Dérivation

Le nombre dérivé f'(a) est la limite du taux de variation (f(a+h)−f(a))/h quand h tend vers 0. Géométriquement, f'(a) représente le coefficient directeur (la pente) de la tangente à la courbe en x = a. Les dérivées usuelles à connaître : (xⁿ)' = n×xⁿ⁻¹, (√x)' = 1/(2√x), (1/x)' = −1/x². Les règles de dérivation : (u+v)' = u'+v', (k×u)' = k×u', (u×v)' = u'v + uv', (u/v)' = (u'v − uv')/v². Exemple complet : f(x) = x³ → f'(x) = 3x² → f'(2) = 12. Tangente en x = 2 : y = f'(2)(x−2) + f(2) = 12(x−2) + 8 = 12x − 16. La dérivée permet d'étudier les variations : f'(x) > 0 sur un intervalle ⟹ f croissante ; f'(x) < 0 ⟹ f décroissante. Si f'(a) = 0 et que f' change de signe en a, alors a est un extremum local (maximum si f' passe de + à −, minimum si f' passe de − à +). Exemple : f(x) = x³ − 3x, f'(x) = 3x² − 3 = 3(x−1)(x+1). f'(x) = 0 en x = −1 et x = 1. f' > 0 sur ]−∞;−1[ et ]1;+∞[, f' < 0 sur ]−1;1[ → maximum local en x = −1, minimum local en x = 1.