrt{b}$. Contre-exemple : $\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$, alors que $\sqrt{9} + \sqrt{16} = 3 + 4 = 7$. On ne « distribue » jamais une racine sur une somme.
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Questions fréquentes
Les points clés à retenir sur Fonctions de référence, extraits du quiz de révision.
La fonction $f(x) = -3x + 2$ est :
Réponse :
Décroissante
Le coefficient directeur $a = -3$ est strictement négatif, donc $f$ est strictement décroissante sur $\mathbb{R}$ : la droite descend de gauche à droite. Quand $x$ augmente de $1$, $f(x)$ diminue de $3$.
La fonction carrée $f(x) = x^2$ est décroissante sur :
Réponse :
$]-\infty\,;0]$
Sur $]-\infty\,;0]$, plus $x$ se rapproche de $0$, plus $x^2$ diminue : $(-3)^2 = 9 > (-1)^2 = 1 > 0^2 = 0$. Puis $f$ croît sur $[0\,;+\infty[$. Le minimum est atteint en $x = 0$.
La fonction inverse $f(x) = \dfrac{1}{x}$ est définie pour :
Réponse :
$x \neq 0$
La division par zéro est impossible, donc $0$ est exclu : le domaine est $\mathbb{R}^*$, c'est-à-dire $x \neq 0$. En revanche $\dfrac{1}{x}$ existe pour les négatifs, par exemple $f(-2) = -0{,}5$. À ne pas confondre avec $\sqrt{x}$, qui exige $x \geq 0$.
Combien vaut $\sqrt{9}$ ?
Réponse :
$3$
$\sqrt{9} = 3$ car $3^2 = 9$. La fonction racine carrée renvoie toujours un résultat positif ou nul. La réponse $\pm 3$ vaut pour l'équation $x^2 = 9$, mais $\sqrt{9}$ ne désigne que la racine positive.