Vecteur
Définition
Objet mathématique caractérisé par une direction, un sens et une longueur (norme), utilisé pour représenter des grandeurs comme la force ou la vitesse.
Explication
Un vecteur AB⃗ se définit par ses coordonnées (xB - xA ; yB - yA). Les opérations fondamentales : addition (règle du parallélogramme), multiplication par un scalaire, produit scalaire. Deux vecteurs sont colinéaires si l'un est un multiple de l'autre. La norme d'un vecteur (x ; y) est √(x² + y²).
Exemples
- 1
Vecteur AB⃗ avec A(1;2) et B(4;6) → AB⃗ = (3;4), norme = √(9+16) = 5.
- 2
Vecteurs colinéaires : u⃗(2;3) et v⃗(4;6) car v⃗ = 2 × u⃗.
- 3
En physique : la force est un vecteur — elle a une direction, un sens et une intensité (en newtons).
L'essentiel à retenir
- Relation de Chasles : AB⃗ + BC⃗ = AC⃗, pour tous points A, B et C.
- u⃗(x ; y) et v⃗(x' ; y') sont colinéaires si et seulement si xy' − x'y = 0 (déterminant nul).
- ABCD est un parallélogramme si et seulement si AB⃗ = DC⃗ ; le milieu de [AB] a pour coordonnées ((xA + xB)/2 ; (yA + yB)/2).
- Dans un repère orthonormé, le produit scalaire vaut u⃗ · v⃗ = xx' + yy', et u⃗ et v⃗ sont orthogonaux si et seulement si u⃗ · v⃗ = 0.
Erreurs fréquentes
- Calculer AB⃗ en faisant A − B : les coordonnées de AB⃗ sont (xB − xA ; yB − yA), « arrivée moins départ ».
- Écrire AB⃗ = CD⃗ pour le parallélogramme ABCD : on parcourt les sommets dans l'ordre, donc c'est AB⃗ = DC⃗.
- Croire que la norme d'une somme est la somme des normes : ‖u⃗ + v⃗‖ ≤ ‖u⃗‖ + ‖v⃗‖, avec égalité seulement si les vecteurs sont colinéaires et de même sens.
Vecteur au bac
Les vecteurs servent à démontrer des propriétés géométriques par le calcul : trois points alignés (vecteurs colinéaires), deux droites parallèles, un quadrilatère qui est un parallélogramme, deux droites perpendiculaires (produit scalaire nul). La rédaction attendue : calculer les coordonnées des vecteurs utiles, appliquer le critère (déterminant ou produit scalaire), puis conclure par une phrase qui cite la propriété. Dans la partie automatismes sans calculatrice de l'épreuve anticipée de mathématiques de Première, tu peux avoir à lire des coordonnées de vecteurs sur un quadrillage ou à calculer une norme de tête.
Questions fréquentes
Comment montrer que trois points sont alignés ?
Calcule les coordonnées de AB⃗ et AC⃗, puis leur déterminant xy' − x'y. S'il est nul, les vecteurs sont colinéaires et les points A, B et C sont alignés.
Comment calculer la norme d'un vecteur ?
Dans un repère orthonormé, la norme de u⃗(x ; y) vaut √(x² + y²). Pour AB⃗, cela donne la distance AB = √((xB − xA)² + (yB − yA)²).
Quelle est la différence entre un vecteur et un segment ?
Un segment n'a qu'une longueur et une position ; un vecteur a une direction, un sens et une norme, mais pas de position fixe : on peut le déplacer sans le changer.
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