Mathématiques — Analyse
Dérivation et applications
Nombre dérivé, tangente, fonction dérivée, variations
Résumé synthétiqueFiche en 5 sectionsQuiz de 10 questionsGratuit, sans pub
Cours de maths du tronc commun. Même notion dans une autre matière : Applications de la dérivation — spé Maths
Résumé
La dérivation est sans doute l'outil le plus puissant du lycée : elle transforme une question de pente en un calcul. Le nombre dérivé $f'(a)$ donne le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse $a$ — la droite qui « épouse » la courbe à cet endroit. En faisant varier $a$, on obtient la fonction dérivée $f'$, que l'on calcule grâce à quelques formules de référence — $(x^n)' = nx^{n-1}$, $\left(\dfrac{1}{x}\right)' = -\dfrac{1}{x^2}$, $(\sqrt{x})' = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ — et aux règles de somme, de produit et de multiple. Surtout, le signe de $f'$ révèle les variations de $f$ : positif, $f$ monte ; négatif, $f$ descend ; et là où $f'$ s'annule en changeant de signe, $f$ atteint un extremum.
Le nombre dérivé $f'(a)$ mesure la pente locale de la courbe au point d'abscisse $a$. On l'obtient comme limite du taux d'accroissement quand l'écart $h$ tend vers $0$ : les sécantes se rapprochent alors d'une droite limite, la tangente. Le nombre dérivé est exactement le coefficient directeur de cette tangente.
La tangente touche $\mathcal{C}_f$ en $A$ ; sa pente est $f'(a)$. Pour un pas horizontal de $+1$, la tangente monte de $f'(a)$.
- Définition : $f'(a) = \displaystyle\lim_{h \to 0} \dfrac{f(a+h) - f(a)}{h}$, limite du taux d'accroissement.
- $f'(a)$ est le coefficient directeur de la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $a$.
- Équation de la tangente : $y = f'(a)(x - a) + f(a)$.
- Cette tangente passe par le point $A\,(a\,;f(a))$ de la courbe.
- Si $f'(a) > 0$ la tangente monte, si $f'(a) < 0$ elle descend, si $f'(a) = 0$ elle est horizontale.
Exemple
Soit $f(x) = x^2$ et $a = 3$. Le nombre dérivé vaut $f'(3) = 6$ (car $f'(x) = 2x$). La tangente en $A\,(3\,;9)$ a pour équation $y = 6(x - 3) + 9 = 6x - 9$.
Piège à éviter
La tangente n'est pas la courbe : elle ne fait que la longer au voisinage de $A$. Et $f'(a)$ est un nombre (la pente en un point), tandis que $f'$ est une fonction — ne confonds pas les deux.
En calculant $f'(a)$ pour tout $a$, on définit la fonction dérivée $f'$. Plutôt que de repasser par la limite à chaque fois, on mémorise quelques dérivées de référence : elles couvrent l'essentiel des fonctions rencontrées en Première.
- Fonction constante : $(k)' = 0$, et fonction identité : $(x)' = 1$.
- Puissances : $(x^n)' = n\,x^{n-1}$ (par exemple $(x^3)' = 3x^2$).
- Inverse : $\left(\dfrac{1}{x}\right)' = -\dfrac{1}{x^2}$, pour $x \neq 0$.
- Racine : $(\sqrt{x})' = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$, pour $x > 0$.
- La fonction dérivée garde le même signe que la pente locale : c'est elle qui pilotera les variations.
Exemple
Pour $f(x) = x^4$, on applique la formule des puissances avec $n = 4$ : $f'(x) = 4x^{4-1} = 4x^3$.
Piège à éviter
La formule $(x^n)' = n\,x^{n-1}$ abaisse l'exposant de $1$ ; on n'écrit pas $(x^3)' = 3x^3$. Et $\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ n'est défini que pour $x > 0$ : la racine n'est pas dérivable en $0$.
Les fonctions du programme se construisent en combinant des fonctions simples. Trois règles permettent de dériver ces combinaisons sans jamais revenir à la limite : la somme, le multiple par une constante et le produit.
- Somme : $(u + v)' = u' + v'$ — on dérive terme à terme.
- Multiple : $(k\,u)' = k\,u'$ — une constante multiplicative se conserve.
- Produit : $(uv)' = u'v + uv'$ — la formule à bien mémoriser.
- Ces règles se combinent : un polynôme se dérive en dérivant chaque monôme séparément.
- Méthode produit : repérer $u$ et $v$, calculer $u'$ et $v'$, puis assembler $u'v + uv'$.
Exemple
Soit $f(x) = (2x + 1)(x^2)$. Avec $u = 2x + 1$ ($u' = 2$) et $v = x^2$ ($v' = 2x$) : $f'(x) = 2 \times x^2 + (2x + 1) \times 2x = 2x^2 + 4x^2 + 2x = 6x^2 + 2x$.
Piège à éviter
La dérivée d'un produit n'est pas le produit des dérivées : $(uv)' \neq u'v'$. Il faut les deux termes $u'v$ et $uv'$. Oublier l'un des deux est l'erreur la plus fréquente.
Voici le cœur du chapitre : le signe de $f'$ donne le sens de variation de $f$. C'est le lien qui transforme un calcul de dérivée en une étude complète de la fonction, résumée dans un tableau de variations.
- Si $f'(x) > 0$ sur un intervalle $I$, alors $f$ est croissante sur $I$.
- Si $f'(x) < 0$ sur $I$, alors $f$ est décroissante sur $I$.
- Si $f'(x) = 0$ sur tout $I$, alors $f$ est constante sur $I$.
- Méthode : calculer $f'$, étudier son signe, en déduire les variations dans un tableau.
- Le tableau de variations résume tout : signe de $f'$ sur chaque ligne, flèches de $f$ en dessous.
Exemple
Soit $f(x) = x^2 - 4x + 3$, donc $f'(x) = 2x - 4$. On a $f'(x) > 0 \iff x > 2$ : $f$ est décroissante sur $]-\infty\,;2]$ puis croissante sur $[2\,;+\infty[$.
Piège à éviter
Une dérivée positive donne une fonction croissante, jamais l'inverse. Et c'est le signe de $f'(x)$ qui compte, pas sa valeur : $f' = 1$ et $f' = 100$ donnent toutes deux une fonction croissante.
Un extremum local est un sommet (maximum) ou un creux (minimum) de la courbe. À cet endroit, la tangente est horizontale : la dérivée s'y annule. Mais attention, encore faut-il qu'elle change de signe — sinon il n'y a pas d'extremum.
- En un extremum local, la tangente est horizontale : $f'$ s'annule.
- Critère : si $f'$ s'annule et change de signe en $a$, alors $f$ a un extremum local en $a$.
- $f'$ passe de $+$ à $-$ : maximum local. De $-$ à $+$ : minimum local.
- Si $f'$ s'annule sans changer de signe, il n'y a pas d'extremum (simple palier).
- On lit l'extremum directement sur le tableau de variations (sommet d'une flèche).
Exemple
Pour $f(x) = x^2 - 4x + 3$, $f'(x) = 2x - 4$ s'annule en $x = 2$ en passant de $-$ à $+$ : $f$ admet un minimum local en $x = 2$, valant $f(2) = 4 - 8 + 3 = -1$.
Piège à éviter
$f'(a) = 0$ ne suffit pas pour un extremum : il faut un changement de signe. Exemple : $f(x) = x^3$ a $f'(0) = 0$, mais $f'(x) = 3x^2 \geq 0$ partout — $f$ reste croissante, sans extremum.
Quiz - Dérivation
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Notions clés — Mathématiques
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Questions fréquentes
Les points clés à retenir sur Dérivation et applications, extraits du quiz de révision.
La dérivée de $x^3$ est :
Réponse :
$3x^2$
La formule des puissances donne $(x^n)' = n\,x^{n-1}$, donc $(x^3)' = 3x^{2}$. On abaisse l'exposant de $1$ : la réponse $3x^3$ oublie justement cet abaissement.
Si $f'(x) > 0$ sur un intervalle, alors sur cet intervalle $f$ est :
Réponse :
croissante
Une dérivée strictement positive signifie que la pente locale est partout positive : la fonction croît. Le signe de $f'$ commande le sens de variation de $f$.
L'équation de la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $a$ est :
Réponse :
$y = f'(a)(x - a) + f(a)$
La tangente a pour pente $f'(a)$ et passe par $A\,(a\,;f(a))$, d'où $y = f'(a)(x - a) + f(a)$. Les autres formules oublient soit la pente, soit le passage par le point $A$.
La dérivée de $\dfrac{1}{x}$ est :
Réponse :
$-\dfrac{1}{x^2}$
$\left(\dfrac{1}{x}\right)' = -\dfrac{1}{x^2}$, pour $x \neq 0$. Le signe « moins » traduit que la fonction inverse est décroissante sur chaque intervalle où elle est définie.