Mathématiques — Géométrie
Équations de droites
Équation y = ax + b, coefficient directeur, droites parallèles et sécantes
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Résumé
Une droite, dans un repère, se résume à deux nombres : son équation $y = ax + b$. Le coefficient directeur $a$ donne la pente (l'inclinaison), l'ordonnée à l'origine $b$ donne le point où elle croise l'axe des ordonnées. À partir de deux points, on calcule $a = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$ ; le signe de $a$ dit si la droite monte, descend ou reste plate. Deux droites sont parallèles quand elles partagent le même $a$, sécantes sinon — et leur point d'intersection se trouve en résolvant une simple équation. Ces idées sont la clé pour modéliser une foule de situations : un coût selon la quantité, une position selon le temps.
Toute droite non verticale possède une carte d'identité : son équation réduite $y = ax + b$. Le nombre $a$, le coefficient directeur, mesure l'inclinaison ; le nombre $b$, l'ordonnée à l'origine, indique où la droite croise l'axe des ordonnées. Deux nombres, et la droite est entièrement décrite.
- Toute droite non verticale a une équation réduite $y = ax + b$.
- $a$ est le coefficient directeur (la pente) : il donne l'inclinaison.
- $b$ est l'ordonnée à l'origine : la valeur de $y$ quand $x = 0$, soit le point $(0\,;b)$.
- Une droite verticale a pour équation $x = c$ : elle n'a pas de coefficient directeur.
- Une droite horizontale a pour équation $y = b$ (cas $a = 0$).
Exemple
Pour $y = 3x - 2$ : la pente $a = 3$ (la droite monte de $3$ quand $x$ avance de $1$) et l'ordonnée à l'origine $b = -2$ (elle coupe l'axe $Oy$ au point $(0\,;-2)$).
Piège à éviter
Ne confonds pas $x = 5$ (droite verticale) et $y = 5$ (droite horizontale). La première fige l'abscisse, la seconde fige l'ordonnée.
À partir de deux points d'une droite, on retrouve sa pente. L'idée : comparer de combien on monte ($\Delta y$) quand on avance horizontalement ($\Delta x$). Le rapport des deux est le coefficient directeur — toujours le même, où qu'on prenne les points sur la droite.
Le coefficient directeur se lit comme une pente : $a = \dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$.
- Formule : $a = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$ pour deux points $A(x_A\,;y_A)$ et $B(x_B\,;y_B)$.
- Condition : $x_A \neq x_B$ (sinon la droite est verticale, sans coefficient directeur).
- Exemple : $A(1\,;3)$ et $B(4\,;9) \Rightarrow a = \dfrac{9 - 3}{4 - 1} = \dfrac{6}{3} = 2$.
- Interprétation : quand $x$ augmente de $1$, $y$ varie de $a$.
- $a > 0$ : droite croissante ; $a < 0$ : décroissante ; $a = 0$ : horizontale.
Exemple
Pour $A(2\,;1)$ et $B(5\,;7)$ : $a = \dfrac{7 - 1}{5 - 2} = \dfrac{6}{3} = 2$. La droite monte de $2$ unités chaque fois que $x$ avance de $1$.
Piège à éviter
Respecte l'ordre des points : $\dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$ ou $\dfrac{y_A - y_B}{x_A - x_B}$ donnent le même résultat, mais mélanger ($\dfrac{y_B - y_A}{x_A - x_B}$) fausse le signe.
Connaissant la pente et un point, ou deux points, on retrouve l'équation complète $y = ax + b$. La méthode tient en deux temps : trouver $a$, puis en déduire $b$ en remplaçant les coordonnées d'un point connu.
- Avec $a$ et un point $A$ : $b = y_A - a\, x_A$.
- Exemple : pente $a = 2$, point $A(3\,;7) \Rightarrow b = 7 - 2 \times 3 = 1$, d'où $y = 2x + 1$.
- Avec deux points : calculer $a$ d'abord, puis $b$ avec l'un des points.
- Par lecture graphique : lire $b$ sur l'axe $Oy$, puis compter la pente $a = \dfrac{\Delta y}{\Delta x}$.
- Vérification : réinjecter les coordonnées d'un point dans l'équation trouvée.
Exemple
Droite par $A(1\,;4)$ et $B(3\,;10)$. D'abord $a = \dfrac{10 - 4}{3 - 1} = 3$. Puis $b = 4 - 3 \times 1 = 1$. Équation : $y = 3x + 1$.
Piège à éviter
Une fois $a$ et $b$ trouvés, teste un point : si $A(1\,;4)$ ne vérifie pas l'équation, c'est qu'une erreur de signe s'est glissée dans le calcul de $b$.
Tout se joue sur le coefficient directeur. Même pente : les droites filent côte à côte sans jamais se croiser (parallèles). Pentes différentes : elles finissent par se couper en un unique point (sécantes), qu'on trouve en résolvant une équation.
- $y = a_1 x + b_1$ et $y = a_2 x + b_2$ sont parallèles $\Leftrightarrow$ $a_1 = a_2$.
- Si de plus $b_1 = b_2$, les droites sont confondues (la même droite).
- Elles sont sécantes $\Leftrightarrow$ $a_1 \neq a_2$ : un seul point d'intersection.
- Intersection : résoudre $a_1 x + b_1 = a_2 x + b_2$ pour trouver $x$, puis calculer $y$.
- Une droite verticale et une droite non verticale sont toujours sécantes.
Exemple
Intersection de $y = 2x + 1$ et $y = -x + 7$ : on résout $2x + 1 = -x + 7 \Rightarrow 3x = 6 \Rightarrow x = 2$, puis $y = 2 \times 2 + 1 = 5$. Point d'intersection : $(2\,;5)$.
Piège à éviter
Parallèles distinctes : $a_1 = a_2$ mais $b_1 \neq b_2$. Si en plus $b_1 = b_2$, elles sont confondues — un piège classique à ne pas oublier.
Dès qu'une situation mêle un montant fixe et un taux par unité, une droite $y = ax + b$ se cache derrière. Reconnaître $a$ (le taux) et $b$ (le fixe), c'est déjà avoir modélisé le problème.
- Tarif proportionnel : $y = ax$ (fonction linéaire, passe par l'origine).
- Tarif avec abonnement : $y = ax + b$ (le fixe $b$ s'ajoute au variable $ax$).
- Exemple : forfait à $15$ €/mois $+\ 0{,}05$ €/min $\Rightarrow y = 0{,}05x + 15$.
- Appartenance d'un point : remplacer $x$ et $y$ dans l'équation ; l'égalité doit être vraie.
- Position dans le temps : $y = vt + d_0$ modélise un déplacement à vitesse constante.
Exemple
Le point $(3\,;11)$ appartient-il à $y = 4x - 1$ ? On calcule $4 \times 3 - 1 = 11$. On retrouve bien $y = 11$ : oui, le point est sur la droite.
Piège à éviter
Identifie bien les rôles : le coût fixe (abonnement) est $b$, le taux par unité est $a$. Les intervertir fausse tout le modèle.
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Les points clés à retenir sur Équations de droites, extraits du quiz de révision.
Le coefficient directeur de $y = -4x + 7$ est :
Réponse :
$-4$
Dans $y = ax + b$, le coefficient directeur est $a$. Ici $a = -4$ : la droite descend de $4$ quand $x$ augmente de $1$. Le nombre $7$ est l'ordonnée à l'origine $b$.
L'ordonnée à l'origine de $y = 3x - 5$ est :
Réponse :
$-5$
L'ordonnée à l'origine $b$ est la valeur de $y$ quand $x = 0$ : ici $3 \times 0 - 5 = -5$. La droite coupe l'axe des ordonnées au point $(0\,;-5)$.
L'équation $x = 5$ représente :
Réponse :
Une droite verticale
$x = 5$ impose l'abscisse $5$ pour n'importe quelle ordonnée : c'est une droite verticale passant par $(5\,;0)$. Ne pas confondre avec $y = 5$, qui est une droite horizontale.
Le coefficient directeur de la droite passant par $A(2\,;1)$ et $B(5\,;7)$ est :
Réponse :
$2$
$a = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \dfrac{7 - 1}{5 - 2} = \dfrac{6}{3} = 2$. De $A$ à $B$, $x$ augmente de $3$ et $y$ de $6$, soit $2$ par unité.