Mathématiques — Statistiques et probabilités
Statistiques descriptives
Moyenne, médiane, écart-type, diagrammes
Résumé synthétiqueFiche en 4 sectionsQuiz de 10 questionsGratuit, sans pub
Résumé
Face à une longue liste de nombres — des notes, des tailles, des temps de trajet —, on a besoin de la résumer en quelques indicateurs parlants. La moyenne $\bar{x}$ équilibre toutes les valeurs, la médiane coupe la série triée en deux moitiés égales, et l'écart-type $\sigma$ dit si les données sont serrées ou éparpillées. Les quartiles $Q_1$ et $Q_3$ encadrent les $50\,\%$ de valeurs centrales : leur écart $Q_3 - Q_1$ résiste aux valeurs extrêmes, là où l'étendue se laisse piéger. Tout ce résumé tient dans un seul dessin : le diagramme en boîte. Ce chapitre apprend à calculer ces indicateurs, à les interpréter, et à choisir le bon graphique.
Pour résumer une série par un seul nombre central, on dispose de deux outils complémentaires. La moyenne $\bar{x}$ répartit équitablement le total entre toutes les valeurs. La médiane se place pile au milieu de la série triée. Ils ne réagissent pas du tout de la même façon aux valeurs extrêmes.
- Moyenne : $\bar{x} = \dfrac{\text{somme des valeurs}}{\text{effectif total}}$ — elle tient compte de toutes les valeurs.
- Moyenne pondérée : $\bar{x} = \dfrac{n_1 x_1 + n_2 x_2 + \dots}{N}$ quand chaque valeur $x_i$ a un effectif $n_i$.
- Médiane : la valeur qui partage la série ordonnée en deux moitiés de même effectif.
- Si $N$ est impair, la médiane est la valeur de rang $\dfrac{N+1}{2}$.
- Si $N$ est pair, la médiane est la moyenne des valeurs de rang $\dfrac{N}{2}$ et $\dfrac{N}{2}+1$.
- La médiane est robuste : une valeur extrême ne la déplace presque pas, contrairement à la moyenne.
Exemple
Série $3,\ 5,\ 7,\ 9,\ 11$ ($N = 5$, impair). Moyenne : $\bar{x} = \dfrac{3+5+7+9+11}{5} = \dfrac{35}{5} = 7$. Médiane : valeur de rang $\dfrac{5+1}{2} = 3$, soit la $3^\text{e}$ valeur $= 7$.
Série $2,\ 4,\ 6,\ 8$ ($N = 4$, pair) : médiane $= \dfrac{4+6}{2} = 5$.
Série $2,\ 4,\ 6,\ 8$ ($N = 4$, pair) : médiane $= \dfrac{4+6}{2} = 5$.
Piège à éviter
Avant toute chose, trie la série dans l'ordre croissant : chercher la médiane sur des données en désordre donne un résultat faux. Et ne confonds pas $\bar{x}$ et la médiane : pour $1,\ 1,\ 1,\ 1,\ 100$, la moyenne vaut $20{,}8$ alors que la médiane vaut $1$.
Deux séries peuvent avoir la même moyenne et pourtant n'avoir rien en commun : l'une serrée, l'autre éparpillée. Les indicateurs de dispersion mesurent cet étalement autour du centre — c'est souvent là que se cache l'information utile.
- Étendue $= \text{max} - \text{min}$ : simple, mais très sensible aux valeurs extrêmes.
- Premier quartile $Q_1$ : au moins $25\,\%$ des valeurs lui sont inférieures ou égales.
- Troisième quartile $Q_3$ : au moins $75\,\%$ des valeurs lui sont inférieures ou égales.
- Écart interquartile $= Q_3 - Q_1$ : il décrit les $50\,\%$ de valeurs centrales et ignore les extrêmes.
- Écart-type $\sigma$ : mesure la dispersion autour de la moyenne (obtenu à la calculatrice). Plus $\sigma$ est petit, plus les données sont groupées.
Exemple
Série $2,\ 5,\ 7,\ 9,\ 40$. Étendue $= 40 - 2 = 38$ : énorme, entièrement due au $40$. L'écart interquartile, lui, ne dépend que des valeurs centrales : il reste modéré et décrit bien mieux le cœur de la série.
Piège à éviter
$Q_1$ est toujours inférieur ou égal à $Q_3$ : ne les intervertis pas. Et l'étendue ne dit rien sur la répartition interne — deux séries d'étendue $38$ peuvent être totalement différentes.
Au lycée, les quartiles se lisent directement dans la série triée grâce à leur rang. $Q_1$ est la plus petite valeur de la série telle qu'au moins $25\,\%$ des valeurs lui sont inférieures ou égales ; $Q_3$ est la plus petite valeur telle qu'au moins $75\,\%$ des valeurs lui sont inférieures ou égales. Ce sont donc toujours des valeurs de la série.
- Étape 1 : trier la série dans l'ordre croissant et compter l'effectif total $N$.
- Étape 2 : calculer $\dfrac{N}{4}$. Le rang de $Q_1$ est le plus petit entier supérieur ou égal à $\dfrac{N}{4}$ : si $\dfrac{N}{4}$ est entier, on le garde ; sinon, on arrondit à l'entier au-dessus.
- Étape 3 : calculer $\dfrac{3N}{4}$. Le rang de $Q_3$ est le plus petit entier supérieur ou égal à $\dfrac{3N}{4}$.
- Étape 4 : lire dans la série triée les valeurs placées à ces rangs : ce sont $Q_1$ et $Q_3$.
- L'écart interquartile vaut alors $Q_3 - Q_1$.
Exemple
Série $1,\ 3,\ 5,\ 7,\ 9,\ 11,\ 13$ ($N = 7$). $\dfrac{N}{4} = 1{,}75$, arrondi au-dessus : rang $2$, donc $Q_1 = 3$. $\dfrac{3N}{4} = 5{,}25$, arrondi au-dessus : rang $6$, donc $Q_3 = 11$. Écart interquartile $= 11 - 3 = 8$. Autre exemple, série $2,\ 4,\ 6,\ 8$ ($N = 4$) : $\dfrac{N}{4} = 1$, rang $1$, donc $Q_1 = 2$ ; $\dfrac{3N}{4} = 3$, rang $3$, donc $Q_3 = 6$.
Piège à éviter
Ne calcule pas les quartiles comme des « médianes de chaque moitié » : ce n'est pas la définition du programme et le résultat peut différer. Pour $2,\ 4,\ 6,\ 8$, cette méthode donnerait $Q_1 = 3$, qui n'est même pas une valeur de la série, alors que $Q_1 = 2$. Contrairement à la médiane, un quartile n'est jamais la moyenne de deux valeurs.
Un bon graphique résume une série d'un coup d'œil. Le diagramme en boîte (ou boîte à moustaches) affiche cinq nombres clés — minimum, $Q_1$, médiane, $Q_3$, maximum — et montre instantanément où se concentrent les données et jusqu'où elles s'étalent.
La boîte s'étend de $Q_1$ à $Q_3$ (les $50\,\%$ centraux), le trait intérieur marque la médiane, et les moustaches rejoignent le minimum et le maximum.
- Diagramme en barres : pour des données discrètes (notes, nombre d'enfants).
- Histogramme : pour des données continues regroupées en classes ; c'est l'aire des barres, pas leur hauteur, qui représente l'effectif.
- Diagramme en boîte : représente $\text{min}$, $Q_1$, médiane, $Q_3$, $\text{max}$ ; la boîte contient les $50\,\%$ centraux.
- Diagramme circulaire : proportions en angles, avec $\text{angle} = \text{fréquence} \times 360°$.
Exemple
Pour $\text{min} = 2$, $Q_1 = 5$, médiane $= 8$, $Q_3 = 12$, $\text{max} = 18$ : la boîte va de $5$ à $12$, le trait central est à $8$, et les moustaches s'étendent jusqu'à $2$ et $18$.
Piège à éviter
Dans un histogramme, compare les aires et non les hauteurs : avec des classes de largeurs différentes, lire la hauteur fausse complètement la comparaison des effectifs.
Quiz - Statistiques descriptives
10 questions
S'entraîner
Ce thème dans une autre classe
Notions clés — Mathématiques
Articles utiles
Questions fréquentes
Les points clés à retenir sur Statistiques descriptives, extraits du quiz de révision.
La moyenne de la série $4,\ 6,\ 8,\ 10,\ 12$ vaut :
Réponse :
$8$
On additionne puis on divise par l'effectif : $\bar{x} = \dfrac{4+6+8+10+12}{5} = \dfrac{40}{5} = 8$. La réponse $40$ est la somme, qu'il ne faut pas oublier de diviser par $5$.
Dans une série ordonnée de $7$ valeurs, la médiane est :
Réponse :
La $4^\text{e}$ valeur
$N = 7$ est impair, donc la médiane est la valeur de rang $\dfrac{N+1}{2} = \dfrac{8}{2} = 4$ : la $4^\text{e}$ valeur. Elle laisse $3$ valeurs à sa gauche et $3$ à sa droite.
La médiane de la série $2,\ 4,\ 6,\ 8$ (effectif pair) vaut :
Réponse :
$5$
Avec $N = 4$ pair, la médiane est la moyenne des deux valeurs centrales (rangs $2$ et $3$) : $\dfrac{4+6}{2} = 5$. Aucune valeur de la série ne vaut $5$, et c'est normal.
Que vaut la médiane de la série $1,\ 1,\ 1,\ 1,\ 100$ ?
Réponse :
$1$
Série déjà triée, $N = 5$ : la médiane est la $3^\text{e}$ valeur, soit $1$. La moyenne, elle, vaut $\dfrac{104}{5} = 20{,}8$ : tirée vers le haut par le $100$, elle illustre que la médiane est robuste face aux valeurs extrêmes.