Mathématiques — Nombres et calculs
Calcul avec les puissances et les racines carrées
Puissances entières, propriétés, racines carrées, simplification
Résumé synthétiqueFiche en 5 sectionsQuiz de 10 questionsGratuit, sans pub
Résumé
Comment écrire $2^{30}$ sans aligner trente fois le chiffre $2$ ? Les puissances condensent les produits répétés : $a^n$ signifie « $a$ multiplié par lui-même $n$ fois ». Quelques règles simples — $a^n \times a^m = a^{n+m}$, $(a^n)^m = a^{nm}$ — suffisent alors à tout calculer, même avec des exposants négatifs où $a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$. Les racines carrées font le chemin inverse du carré : $\sqrt{a}$ est le nombre positif dont le carré vaut $a$. Ce chapitre t'apprend à manier ces deux outils, à simplifier une racine comme $\sqrt{50} = 5\sqrt{2}$, et à esquiver les pièges classiques ($\sqrt{a+b} \neq \sqrt{a} + \sqrt{b}$). C'est la boîte à outils indispensable pour la notation scientifique et les ordres de grandeur en physique.
Une puissance est une multiplication répétée écrite de façon compacte : au lieu de $2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2$, on écrit $2^5$. Le nombre du bas, $a$, est la base ; celui du haut, $n$, l'exposant, indique combien de fois on multiplie. Tout l'intérêt : quelques règles sur les exposants remplacent des calculs interminables.
- Définition : $a^n = \underbrace{a \times a \times \cdots \times a}_{n \text{ facteurs}}$. Exemple : $3^4 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 81$.
- Conventions : $a^1 = a$ et $a^0 = 1$ (pour tout $a \neq 0$).
- Produit, même base : $a^n \times a^m = a^{n+m}$. Exemple : $2^3 \times 2^4 = 2^7 = 128$.
- Quotient, même base : $\dfrac{a^n}{a^m} = a^{n-m}$. Exemple : $\dfrac{5^6}{5^4} = 5^2 = 25$.
- Puissance de puissance : $(a^n)^m = a^{n \times m}$. Exemple : $(3^2)^3 = 3^6 = 729$.
- Puissance d'un produit : $(a\,b)^n = a^n\, b^n$. Exemple : $(2 \times 5)^3 = 2^3 \times 5^3 = 1000$.
Exemple
Simplifions $\dfrac{2^5 \times 2^4}{2^3}$. Au numérateur : $2^5 \times 2^4 = 2^{5+4} = 2^9$. Puis $\dfrac{2^9}{2^3} = 2^{9-3} = 2^6 = 64$.
Piège à éviter
On additionne les exposants pour un produit ($a^n \times a^m = a^{n+m}$) mais on les multiplie pour une puissance de puissance ($(a^n)^m = a^{nm}$). Confondre les deux est l'erreur n°1 : $2^3 \times 2^4 = 2^7$, et non $2^{12}$.
Que peut valoir $2^{-3}$ ? L'idée est de prolonger la règle des quotients. Comme $\dfrac{a^n}{a^m} = a^{n-m}$, un exposant négatif apparaît naturellement et signifie l'inverse. Une puissance négative ne donne donc jamais un nombre négatif : elle fait simplement « passer de l'autre côté de la fraction ».
- Définition : $a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$ (avec $a \neq 0$). Exemple : $2^{-3} = \dfrac{1}{2^3} = \dfrac{1}{8} = 0{,}125$.
- Puissances de $10$ : $10^{-n} = \dfrac{1}{10^n}$. Exemple : $10^{-3} = 0{,}001$.
- Toutes les règles ($a^n \times a^m = a^{n+m}$, etc.) restent valables avec des exposants négatifs.
- Notation scientifique : $a \times 10^n$ avec $1 \leq a < 10$. Exemple : $0{,}0034 = 3{,}4 \times 10^{-3}$.
- Astuce : $\dfrac{1}{a^{-n}} = a^n$ — prendre l'inverse rend l'exposant positif.
Exemple
Écrivons $0{,}00056$ en notation scientifique. On déplace la virgule de $4$ rangs vers la droite pour obtenir $5{,}6$, donc $0{,}00056 = 5{,}6 \times 10^{-4}$.
Piège à éviter
$2^{-3}$ n'est pas négatif : $2^{-3} = \dfrac{1}{8} = 0{,}125 > 0$. L'exposant négatif signifie « inverse », jamais « opposé ».
La racine carrée défait le carré : $\sqrt{a}$ est l'unique nombre positif dont le carré vaut $a$. Puisqu'un carré n'est jamais négatif, $\sqrt{a}$ n'existe que pour $a \geq 0$. Comme les puissances, la racine se comporte bien avec les produits et les quotients — mais surtout pas avec les sommes.
- Définition : pour $a \geq 0$, $\sqrt{a} \geq 0$ et $(\sqrt{a})^2 = a$. Exemple : $\sqrt{25} = 5$ car $5^2 = 25$.
- Carré sous la racine : $\sqrt{a^2} = |a|$ (valeur absolue), pour tout réel $a$.
- Produit : $\sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}$ ($a, b \geq 0$). Exemple : $\sqrt{4 \times 9} = 2 \times 3 = 6$.
- Quotient : $\sqrt{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ ($a \geq 0,\ b > 0$). Exemple : $\sqrt{\dfrac{49}{4}} = \dfrac{7}{2}$.
- Valeurs à connaître : $\sqrt{2} \approx 1{,}414$ ; $\sqrt{3} \approx 1{,}732$ ; $\sqrt{5} \approx 2{,}236$.
Exemple
Calculons $\sqrt{36 \times 4}$. On sépare le produit : $\sqrt{36} \times \sqrt{4} = 6 \times 2 = 12$. Vérification : $36 \times 4 = 144$ et $12^2 = 144$.
Piège à éviter
La racine ne se distribue pas sur une somme : $\sqrt{a+b} \neq \sqrt{a} + \sqrt{b}$. Contre-exemple : $\sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5$, alors que $\sqrt{9} + \sqrt{16} = 3 + 4 = 7$.
Simplifier une racine, c'est en sortir le plus grand carré parfait caché sous le radical pour obtenir une écriture exacte et compacte. $\sqrt{50}$ devient $5\sqrt{2}$ : bien plus simple à manipuler et à comparer qu'une longue décimale approchée.
- Méthode : repérer le plus grand carré parfait ($4, 9, 16, 25, 36, 49\ldots$) qui divise le nombre, puis le sortir.
- Exemple : $\sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = \sqrt{25} \times \sqrt{2} = 5\sqrt{2}$.
- Exemples : $\sqrt{72} = \sqrt{36 \times 2} = 6\sqrt{2}$ et $\sqrt{48} = \sqrt{16 \times 3} = 4\sqrt{3}$.
- Addition : on ne regroupe que des radicaux identiques : $3\sqrt{2} + 5\sqrt{2} = 8\sqrt{2}$.
- Dénominateur rationnel : on multiplie par la racine : $\dfrac{1}{\sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{3}}{3}$.
Exemple
Rendons rationnel $\dfrac{5}{\sqrt{2}}$. On multiplie haut et bas par $\sqrt{2}$ : $\dfrac{5}{\sqrt{2}} = \dfrac{5\sqrt{2}}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}} = \dfrac{5\sqrt{2}}{2}$.
Piège à éviter
On n'additionne que des radicaux de même nombre : $3\sqrt{2} + 2\sqrt{3}$ ne se simplifie pas, tout comme $3x + 2y$ reste tel quel.
Quelques erreurs reviennent dans presque toutes les copies. Les connaître à l'avance, c'est gagner des points à coup sûr : la plupart viennent d'une distributivité abusive ou de parenthèses oubliées.
- Identité remarquable : $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, et non $a^2 + b^2$ (le double produit $2ab$ s'oublie souvent).
- Racine d'une somme : $\sqrt{a+b} \neq \sqrt{a} + \sqrt{b}$ — la racine ne se distribue que sur produits et quotients.
- Signe et parenthèses : $-3^2 = -9$ mais $(-3)^2 = 9$. Sans parenthèses, le carré ne porte pas sur le signe.
- Exposant nul : $a^0 = 1$ (et non $0$) pour tout $a \neq 0$.
- Puissance et somme : $2^3 + 3^3 = 8 + 27 = 35$, ce n'est pas $5^3 = 125$.
Exemple
Développons $(x+4)^2$. Avec l'identité : $(x+4)^2 = x^2 + 2 \times x \times 4 + 4^2 = x^2 + 8x + 16$. Oublier le terme $8x$ est l'erreur la plus fréquente.
Piège à éviter
Avant de « distribuer » une opération (carré, racine) sur une somme, demande-toi si la règle existe vraiment. Pour le carré et la racine appliqués à une somme, la réponse est non.
Quiz - Puissances et racines carrées
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Questions fréquentes
Les points clés à retenir sur Calcul avec les puissances et les racines carrées, extraits du quiz de révision.
Que vaut $3^0$ ?
Réponse :
$1$
Tout nombre non nul élevé à la puissance $0$ vaut $1$. Justification : $\dfrac{a^n}{a^n} = a^{n-n} = a^0$, et comme $\dfrac{a^n}{a^n} = 1$, on a bien $a^0 = 1$ pour tout $a \neq 0$.
Que vaut $2^3 \times 2^4$ ?
Réponse :
$2^7 = 128$
Règle du produit : $a^n \times a^m = a^{n+m}$. Donc $2^3 \times 2^4 = 2^{3+4} = 2^7 = 128$. On additionne les exposants ; les multiplier donnerait $2^{12}$, l'erreur classique.
Que vaut $10^{-3}$ ?
Réponse :
$0{,}001$
$10^{-3} = \dfrac{1}{10^3} = \dfrac{1}{1000} = 0{,}001$. Une puissance négative donne l'inverse, pas un nombre négatif : il y a $3$ zéros après la virgule avant le $1$.
Que vaut $(-2)^4$ ?
Réponse :
$16$
$(-2)^4 = (-2) \times (-2) \times (-2) \times (-2) = 16$ : un nombre négatif à une puissance paire donne un résultat positif. Attention : $-2^4 = -(2^4) = -16$, car sans parenthèses le signe n'est pas élevé à la puissance.