Mathématiques — Statistiques et probabilités
Probabilités conditionnelles
Probabilité conditionnelle, arbre pondéré, formule des probabilités totales
Résumé synthétiqueFiche en 4 sectionsQuiz de 10 questionsGratuit, sans pub
Cours de maths du tronc commun. Même notion dans une autre matière : Probabilités conditionnelles et indépendance — spé Maths
Résumé
Et si une information changeait la donne ? Savoir qu'un patient est fumeur modifie la probabilité qu'il développe une maladie ; savoir qu'une boule tirée est rouge change les chances au tirage suivant. C'est tout l'objet de la probabilité conditionnelle $P_B(A)$ — la probabilité de $A$ sachant que $B$ est déjà réalisé. On la calcule par $P_B(A) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}$, et on la visualise avec un outil redoutablement efficace : l'arbre pondéré. On y multiplie les probabilités le long d'une branche, on additionne les branches qui mènent au même événement (formule des probabilités totales), et l'on découvre quand deux événements sont indépendants — c'est-à-dire quand l'un n'apprend rien sur l'autre.
Une probabilité conditionnelle mesure la chance qu'un événement $A$ se produise une fois que l'on sait qu'un autre événement $B$ est réalisé. On la note $P_B(A)$ (ou $P(A \mid B)$) et on la lit « probabilité de $A$ sachant $B$ ». L'idée : se restreindre à l'univers où $B$ est vrai, puis y mesurer la part occupée par $A$.
- Définition : $P_B(A) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}$, valable lorsque $P(B) > 0$.
- On se place « dans le monde où $B$ est réalisé » : $B$ devient le nouvel univers.
- Conséquence utile : $P(A \cap B) = P(B) \times P_B(A)$ — la probabilité d'un « et ».
- En général $P_B(A) \neq P_A(B)$ : l'ordre du conditionnement compte.
- Toujours $0 \leq P_B(A) \leq 1$ : c'est une probabilité comme une autre.
Exemple
Dans une classe, $P(\text{fille}) = 0{,}6$ et $P(\text{fille} \cap \text{demi-pensionnaire}) = 0{,}45$. La probabilité qu'un élève soit demi-pensionnaire sachant que c'est une fille : $P_{\text{fille}}(\text{DP}) = \dfrac{0{,}45}{0{,}6} = 0{,}75$.
Piège à éviter
Ne confonds pas $P(A \cap B)$ (probabilité que les deux se produisent) et $P_B(A)$ (probabilité de $A$ sachant $B$). La conditionnelle est en général plus grande, car on divise par $P(B) \leq 1$.
L'arbre pondéré organise une expérience à plusieurs étapes. Chaque branche porte une probabilité ; le long d'un chemin on multiplie, et pour un même événement final on additionne les chemins. Deux règles simples qui résolvent la plupart des exercices.
Le long d'une branche on multiplie : $P(B \cap A) = P(B) \times P_B(A)$. La somme des branches issues d'un même nœud vaut toujours $1$.
- Règle du produit : la probabilité d'un chemin est le produit des probabilités rencontrées le long de ses branches.
- Règle de la somme : les branches partant d'un même nœud ont des probabilités de somme $1$.
- Pour la probabilité d'un événement, on additionne les probabilités de tous les chemins qui y mènent.
- Le premier niveau porte des probabilités $P(B)$ ; le second des probabilités conditionnelles $P_B(A)$.
- Un arbre bien construit rend la formule des probabilités totales automatique.
Exemple
Une urne : $P(\text{rouge}) = 0{,}3$. Si rouge, on gagne avec $P = 0{,}8$ ; sinon avec $P = 0{,}5$. Probabilité de tirer rouge et gagner : $0{,}3 \times 0{,}8 = 0{,}24$.
Piège à éviter
Les probabilités du second niveau sont conditionnelles : sur une branche partant de $B$, on écrit $P_B(A)$, pas $P(A)$. Recopier $P(A)$ à cet endroit est l'erreur classique.
Quand les événements $B$ et $\overline{B}$ découpent l'univers en deux cas qui couvrent tout (une partition), on peut reconstituer $P(A)$ en additionnant ce que $A$ « pèse » dans chaque cas. C'est la formule des probabilités totales — la lecture verticale de l'arbre.
- $B$ et $\overline{B}$ forment une partition de l'univers : $P(B) + P(\overline{B}) = 1$.
- Formule : $P(A) = P(A \cap B) + P(A \cap \overline{B})$.
- Soit, avec les conditionnelles : $P(A) = P(B)\,P_B(A) + P(\overline{B})\,P_{\overline{B}}(A)$.
- Cela revient à additionner toutes les branches de l'arbre qui aboutissent à $A$.
- Se généralise à une partition $B_1, B_2, \ldots, B_n$ : on somme $P(B_i)\,P_{B_i}(A)$.
Exemple
Reprenons l'urne : $P(\text{gagner}) = P(\text{rouge})\,P_{\text{rouge}}(\text{gagner}) + P(\overline{\text{rouge}})\,P_{\overline{\text{rouge}}}(\text{gagner}) = 0{,}3 \times 0{,}8 + 0{,}7 \times 0{,}5 = 0{,}24 + 0{,}35 = 0{,}59$.
Piège à éviter
Pour appliquer la formule, les cas doivent former une partition : ils ne se chevauchent pas et couvrent tout. Oublier le terme $P(A \cap \overline{B})$ donne un résultat trop petit.
Deux événements sont indépendants quand savoir que l'un est réalisé ne change rien à la probabilité de l'autre. C'est une notion à ne pas confondre avec l'incompatibilité (événements qui ne peuvent pas se produire ensemble) : ce sont deux idées totalement différentes.
- Définition : $A$ et $B$ sont indépendants si $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$.
- De façon équivalente (si $P(B) > 0$) : $P_B(A) = P(A)$ — l'information $B$ n'apporte rien.
- Si $A$ et $B$ sont indépendants, alors $\overline{A}$ et $B$ le sont aussi.
- Attention : indépendant $\neq$ incompatible. Incompatibles veut dire $A \cap B = \varnothing$, donc $P(A \cap B) = 0$.
- Deux événements de probabilité non nulle qui sont incompatibles ne sont jamais indépendants.
Exemple
On lance deux dés. $A$ = « le premier donne $6$ », $B$ = « le second donne $6$ ». $P(A) = P(B) = \dfrac{1}{6}$ et $P(A \cap B) = \dfrac{1}{36} = \dfrac{1}{6} \times \dfrac{1}{6}$ : les deux lancers sont bien indépendants.
Piège à éviter
« Indépendant » et « incompatible » ne peuvent jamais être vrais en même temps dès que les probabilités sont non nulles : des événements incompatibles s'excluent, donc l'un renseigne fortement sur l'autre. Ne les confonds jamais.
Quiz - Probabilités conditionnelles
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Questions fréquentes
Les points clés à retenir sur Probabilités conditionnelles, extraits du quiz de révision.
Par définition, $P_B(A)$ est égal à :
Réponse :
$\dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}$
Par définition $P_B(A) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}$ (avec $P(B) > 0$) : on se restreint à l'univers où $B$ est réalisé, puis on mesure la part de $A$. Diviser par $P(A)$ donnerait au contraire $P_A(B)$.
Deux événements $A$ et $B$ sont indépendants lorsque :
Réponse :
$P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$
L'indépendance se traduit par $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$, c'est-à-dire $P_B(A) = P(A)$ : connaître $B$ ne modifie pas la probabilité de $A$.
Dans un arbre pondéré, la probabilité d'un chemin s'obtient en :
Réponse :
multipliant les probabilités des branches
Le long d'un chemin, on multiplie les probabilités : $P(B \cap A) = P(B) \times P_B(A)$. On additionne seulement quand plusieurs chemins mènent au même événement.
La formule des probabilités totales permet de :
Réponse :
calculer $P(A)$ en décomposant selon une partition
Elle reconstitue $P(A) = P(B)\,P_B(A) + P(\overline{B})\,P_{\overline{B}}(A)$ : on additionne toutes les branches de l'arbre qui aboutissent à $A$.