Mathématiques — Géométrie
Vecteurs et repérage
Coordonnées, vecteurs, milieu, distance
Résumé synthétiqueFiche en 3 sectionsQuiz de 10 questionsGratuit, sans pub
Résumé
Placer un point grâce à deux nombres, mesurer une distance, décrire un déplacement par une flèche : voilà ce que permet le repère du plan. Un vecteur $\vec{AB}$ résume un déplacement par une direction, un sens et une norme (sa longueur). Tout devient calculable : les coordonnées d'un vecteur s'obtiennent en faisant « arrivée moins départ », la distance par le théorème de Pythagore, le milieu par une moyenne. Enfin, la colinéarité — testée par un simple déterminant $xy' - x'y$ — permet de prouver que des points sont alignés ou que des droites sont parallèles. Ce chapitre est la porte d'entrée de toute la géométrie analytique du lycée.
Un repère orthonormé $(O\,;\vec{\imath}\,;\vec{\jmath})$ est un quadrillage qui permet de repérer chaque point du plan par deux nombres. L'abscisse $x$ se lit sur l'axe horizontal, l'ordonnée $y$ sur l'axe vertical. À partir de là, distances et milieux deviennent de simples calculs.
- Coordonnées : un point $M(x\,;y)$, où $x$ est l'abscisse (horizontale) et $y$ l'ordonnée (verticale).
- Orthonormé : les deux axes sont perpendiculaires et partagent la même unité de longueur.
- Distance : $AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$, conséquence directe du théorème de Pythagore.
- Milieu : $I\left(\dfrac{x_A + x_B}{2}\,;\dfrac{y_A + y_B}{2}\right)$ — on prend la moyenne de chaque coordonnée.
- Astuce milieu : « moyenne des $x$, moyenne des $y$ ».
Exemple
Avec $A(1\,;2)$ et $B(4\,;6)$ : $AB = \sqrt{(4-1)^2 + (6-2)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$. Le milieu de $[AB]$ est $I\left(\dfrac{1+4}{2}\,;\dfrac{2+6}{2}\right) = I(2{,}5\,;4)$.
Piège à éviter
Pour la distance, on ne somme pas les coordonnées : $\sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5$, et non $3 + 4 = 7$. La racine carrée porte sur la somme des carrés, jamais terme à terme.
Un vecteur décrit un déplacement : il possède une direction (sa droite support), un sens (la flèche) et une norme (sa longueur). Deux vecteurs égaux ont les mêmes coordonnées, même dessinés à des endroits différents.
Les coordonnées de $\vec{AB}$ se lisent comme un déplacement : $3$ vers la droite (en vert), $2$ vers le haut (en cyan), soit $\vec{AB}(3\,;2)$.
- Coordonnées : $\vec{AB}(x_B - x_A\,;y_B - y_A)$ — toujours arrivée moins départ.
- Vecteur opposé : $\vec{BA}$ a les coordonnées opposées de $\vec{AB}$.
- Norme : $\lVert \vec{u}\rVert = \sqrt{x^2 + y^2}$, c'est la longueur du vecteur $\vec{u}(x\,;y)$.
- Somme : $\vec{u} + \vec{v}$ s'obtient en ajoutant les coordonnées (règle du parallélogramme).
- Produit par un réel : $k\,\vec{u}(kx\,;ky)$ — même sens si $k > 0$, sens opposé si $k < 0$.
- Relation de Chasles : $\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$, pour enchaîner les déplacements.
Exemple
Avec $A(1\,;3)$ et $B(4\,;7)$ : $\vec{AB}(4-1\,;7-3) = \vec{AB}(3\,;4)$, donc $\lVert \vec{AB}\rVert = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5$. Le vecteur opposé est $\vec{BA}(-3\,;-4)$.
Piège à éviter
Respecte l'ordre : $\vec{AB}$ vaut arrivée moins départ. L'inverser donne $\vec{BA}$, le vecteur opposé — une erreur de signe très fréquente.
Deux vecteurs sont colinéaires lorsqu'ils ont la même direction : l'un est un multiple de l'autre. C'est l'outil clé pour prouver que des points sont alignés ou que des droites sont parallèles.
- Critère : $\vec{u}(x\,;y)$ et $\vec{v}(x'\,;y')$ sont colinéaires $\Leftrightarrow$ le déterminant $xy' - x'y = 0$.
- De façon équivalente : $\vec{u} = k\,\vec{v}$ pour un réel $k$ non nul (l'un est un multiple de l'autre).
- Points alignés : $A$, $B$, $C$ sont alignés $\Leftrightarrow$ $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ sont colinéaires.
- Droites parallèles : $(AB) \parallel (CD) \Leftrightarrow$ $\vec{AB}$ et $\vec{CD}$ sont colinéaires.
- Calcul du déterminant : produit en croix $x \times y'$ moins $x' \times y$.
Exemple
$\vec{u}(2\,;3)$ et $\vec{v}(4\,;6)$ : déterminant $= 2 \times 6 - 4 \times 3 = 12 - 12 = 0$. Ils sont donc colinéaires ; on retrouve d'ailleurs $\vec{v} = 2\,\vec{u}$.
Piège à éviter
Un déterminant non nul signifie « pas colinéaires ». Ne conclus jamais à l'alignement sans avoir vérifié que le déterminant vaut exactement $0$.
Quiz - Vecteurs et repérage
10 questions
S'entraîner
Ce thème dans une autre classe
Notions clés — Mathématiques
Articles utiles
Questions fréquentes
Les points clés à retenir sur Vecteurs et repérage, extraits du quiz de révision.
Avec $A(1\,;3)$ et $B(4\,;7)$, les coordonnées du vecteur $\vec{AB}$ sont :
Réponse :
$(3\,;4)$
On applique $\vec{AB}(x_B - x_A\,;y_B - y_A) = (4-1\,;7-3) = (3\,;4)$. On soustrait toujours le point de départ $A$ au point d'arrivée $B$. En inversant, on obtiendrait $\vec{BA}(-3\,;-4)$, le vecteur opposé.
Le milieu de $[AB]$ avec $A(2\,;6)$ et $B(8\,;4)$ est :
Réponse :
$(5\,;5)$
Le milieu est la moyenne des coordonnées : $I\left(\dfrac{2+8}{2}\,;\dfrac{6+4}{2}\right) = (5\,;5)$. La réponse $(10\,;10)$ serait la somme, pas la moyenne — on a oublié de diviser par $2$.
Deux vecteurs colinéaires sont :
Réponse :
De même direction
Colinéaires veut dire même direction (droites parallèles ou confondues). Ils peuvent avoir des sens opposés (si $k < 0$) et des normes différentes. À ne pas confondre avec égaux (mêmes coordonnées) ni avec perpendiculaires (notion du produit scalaire, vue en Première).
La distance entre $A(0\,;0)$ et $B(3\,;4)$ vaut :
Réponse :
$5$
$AB = \sqrt{(3-0)^2 + (4-0)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$. On reconnaît le triplet pythagoricien $(3\,;4\,;5)$. La valeur $25$ oublie la racine carrée, et $7 = 3 + 4$ est l'erreur classique de la somme.