Mathématiques — Fonctions
Variations et extremums d'une fonction
Croissance, décroissance, tableau de variations, maximum et minimum
Résumé synthétiqueFiche en 5 sectionsQuiz de 10 questionsGratuit, sans pub
Résumé
Étudier les variations d'une fonction, c'est répondre à une question simple : où sa courbe monte, où elle descend ? On dit que $f$ est croissante sur un intervalle si, quand $x$ augmente, $f(x)$ augmente aussi. Tout se résume dans un tableau de variations, où des flèches $\nearrow$ et $\searrow$ racontent d'un coup d'œil le comportement de la fonction. Aux endroits où la courbe change de sens apparaissent les extremums : un maximum au sommet d'une bosse, un minimum au creux d'un creux. Par exemple, la fonction carrée $x^2$ décroît puis croît, avec un minimum de $0$ en $x = 0$. Savoir lire et construire ces variations, c'est comprendre une fonction sans avoir à calculer toutes ses valeurs.
Dire qu'une fonction croît, c'est dire que sa courbe monte quand on la lit de gauche à droite : plus $x$ grandit, plus $f(x)$ grandit. Si la courbe descend, $f$ décroît. Attention, une fonction peut monter sur une zone et descendre sur une autre : les variations se définissent intervalle par intervalle.
- $f$ est croissante sur $I$ si, pour tous $a < b$ de $I$, $f(a) \leq f(b)$ (la courbe monte).
- $f$ est décroissante sur $I$ si, pour tous $a < b$ de $I$, $f(a) \geq f(b)$ (la courbe descend).
- Strictement croissante : inégalité stricte $f(a) < f(b)$.
- $f$ est constante sur $I$ si $f(a) = f(b)$ pour tous $a, b$ (droite horizontale).
- Les variations se définissent toujours sur un intervalle, jamais en un point isolé.
Exemple
La fonction $f(x) = x^2$ : sur $]-\infty\,;0]$ elle décroît (de $+\infty$ vers $0$), puis sur $[0\,;+\infty[$ elle croît. Son sens change en $x = 0$.
Piège à éviter
Croissante ne veut pas dire « positive ». $f(x) = -x + 3$ est strictement décroissante sur $\mathbb{R}$ tout en prenant des valeurs positives : ce sont deux notions indépendantes.
Le tableau de variations condense tout le comportement d'une fonction sur une seule ligne de flèches. Une flèche $\nearrow$ pour « ça monte », une flèche $\searrow$ pour « ça descend » : d'un coup d'œil, on voit où sont les montées, les descentes et les extremums.
À chaque changement de sens correspond un extremum : un maximum au sommet ($\nearrow$ puis $\searrow$), un minimum au creux ($\searrow$ puis $\nearrow$).
- Ligne du haut : les valeurs de $x$ rangées dans l'ordre croissant, avec les bornes du domaine.
- Ligne du bas : les valeurs de $f(x)$, reliées par des flèches $\nearrow$ ou $\searrow$.
- Flèche $\nearrow$ = $f$ croissante ; flèche $\searrow$ = $f$ décroissante.
- Une valeur de $f$ se place en haut d'une flèche montante, en bas d'une descendante.
- Les extremums se lisent à chaque changement de sens des flèches.
Exemple
Pour $f(x) = x^2$, le tableau a deux cases : sur $]-\infty\,;0]$ la flèche $\searrow$ descend jusqu'à $f(0) = 0$, puis sur $[0\,;+\infty[$ la flèche $\nearrow$ remonte. Le minimum $0$ est au point de bascule.
Piège à éviter
Une double barre dans le tableau signale une valeur interdite (fonction non définie en ce point), à ne pas confondre avec un extremum.
Un maximum est la plus grande valeur atteinte par la fonction, un minimum la plus petite. Visuellement : le maximum est au sommet d'une bosse, le minimum au creux d'un creux. Ce sont des valeurs de $f$ (des ordonnées), atteintes pour un certain $x$.
- Maximum sur $I$ : valeur $M = f(c)$ telle que $f(x) \leq M$ pour tout $x \in I$.
- Minimum sur $I$ : valeur $m = f(c)$ telle que $f(x) \geq m$ pour tout $x \in I$.
- Maximum atteint au sommet d'une bosse (passage $\nearrow$ puis $\searrow$).
- Minimum atteint au creux d'un creux (passage $\searrow$ puis $\nearrow$).
- Global = le plus grand (ou le plus petit) de tous les extremums sur tout le domaine.
Exemple
$f(x) = -x^2 + 4$ est une parabole tournée vers le bas. Elle croît puis décroît, avec un maximum global de $4$ atteint en $x = 0$ : pour tout $x$, $-x^2 + 4 \leq 4$.
Piège à éviter
Le maximum est une valeur de $f$ (une ordonnée), pas l'abscisse où il est atteint. Si le sommet est au point $(2\,;9)$, le maximum vaut $9$ — et non $2$.
Devant une courbe, la lecture des variations est directe : on la parcourt de gauche à droite et on note où elle monte, où elle descend. Les sommets et les creux donnent les extremums, dont on lit les coordonnées pour compléter le tableau.
- Courbe qui monte $\rightarrow$ $f$ croissante ; courbe qui descend $\rightarrow$ $f$ décroissante.
- Repérer les sommets (maximums locaux) et les creux (minimums locaux).
- Lire les coordonnées des points remarquables pour remplir le tableau.
- Une fonction peut être croissante et négative (elle monte sous l'axe $Ox$).
- Le signe de $f$ (au-dessus / en dessous de $Ox$) est indépendant de ses variations.
Exemple
Une courbe monte de $x = 1$ à $x = 5$ puis descend de $x = 5$ à $x = 8$. En $x = 5$, elle change de sens ($\nearrow$ puis $\searrow$) : $f$ admet un maximum local au sommet de cette bosse.
Piège à éviter
Ne confonds pas « la courbe est au-dessus de $Ox$ » ($f > 0$) avec « la courbe monte » ($f$ croissante). On peut être positif et décroissant en même temps.
Connaître les variations permet de comparer $f(a)$ et $f(b)$ sans calcul : il suffit de comparer $a$ et $b$. La croissance conserve l'ordre, la décroissance l'inverse. Encore faut-il ne pas tomber dans les pièges classiques du raisonnement.
- Si $f$ croissante sur $I$ et $a < b$, alors $f(a) \leq f(b)$ : l'ordre est conservé.
- Si $f$ décroissante sur $I$ et $a < b$, alors $f(a) \geq f(b)$ : l'ordre est inversé.
- Application : comparer $f(2)$ et $f(5)$ sans calculer, si on connaît le sens de variation.
- Une fonction constante est à la fois croissante et décroissante (au sens large).
- Connaître $f(0)$ et $f(3)$ ne suffit pas à déduire $f(1)$ : seule une fourchette est connue.
Exemple
$f$ est croissante sur $[2\,;7]$. Comme $2 < 5 < 7$, on a directement $f(2) \leq f(5)$, sans connaître l'expression de $f$ : la croissance suffit à conclure.
Piège à éviter
« $f(3) > f(1)$ donc $f$ est croissante » est faux : un seul couple ne prouve rien, il faudrait l'inégalité pour tous les couples $a < b$ de l'intervalle.
Quiz - Variations et extremums
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Les points clés à retenir sur Variations et extremums d'une fonction, extraits du quiz de révision.
« $f$ est croissante sur $[2\,;7]$ » signifie que :
Réponse :
$f(2) \leq f(7)$
Croissante sur $[2\,;7]$ : pour $a < b$ de l'intervalle, $f(a) \leq f(b)$. Comme $2 < 7$, on a $f(2) \leq f(7)$. La croissance conserve l'ordre des antécédents.
Dans un tableau de variations, une flèche $\searrow$ indique que $f$ est :
Réponse :
Décroissante
Une flèche descendante $\searrow$ signifie que $f$ est décroissante sur l'intervalle : quand $x$ augmente, $f(x)$ diminue. La courbe descend de gauche à droite.
La fonction $f(x) = x^2$ admet un minimum de :
Réponse :
$0$ en $x = 0$
$x^2 \geq 0$ pour tout $x$, et $x^2 = 0$ quand $x = 0$. Comme $f(x) \geq 0 = f(0)$, le minimum global est $0$, atteint en $x = 0$ : c'est le creux de la parabole.
Si $f$ est croissante sur $[1\,;5]$, on peut affirmer que :
Réponse :
$f(3) \leq f(4)$
La croissance conserve l'ordre. Comme $3 < 4$ et que les deux sont dans $[1\,;5]$, on a $f(3) \leq f(4)$ (et $f(3) < f(4)$ si $f$ est strictement croissante).