Mathématiques — Fonctions
Notion de fonction
Image, antécédent, courbe représentative
Résumé synthétiqueFiche en 5 sectionsQuiz de 10 questionsGratuit, sans pub
Résumé
Une fonction $f$ est une machine qui, à chaque nombre $x$ de son domaine, associe un seul résultat $f(x)$, appelé son image. Si $f(a) = b$, alors $b$ est l'image de $a$, et $a$ est un antécédent de $b$. Un nombre a toujours au plus une image, mais peut avoir plusieurs antécédents — ou aucun. La courbe représentative rassemble tous les points $(x\,;f(x))$ : elle se lit comme une carte, en montant depuis l'axe des abscisses pour trouver une image, ou en partant de l'axe des ordonnées pour un antécédent. On y voit aussi d'un coup d'œil les variations (la courbe monte ou descend) et le signe de $f$. C'est l'objet central de toute l'analyse.
Une fonction transforme une entrée $x$ en une sortie $f(x)$. Tout le vocabulaire tourne autour de ce sens unique : on parle d'image quand on va de $x$ vers $f(x)$, et d'antécédent quand on remonte de la valeur vers le $x$ de départ.
- Image : $f(x)$ est l'image de $x$ — le résultat quand on applique $f$ à $x$.
- Si $f(a) = b$ : $b$ est l'image de $a$, et $a$ est un antécédent de $b$.
- Un nombre a toujours au plus une image (c'est la définition d'une fonction).
- Un nombre peut avoir $0$, $1$ ou plusieurs antécédents.
- Domaine de définition $D_f$ : l'ensemble des $x$ pour lesquels $f(x)$ existe.
Exemple
Pour $f(x) = \dfrac{1}{x}$, on ne peut pas diviser par $0$ : $D_f = ]-\infty\,;0[ \cup ]0\,;+\infty[$. Pour $g(x) = \sqrt{x}$, il faut $x \geq 0$, donc $D_g = [0\,;+\infty[$.
Piège à éviter
Ne confonds pas image et antécédent : l'« image de $a$ » se calcule directement ($f(a)$), tandis que l'« antécédent de $b$ » demande de résoudre l'équation $f(x) = b$.
La courbe $\mathcal{C}_f$ est la photographie de la fonction : chaque point a pour abscisse une entrée $x$ et pour ordonnée sa sortie $f(x)$. Lire un graphique, c'est passer de l'axe horizontal à l'axe vertical (image), ou l'inverse (antécédent).
Pour lire $f(a)$ : on part de $a$ sur l'axe des abscisses, on monte jusqu'à la courbe, puis on lit l'ordonnée $f(a)$.
- La courbe $\mathcal{C}_f$ est l'ensemble des points $M(x\,;f(x))$ pour $x \in D_f$.
- Lire une image : partir de $x$ sur l'axe des abscisses, monter jusqu'à la courbe, lire $y$ sur l'axe des ordonnées.
- Lire un antécédent : partir de $y$ sur l'axe des ordonnées, rejoindre la courbe, lire $x$.
- Un point $A(a\,;b)$ est sur la courbe si et seulement si $f(a) = b$.
- Là où la courbe coupe l'axe des abscisses, $f(x) = 0$ : ce sont les zéros de $f$.
Exemple
Si $\mathcal{C}_f$ passe par le point $A(3\,;5)$, alors $f(3) = 5$ : l'image de $3$ est $5$, et $3$ est un antécédent de $5$.
Piège à éviter
Pour une image, on lit une ordonnée ; pour un antécédent, une abscisse. Donner un $y$ là où l'on attend un $x$ (ou l'inverse) est l'erreur graphique numéro un.
Étudier les variations, c'est dire où la courbe monte et où elle descend. Une fonction est croissante quand des $x$ plus grands donnent des images plus grandes ; décroissante dans le cas contraire.
- Croissante sur $I$ : si $x_1 < x_2$ alors $f(x_1) < f(x_2)$ (la courbe monte).
- Décroissante sur $I$ : si $x_1 < x_2$ alors $f(x_1) > f(x_2)$ (la courbe descend).
- Constante : $f(x)$ garde la même valeur (courbe horizontale).
- Le tableau de variations résume montées, descentes et valeurs aux bornes par des flèches.
- Maximum / minimum : la plus grande / plus petite valeur atteinte, globalement ou sur un intervalle.
Exemple
$f(x) = x^2$ est décroissante sur $]-\infty\,;0]$, puis croissante sur $[0\,;+\infty[$ : elle atteint son minimum $0$ en $x = 0$.
Piège à éviter
« $f$ croissante » (la courbe monte) n'a rien à voir avec « $f$ positive » (la courbe est au-dessus de l'axe). Une fonction peut très bien être positive et décroissante.
Quelques fonctions reviennent sans cesse : il faut reconnaître leur forme, leur allure et leur domaine au premier coup d'œil. Ce sont les briques de base de tout le programme.
- Affine $f(x) = ax + b$ : une droite, de pente $a$ et d'ordonnée à l'origine $b$.
- Carré $f(x) = x^2$ : une parabole, minimum en $0$, paire ($f(-x) = f(x)$).
- Inverse $f(x) = \dfrac{1}{x}$ : une hyperbole, non définie en $0$.
- Racine carrée $f(x) = \sqrt{x}$ : définie pour $x \geq 0$, croissante.
- Valeur absolue $f(x) = |x|$ : une courbe en V, minimum en $0$.
Exemple
La fonction carré $f(x) = x^2$ est paire : $f(-3) = (-3)^2 = 9$ et $f(3) = 3^2 = 9$. Sa parabole est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
Piège à éviter
$\sqrt{x}$ et $\dfrac{1}{x}$ ne sont pas définies partout : pas de racine d'un nombre négatif, pas de division par $0$. Vérifie toujours le domaine avant de calculer.
Beaucoup de questions se résolvent sans calcul, juste en lisant la courbe. Le réflexe : distinguer ce qu'on cherche — une image (un $y$), des antécédents ou solutions (des $x$), ou un signe (au-dessus / en dessous de l'axe).
- Calculer $f(2)$ : tracer la verticale $x = 2$, lire l'ordonnée du point d'intersection avec $\mathcal{C}_f$.
- Résoudre $f(x) = 3$ : tracer l'horizontale $y = 3$, lire les abscisses des intersections.
- Résoudre $f(x) > 0$ : repérer les $x$ où la courbe est au-dessus de l'axe des abscisses.
- Comparer $f$ et $g$ : $f(x) > g(x)$ là où $\mathcal{C}_f$ est au-dessus de $\mathcal{C}_g$.
Exemple
Pour résoudre $f(x) = 3$ : la droite $y = 3$ coupe la courbe en deux points d'abscisses $-1$ et $4$. Les solutions sont donc $x = -1$ et $x = 4$.
Piège à éviter
Pour une équation $f(x) = k$, on cherche des abscisses (des $x$), pas des ordonnées. Donner $k$ comme réponse est un contresens fréquent.
Quiz - Notion de fonction
10 questions
S'entraîner
Ce thème dans une autre classe
Notions clés — Mathématiques
Articles utiles
Questions fréquentes
Les points clés à retenir sur Notion de fonction, extraits du quiz de révision.
Si $f(3) = 7$, que peut-on affirmer ?
Réponse :
$7$ est l'image de $3$
$f(3) = 7$ signifie que l'image de $3$ est $7$. Réciproquement, $3$ est un antécédent de $7$.
Une fonction est croissante sur un intervalle quand :
Réponse :
sa courbe monte de gauche à droite
Croissante : quand $x$ augmente, $f(x)$ augmente aussi — la courbe monte. Cela n'a rien à voir avec le signe de $f$.
Combien d'images le nombre $5$ a-t-il par une fonction $f$ ?
Réponse :
$1$
Par définition, une fonction associe à chaque nombre une seule image. C'est ce qui distingue une fonction d'une relation quelconque.
Le point $A(2\,;5)$ appartient à la courbe de $f$. Donc :
Réponse :
$f(2) = 5$
Un point $(x\,;y)$ est sur la courbe si $f(x) = y$. Ici $f(2) = 5$ : l'abscisse est l'entrée, l'ordonnée la sortie.