Mathématiques — Analyse
Dérivation
Nombre dérivé, fonction dérivée, tangente
Résumé synthétiqueFiche en 4 sectionsQuiz de 10 questionsGratuit, sans pub
Résumé
Dériver, c'est mesurer **comment une fonction varie**, instant par instant. Le nombre dérivé $f'(a)$ est la **pente de la tangente** à la courbe au point d'abscisse $a$ : il dit si la courbe monte, descend, et à quelle vitesse. Concrètement, on apprend d'abord un petit catalogue de **dérivées usuelles** ($x^2$, $x^n$, $\dfrac{1}{x}$, $\sqrt{x}$, $e^x$) et quatre **règles de calcul** (somme, multiple, produit, quotient) qui permettent de dériver presque n'importe quelle expression. Le vrai pouvoir vient ensuite : le **signe de $f'$** donne les **variations** de $f$. Là où $f' > 0$, la fonction **croît** ; là où $f' < 0$, elle **décroît** ; et là où $f'$ **s'annule en changeant de signe**, $f$ atteint un **maximum** ou un **minimum** local. Étudier une fonction (tableau de variations, optimisation, tangente) repose entièrement sur ce mécanisme.
Le **nombre dérivé** $f'(a)$ mesure la **vitesse de variation** de $f$ au point d'abscisse $a$. Géométriquement, c'est le **coefficient directeur de la tangente** à la courbe en ce point : la droite qui « épouse » la courbe en la touchant. Un $f'(a)$ grand et positif signifie une courbe qui grimpe fort ; un $f'(a)$ négatif, une courbe qui descend.
- **Définition :** $f'(a) = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(a + h) - f(a)}{h}$ (limite du taux de variation).
- **Interprétation :** $f'(a)$ est la **pente de la tangente** à la courbe au point d'abscisse $a$.
- **Équation de la tangente** en $a$ : $y = f'(a)\,(x - a) + f(a)$.
- Si $f'(a) > 0$ la courbe **monte** en $a$ ; si $f'(a) < 0$ elle **descend** ; si $f'(a) = 0$ la tangente est **horizontale**.
- Ne confonds pas $f'(a)$ (un **nombre**, la pente en un point) et $f'$ (une **fonction**, la dérivée).
Exemple
Pour $f(x) = x^2$ en $a = 3$ : $f'(x) = 2x$ donc $f'(3) = 6$ et $f(3) = 9$. La tangente est $y = 6\,(x - 3) + 9 = 6x - 18 + 9 = 6x - 9$.
Piège à éviter
N'oublie pas le terme $+\,f(a)$ dans l'équation de la tangente : $y = f'(a)\,(x - a) + f(a)$. Écrire seulement $y = f'(a)\,(x - a)$ fait passer la tangente par l'axe au lieu du point de contact.
Dériver une fonction connue, c'est appliquer un **petit catalogue** de résultats à mémoriser. Ce sont les briques de base : toute dérivation commence par les reconnaître.
- **Constante :** $(k)' = 0$. Exemple : $(7)' = 0$.
- **Puissances :** $(x)' = 1$, $(x^2)' = 2x$, et plus généralement $(x^n)' = n\,x^{\,n-1}$ — exemple $(x^5)' = 5x^4$.
- **Inverse :** $\left(\dfrac{1}{x}\right)' = -\dfrac{1}{x^2}$ — exemple en $x = 2$ : $-\dfrac{1}{4}$.
- **Racine :** $(\sqrt{x})' = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ — exemple en $x = 9$ : $\dfrac{1}{6}$.
- **Exponentielle :** $(e^x)' = e^x$ — la fonction est sa **propre** dérivée.
Exemple
Soit $f(x) = x^3$. Alors $f'(x) = 3x^2$, et le nombre dérivé en $2$ vaut $f'(2) = 3 \times 2^2 = 12$ : la tangente en $x = 2$ a pour pente $12$.
Piège à éviter
$(x^n)' = n\,x^{\,n-1}$ : on **descend** l'exposant en facteur et on le **diminue de $1$**. Erreur fréquente : laisser l'exposant inchangé ou oublier le facteur (par exemple écrire $(x^3)' = x^2$ au lieu de $3x^2$).
Pour dériver une expression composée (somme, produit, quotient), on combine les dérivées usuelles avec **quatre règles**. Les deux dernières — produit et quotient — sont les sources d'erreurs les plus courantes : elles ne se contentent **pas** de dériver chaque morceau séparément.
- **Somme :** $(u + v)' = u' + v'$ — exemple $(x^3 + 2x)' = 3x^2 + 2$.
- **Multiple :** $(k\,u)' = k\,u'$ — exemple $(5x^2)' = 5 \times 2x = 10x$.
- **Produit :** $(u\,v)' = u'v + uv'$ (deux termes !).
- **Quotient :** $\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$ (attention à l'ordre et au signe $-$).
Exemple
Dérivons $f(x) = x^2 e^x$ avec la règle du produit, $u = x^2$ et $v = e^x$ : $f'(x) = u'v + uv' = 2x\,e^x + x^2 e^x = e^x(x^2 + 2x)$.
Piège à éviter
$(u\,v)' \neq u'\,v'$ et $\left(\dfrac{u}{v}\right)' \neq \dfrac{u'}{v'}$ : ces raccourcis sont **faux**. Le produit donne **deux** termes, le quotient impose la soustraction $u'v - uv'$ au numérateur.
Voici le cœur du chapitre : le **signe de la dérivée commande les variations** de la fonction. Étudier $f$ revient donc à étudier le signe de $f'$, puis à le traduire dans un **tableau de variations**.
- $f'(x) > 0$ sur un intervalle $\Rightarrow$ $f$ est **strictement croissante** sur cet intervalle.
- $f'(x) < 0$ sur un intervalle $\Rightarrow$ $f$ est **strictement décroissante**.
- $f'(a) = 0$ **et** $f'$ **change de signe** en $a$ $\Rightarrow$ $f$ admet un **extremum local** en $a$.
- **Maximum** local : $f'$ passe de $+$ à $-$. **Minimum** local : $f'$ passe de $-$ à $+$.
- **Méthode :** calculer $f'$, résoudre $f'(x) = 0$, étudier le signe de $f'$, en déduire le tableau de variations.
Exemple
Soit $f(x) = -x^2 + 4x + 1$. On a $f'(x) = -2x + 4$, qui s'annule en $x = 2$. Pour $x < 2$, $f'(x) > 0$ (croissante) ; pour $x > 2$, $f'(x) < 0$ (décroissante). Donc $f$ admet un **maximum** en $x = 2$ : $f(2) = -4 + 8 + 1 = 5$.
Piège à éviter
$f'(a) = 0$ **ne suffit pas** pour conclure à un extremum : il faut que $f'$ **change** de signe. Par exemple $f(x) = x^3$ a $f'(0) = 0$, mais $f'(x) = 3x^2 \geq 0$ ne change pas de signe : pas d'extremum en $0$.
Quiz - Dérivation
10 questions
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Notions clés — Mathématiques
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Questions fréquentes
Les points clés à retenir sur Dérivation, extraits du quiz de révision.
La dérivée de $f(x) = x^3$ est :
Réponse :
$3x^2$
Avec $(x^n)' = n\,x^{\,n-1}$ : $(x^3)' = 3x^{3-1} = 3x^2$. On descend l'exposant en facteur et on le diminue de $1$.
Si $f'(x) > 0$ sur un intervalle, alors $f$ y est :
Réponse :
Croissante
Une dérivée strictement positive signifie que la fonction **croît** : sa courbe monte. Le signe de $f'$ commande le sens de variation de $f$.
La dérivée d'une fonction constante est :
Réponse :
$0$
Une constante ne varie pas : sa vitesse de variation est nulle, donc $(k)' = 0$ pour tout réel $k$.
L'équation de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $a$ est :
Réponse :
$y = f'(a)\,(x - a) + f(a)$
La tangente a pour pente $f'(a)$ et passe par le point $(a\,;f(a))$, d'où $y = f'(a)\,(x - a) + f(a)$. Ne pas oublier le $+\,f(a)$.