Maths (Spé) — Géométrie
Trigonométrie : cercle, sinus, cosinus, fonctions trigonométriques
Cercle trigonométrique, cos/sin, radians, valeurs remarquables, équations, formules d'addition
Résumé synthétiqueFiche en 7 sectionsQuiz de 10 questionsGratuit, sans pub
Cours de spé Maths. Même notion dans une autre matière : Fonctions trigonométriques — maths du tronc commun
Résumé
Sur un cercle de rayon $1$, tout angle $\theta$ pointe vers un unique point $M$ dont les coordonnées sont le cosinus et le sinus : $M(\cos\theta\,;\,\sin\theta)$. Voilà toute la trigonométrie en une image. De là découlent l'identité reine $\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$ (un simple Pythagore), les valeurs remarquables ($\dfrac{\pi}{6}$, $\dfrac{\pi}{4}$, $\dfrac{\pi}{3}$), la périodicité des fonctions $\sin$ et $\cos$ (qui se répètent tous les $2\pi$) et les formules d'addition. On mesure les angles en radians ($\pi$ rad $= 180^\circ$), la seule unité qui rende les calculs propres. Maîtriser ce chapitre, c'est tenir la clé des ondes, des oscillations et du courant alternatif : partout où quelque chose vibre ou tourne, un sinus se cache.
Le cercle trigonométrique est le cercle de centre $O$ et de rayon $1$ d'un repère orthonormé. Un angle $\theta$, mesuré depuis l'axe des abscisses dans le sens direct (inverse des aiguilles d'une montre), repère un unique point $M$ sur ce cercle. On mesure $\theta$ en radians, l'unité naturelle des mathématiques.
Pour l'angle $\theta$, le point $M$ a pour coordonnées $(\cos\theta\,;\,\sin\theta)$ : le cosinus se lit en abscisse, le sinus en ordonnée.
- Sens direct (positif) : sens inverse des aiguilles d'une montre ; sens indirect (négatif) : le sens des aiguilles.
- Radian : $1$ radian est l'angle qui intercepte un arc de longueur égale au rayon. Conversion clé : $\pi$ rad $= 180^\circ$.
- Longueur d'un arc sur le cercle de rayon $1$ : elle vaut exactement la mesure de l'angle en radians.
- Repères sur le cercle : $0$ rad à droite, $\dfrac{\pi}{2}$ en haut, $\pi$ à gauche, $\dfrac{3\pi}{2}$ en bas.
- Conversions usuelles : $30^\circ = \dfrac{\pi}{6}$, $45^\circ = \dfrac{\pi}{4}$, $60^\circ = \dfrac{\pi}{3}$, $90^\circ = \dfrac{\pi}{2}$.
Exemple
Convertir $135^\circ$ en radians. On utilise la proportionnalité $\dfrac{\theta_{\text{rad}}}{\pi} = \dfrac{\theta_{\text{deg}}}{180}$, donc $\theta = \dfrac{135}{180}\,\pi = \dfrac{3\pi}{4}$ rad.
Piège à éviter
Une calculatrice donne des résultats faux si elle n'est pas dans le bon mode : choisis RAD quand l'angle est en radians et DEG quand il est en degrés. Confondre les deux est l'erreur la plus fréquente.
Sur le cercle trigonométrique, le point $M$ associé à l'angle $\theta$ a pour coordonnées $(\cos\theta\,;\,\sin\theta)$. Autrement dit, le cosinus est l'abscisse de $M$ et le sinus son ordonnée. Cette définition géométrique contient toutes les propriétés du chapitre.
- Définitions : $\cos\theta$ est l'abscisse de $M$, $\sin\theta$ son ordonnée. La tangente vaut $\tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$ (si $\cos\theta \neq 0$).
- Encadrement : pour tout $\theta$, $-1 \leq \cos\theta \leq 1$ et $-1 \leq \sin\theta \leq 1$.
- Identité fondamentale : $\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$ (théorème de Pythagore appliqué à $M$ sur le cercle de rayon $1$).
- Valeurs remarquables : $\cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ et $\sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = \dfrac{1}{2}$ ; $\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = \sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ ; $\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = \dfrac{1}{2}$ et $\sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
- Angles droits : $\cos(0) = 1$, $\sin(0) = 0$ ; $\cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = 0$, $\sin\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = 1$ ; $\cos(\pi) = -1$, $\sin(\pi) = 0$.
Exemple
Si $\cos\theta = \dfrac{3}{5}$ avec $\theta$ dans le premier quadrant, alors $\sin^2\theta = 1 - \cos^2\theta = 1 - \dfrac{9}{25} = \dfrac{16}{25}$, d'où $\sin\theta = \dfrac{4}{5}$ (positif car $M$ est au-dessus de l'axe des abscisses).
Piège à éviter
On note $\cos^2\theta$ pour $(\cos\theta)^2$ : c'est le cosinus élevé au carré, à ne pas confondre avec $\cos(\theta^2)$. Et $\sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = \dfrac{1}{2}$ tandis que $\sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ : ne les inverse pas.
Faire un tour complet du cercle ($2\pi$) ramène au même point : les fonctions sinus et cosinus sont donc périodiques. Et la position des points symétriques (par rapport aux axes, à l'origine) fournit une série de formules qui évitent d'apprendre des dizaines de valeurs par cœur.
- Périodicité : $\cos(\theta + 2\pi) = \cos\theta$ et $\sin(\theta + 2\pi) = \sin\theta$. La période vaut $2\pi$.
- Parité : le cosinus est pair ($\cos(-\theta) = \cos\theta$), le sinus est impair ($\sin(-\theta) = -\sin\theta$).
- Angles supplémentaires : $\sin(\pi - \theta) = \sin\theta$ et $\cos(\pi - \theta) = -\cos\theta$.
- Angles complémentaires : $\sin\left(\dfrac{\pi}{2} - \theta\right) = \cos\theta$ et $\cos\left(\dfrac{\pi}{2} - \theta\right) = \sin\theta$.
- Décalage d'un demi-tour : $\cos(\theta + \pi) = -\cos\theta$ et $\sin(\theta + \pi) = -\sin\theta$.
Exemple
Calculer $\cos\left(\dfrac{5\pi}{6}\right)$. On écrit $\dfrac{5\pi}{6} = \pi - \dfrac{\pi}{6}$, donc $\cos\left(\dfrac{5\pi}{6}\right) = -\cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
Piège à éviter
La périodicité $2\pi$ permet de ramener n'importe quel angle dans $[0\,;\,2\pi[$ : par exemple $\sin\left(\dfrac{13\pi}{6}\right) = \sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right)$ car $\dfrac{13\pi}{6} = \dfrac{\pi}{6} + 2\pi$. N'oublie pas de retrancher les tours complets.
En faisant varier l'angle $\theta$ sur tout $\mathbb{R}$, $\cos$ et $\sin$ deviennent de vraies fonctions, dont les courbes sont des ondulations régulières appelées sinusoïdes. Leur allure résume tout : amplitude $1$, période $2\pi$, et un simple décalage de $\dfrac{\pi}{2}$ entre les deux.
$\sin$ et $\cos$ : même amplitude $1$, même période $2\pi$, décalées de $\dfrac{\pi}{2}$. Le cosinus part de $1$, le sinus de $0$.
- Courbe de $\sin$ : impaire (symétrique par rapport à $O$), elle s'annule en $\theta = k\pi$ et atteint $1$ en $\dfrac{\pi}{2}$.
- Courbe de $\cos$ : paire (symétrique par rapport à l'axe des ordonnées), elle vaut $1$ en $0$ et s'annule en $\dfrac{\pi}{2} + k\pi$.
- Décalage : $\sin\left(\theta + \dfrac{\pi}{2}\right) = \cos\theta$ : la courbe du cosinus est celle du sinus translatée de $\dfrac{\pi}{2}$ vers la gauche.
- Amplitude et période : les deux varient entre $-1$ et $1$ (amplitude $1$) et se répètent tous les $2\pi$.
- Fonction tangente : $\tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$, de période $\pi$, avec des asymptotes verticales en $\dfrac{\pi}{2} + k\pi$ (là où $\cos\theta = 0$).
Exemple
Résoudre graphiquement $\sin\theta = 0$ sur $[0\,;\,2\pi]$ : la courbe coupe l'axe en $\theta = 0$, $\theta = \pi$ et $\theta = 2\pi$. On retrouve la règle $\theta = k\pi$.
Piège à éviter
La tangente n'est pas définie pour $\theta = \dfrac{\pi}{2} + k\pi$ : à ces valeurs $\cos\theta = 0$ et la division est impossible. La courbe file vers $\pm\infty$ de part et d'autre de ces asymptotes.
Résoudre $\cos\theta = a$ ou $\sin\theta = a$, c'est chercher tous les angles dont le cosinus (ou le sinus) vaut $a$. Comme on parcourt le cercle indéfiniment, il y a une infinité de solutions, regroupées en deux familles ajoutées de $2\pi$.
- Condition d'existence : $\cos\theta = a$ et $\sin\theta = a$ n'ont des solutions que si $-1 \leq a \leq 1$.
- Équation $\cos\theta = \cos\alpha$ : $\theta = \alpha + 2k\pi$ ou $\theta = -\alpha + 2k\pi$, avec $k \in \mathbb{Z}$.
- Équation $\sin\theta = \sin\alpha$ : $\theta = \alpha + 2k\pi$ ou $\theta = \pi - \alpha + 2k\pi$, avec $k \in \mathbb{Z}$.
- Méthode : repérer un angle remarquable $\alpha$ tel que $\cos\alpha = a$ (ou $\sin\alpha = a$), puis écrire les deux familles.
- Sur un intervalle donné (souvent $[0\,;\,2\pi[$), on ne garde que les solutions qui y tombent.
Exemple
Résoudre $\sin\theta = \dfrac{1}{2}$ sur $[0\,;\,2\pi[$. Un angle évident : $\alpha = \dfrac{\pi}{6}$. Les solutions sont $\theta = \dfrac{\pi}{6} + 2k\pi$ et $\theta = \pi - \dfrac{\pi}{6} + 2k\pi = \dfrac{5\pi}{6} + 2k\pi$. Sur $[0\,;\,2\pi[$ : $\theta = \dfrac{\pi}{6}$ ou $\theta = \dfrac{5\pi}{6}$.
Piège à éviter
Ne donne jamais une seule solution : $\cos\theta = a$ en possède deux par tour ($\theta$ et $-\theta$), $\sin\theta = a$ aussi ($\theta$ et $\pi - \theta$). Oublier la deuxième famille fait perdre la moitié des solutions.
Comment calculer $\cos(a + b)$ à partir de $a$ et $b$ ? Surtout pas en additionnant les cosinus ! Les formules d'addition donnent la vraie réponse, et leur cas particulier $a = b$ fournit les formules de duplication, très utiles pour simplifier ou résoudre.
- Addition (cosinus) : $\cos(a + b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b$ et $\cos(a - b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b$.
- Addition (sinus) : $\sin(a + b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b$ et $\sin(a - b) = \sin a \cos b - \cos a \sin b$.
- Duplication (sinus) : $\sin(2a) = 2\sin a \cos a$.
- Duplication (cosinus), trois formes : $\cos(2a) = \cos^2 a - \sin^2 a = 2\cos^2 a - 1 = 1 - 2\sin^2 a$.
- Usage : retrouver une valeur exacte, linéariser une expression, ou préparer une dérivée en terminale.
Exemple
Calculer $\cos\left(\dfrac{\pi}{12}\right)$, soit $\cos\left(\dfrac{\pi}{3} - \dfrac{\pi}{4}\right)$. On applique $\cos a \cos b + \sin a \sin b = \dfrac{1}{2}\times\dfrac{\sqrt{2}}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{2}\times\dfrac{\sqrt{2}}{2} = \dfrac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$.
Piège à éviter
Attention au signe : $\cos(a + b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b$ (un moins), alors que $\sin(a + b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b$ (un plus). Et $\cos(a + b) \neq \cos a + \cos b$ : développer terme à terme est faux.
La trigonométrie n'est pas qu'un jeu d'angles : c'est le langage de tout ce qui oscille ou tourne. Triangles, ondes sonores, oscillations d'un ressort, tension du secteur : un même sinus décrit tous ces phénomènes.
- Triangle quelconque — loi des sinus : $\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C}$, et loi des cosinus : $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$.
- Oscillations : la position d'un oscillateur s'écrit $x(t) = A\sin(\omega t + \varphi)$, où $A$ est l'amplitude et $\omega = 2\pi f$ la pulsation.
- Ondes : une onde sinusoïdale a pour équation $y(x,t) = A\sin(kx - \omega t)$, avec la longueur d'onde $\lambda = \dfrac{2\pi}{k}$.
- Courant alternatif : la tension du secteur vaut $V(t) = V_0\sin(\omega t)$ ; en France $f = 50$ Hz, soit $\omega = 2\pi \times 50 \approx 314$ rad/s.
- Triangulation : mesurer une distance inaccessible en combinant deux angles de visée et la loi des sinus (principe du GPS et de la navigation).
Exemple
Dans un triangle, $a = 5$, $b = 7$ et l'angle $C = 60^\circ$ entre ces deux côtés. La loi des cosinus donne $c^2 = 5^2 + 7^2 - 2\times 5\times 7\times\cos(60^\circ) = 25 + 49 - 70\times\dfrac{1}{2} = 39$, d'où $c = \sqrt{39} \approx 6{,}24$.
Piège à éviter
La loi des cosinus $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$ se réduit au théorème de Pythagore quand $C = 90^\circ$, car $\cos(90^\circ) = 0$. Vérifie toujours que l'angle utilisé est bien celui opposé au côté $c$ cherché.
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Questions fréquentes
Les points clés à retenir sur Trigonométrie : cercle, sinus, cosinus, fonctions trigonométriques, extraits du quiz de révision.
L'angle $\dfrac{\pi}{3}$ rad vaut, en degrés :
Réponse :
$60^\circ$
On utilise $\pi$ rad $= 180^\circ$, donc $\dfrac{\pi}{3}$ rad $= \dfrac{180^\circ}{3} = 60^\circ$. De même $\dfrac{\pi}{6} = 30^\circ$ et $\dfrac{\pi}{4} = 45^\circ$.
Pour tout angle $\theta$, $\cos^2\theta + \sin^2\theta$ vaut :
Réponse :
$1$
C'est l'identité fondamentale : le point $M(\cos\theta\,;\,\sin\theta)$ est sur le cercle de rayon $1$, donc $x^2 + y^2 = 1$ par le théorème de Pythagore.
$\sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right)$ vaut :
Réponse :
$\dfrac{1}{2}$
$\sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = \dfrac{1}{2}$ : pour ce petit angle, le sinus est petit ($\dfrac{1}{2}$) et le cosinus grand ($\dfrac{\sqrt{3}}{2}$). Ne pas confondre avec $\sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
$\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)$ vaut :
Réponse :
$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
Pour $\dfrac{\pi}{4}$ (soit $45^\circ$), il y a symétrie : $\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = \sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \approx 0{,}71$.