Mathématiques — Statistiques et probabilités
Statistiques descriptives
Moyenne, médiane, écart-type, diagrammes
Résumé synthétiqueFiche en 4 sectionsQuiz de 10 questionsGratuit, sans pub
Résumé
Face à une longue liste de nombres — des notes, des tailles, des temps de trajet —, on a besoin de la **résumer** en quelques indicateurs parlants. La **moyenne** $\bar{x}$ équilibre toutes les valeurs, la **médiane** coupe la série triée en deux moitiés égales, et l'**écart-type** $\sigma$ dit si les données sont serrées ou éparpillées. Les **quartiles** $Q_1$ et $Q_3$ encadrent les $50\,\%$ de valeurs centrales : leur écart $Q_3 - Q_1$ résiste aux valeurs extrêmes, là où l'étendue se laisse piéger. Tout ce résumé tient dans un seul dessin : le **diagramme en boîte**. Ce chapitre apprend à calculer ces indicateurs, à les interpréter, et à choisir le bon graphique.
Pour résumer une série par **un seul nombre central**, on dispose de deux outils complémentaires. La **moyenne** $\bar{x}$ répartit équitablement le total entre toutes les valeurs. La **médiane** se place pile au milieu de la série triée. Ils ne réagissent pas du tout de la même façon aux valeurs extrêmes.
- **Moyenne :** $\bar{x} = \dfrac{\text{somme des valeurs}}{\text{effectif total}}$ — elle tient compte de **toutes** les valeurs.
- **Moyenne pondérée :** $\bar{x} = \dfrac{n_1 x_1 + n_2 x_2 + \dots}{N}$ quand chaque valeur $x_i$ a un effectif $n_i$.
- **Médiane :** la valeur qui partage la série **ordonnée** en deux moitiés de même effectif.
- Si $N$ est **impair**, la médiane est la valeur de rang $\dfrac{N+1}{2}$.
- Si $N$ est **pair**, la médiane est la **moyenne** des valeurs de rang $\dfrac{N}{2}$ et $\dfrac{N}{2}+1$.
- La médiane est **robuste** : une valeur extrême ne la déplace presque pas, contrairement à la moyenne.
Exemple
Série $3,\ 5,\ 7,\ 9,\ 11$ ($N = 5$, impair). Moyenne : $\bar{x} = \dfrac{3+5+7+9+11}{5} = \dfrac{35}{5} = 7$. Médiane : valeur de rang $\dfrac{5+1}{2} = 3$, soit la $3^\text{e}$ valeur $= 7$.
Série $2,\ 4,\ 6,\ 8$ ($N = 4$, pair) : médiane $= \dfrac{4+6}{2} = 5$.
Piège à éviter
Avant toute chose, **trie** la série dans l'ordre croissant : chercher la médiane sur des données en désordre donne un résultat faux. Et ne confonds pas $\bar{x}$ et la médiane : pour $1,\ 1,\ 1,\ 1,\ 100$, la moyenne vaut $20{,}8$ alors que la médiane vaut $1$.
Deux séries peuvent avoir la **même moyenne** et pourtant n'avoir rien en commun : l'une serrée, l'autre éparpillée. Les indicateurs de **dispersion** mesurent cet étalement autour du centre — c'est souvent là que se cache l'information utile.
- **Étendue** $= \text{max} - \text{min}$ : simple, mais **très sensible** aux valeurs extrêmes.
- **Premier quartile $Q_1$ :** au moins $25\,\%$ des valeurs lui sont inférieures ou égales.
- **Troisième quartile $Q_3$ :** au moins $75\,\%$ des valeurs lui sont inférieures ou égales.
- **Écart interquartile** $= Q_3 - Q_1$ : il décrit les $50\,\%$ de valeurs **centrales** et ignore les extrêmes.
- **Écart-type $\sigma$ :** mesure la dispersion **autour de la moyenne** (obtenu à la calculatrice). Plus $\sigma$ est petit, plus les données sont **groupées**.
Exemple
Série $2,\ 5,\ 7,\ 9,\ 40$. Étendue $= 40 - 2 = 38$ : énorme, entièrement due au $40$. L'écart interquartile, lui, ne dépend que des valeurs centrales : il reste modéré et décrit bien mieux le cœur de la série.
Piège à éviter
$Q_1$ est **toujours** inférieur ou égal à $Q_3$ : ne les intervertis pas. Et l'étendue ne dit rien sur la répartition interne — deux séries d'étendue $38$ peuvent être totalement différentes.
Les quartiles se calculent comme des **médianes emboîtées**. On coupe d'abord la série en deux avec la médiane, puis on cherche la médiane de **chaque moitié**. C'est tout : pas de formule à retenir, juste la méthode appliquée trois fois.
- **Étape 1 :** trier la série dans l'ordre **croissant**.
- **Étape 2 :** déterminer la médiane, qui sépare la série en deux moitiés.
- **Étape 3 :** $Q_1$ est la **médiane de la moitié inférieure**.
- **Étape 4 :** $Q_3$ est la **médiane de la moitié supérieure**.
- L'**écart interquartile** vaut alors $Q_3 - Q_1$.
Exemple
Série $1,\ 3,\ 5,\ 7,\ 9,\ 11,\ 13$ ($N = 7$). Médiane $= 7$. Moitié inférieure $1,\ 3,\ 5 \Rightarrow Q_1 = 3$. Moitié supérieure $9,\ 11,\ 13 \Rightarrow Q_3 = 11$. Écart interquartile $= 11 - 3 = 8$.
Piège à éviter
Quand $N$ est **impair**, la valeur médiane n'est rangée **dans aucune** des deux moitiés pour calculer $Q_1$ et $Q_3$ par cette méthode. Garde la même convention du début à la fin pour rester cohérent.
Un bon graphique résume une série **d'un coup d'œil**. Le **diagramme en boîte** (ou boîte à moustaches) affiche cinq nombres clés — minimum, $Q_1$, médiane, $Q_3$, maximum — et montre instantanément où se concentrent les données et jusqu'où elles s'étalent.
- **Diagramme en barres :** pour des données **discrètes** (notes, nombre d'enfants).
- **Histogramme :** pour des données **continues** regroupées en classes ; c'est l'**aire** des barres, pas leur hauteur, qui représente l'effectif.
- **Diagramme en boîte :** représente $\text{min}$, $Q_1$, médiane, $Q_3$, $\text{max}$ ; la boîte contient les $50\,\%$ centraux.
- **Diagramme circulaire :** proportions en angles, avec $\text{angle} = \text{fréquence} \times 360°$.
Exemple
Pour $\text{min} = 2$, $Q_1 = 5$, médiane $= 8$, $Q_3 = 12$, $\text{max} = 18$ : la boîte va de $5$ à $12$, le trait central est à $8$, et les moustaches s'étendent jusqu'à $2$ et $18$.
Piège à éviter
Dans un **histogramme**, compare les **aires** et non les hauteurs : avec des classes de largeurs différentes, lire la hauteur fausse complètement la comparaison des effectifs.
Quiz - Statistiques descriptives
10 questions
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Notions clés — Mathématiques
Articles utiles
Questions fréquentes
Les points clés à retenir sur Statistiques descriptives, extraits du quiz de révision.
La moyenne de la série $4,\ 6,\ 8,\ 10,\ 12$ vaut :
Réponse :
$8$
On additionne puis on divise par l'effectif : $\bar{x} = \dfrac{4+6+8+10+12}{5} = \dfrac{40}{5} = 8$. La réponse $40$ est la somme, qu'il ne faut pas oublier de diviser par $5$.
Dans une série **ordonnée** de $7$ valeurs, la médiane est :
Réponse :
La $4^\text{e}$ valeur
$N = 7$ est impair, donc la médiane est la valeur de rang $\dfrac{N+1}{2} = \dfrac{8}{2} = 4$ : la $4^\text{e}$ valeur. Elle laisse $3$ valeurs à sa gauche et $3$ à sa droite.
La médiane de la série $2,\ 4,\ 6,\ 8$ (effectif pair) vaut :
Réponse :
$5$
Avec $N = 4$ pair, la médiane est la moyenne des deux valeurs centrales (rangs $2$ et $3$) : $\dfrac{4+6}{2} = 5$. Aucune valeur de la série ne vaut $5$, et c'est normal.
Que vaut la médiane de la série $1,\ 1,\ 1,\ 1,\ 100$ ?
Réponse :
$1$
Série déjà triée, $N = 5$ : la médiane est la $3^\text{e}$ valeur, soit $1$. La moyenne, elle, vaut $\dfrac{104}{5} = 20{,}8$ : tirée vers le haut par le $100$, elle illustre que la médiane est **robuste** face aux valeurs extrêmes.