Mathématiques — Statistiques et probabilités
Statistiques bivariées
Série double, nuage de points, point moyen G, ajustement affine graphique et prévision
Résumé synthétiqueFiche en 5 sectionsQuiz de 10 questionsGratuit, sans pub
Résumé
Jusqu'ici, on décrivait **un seul** caractère à la fois : les tailles d'une classe, ou ses notes. Mais les questions intéressantes en relient souvent **deux** : la taille influence-t-elle le poids ? Réviser davantage fait-il monter la moyenne ? Les **statistiques bivariées** étudient deux caractères mesurés sur les mêmes individus, sous forme de couples $(x_i\,;y_i)$. On les représente par un **nuage de points** : si le nuage s'aligne, c'est le signe d'une tendance. On repère alors son centre, le **point moyen $G$**, on trace à l'œil une **droite d'ajustement** qui résume la relation, et on s'en sert pour **prévoir**. Ce chapitre pose l'intuition de la corrélation — avec une mise en garde essentielle : une tendance n'est pas une preuve de cause.
Une **série statistique double** (ou bivariée) mesure **deux caractères** sur chaque individu d'une même population. Pour un groupe d'élèves, on peut relever à la fois la **taille** et le **poids** : chaque élève fournit alors un **couple** de nombres. On cherche à savoir si les deux grandeurs varient ensemble.
- **Série double :** à chaque individu $i$ on associe un couple $(x_i\,;y_i)$, où $x$ et $y$ sont deux caractères **quantitatifs**.
- $x$ est la variable portée en **abscisse**, $y$ celle portée en **ordonnée**.
- On dispose souvent les données dans un **tableau à deux lignes** (une pour les $x_i$, une pour les $y_i$).
- Objectif : décrire un éventuel **lien** entre $x$ et $y$ (les grandes valeurs de $x$ vont-elles avec les grandes valeurs de $y$ ?).
- Exemples de couples : (taille ; poids), (heures de révision ; note), (ancienneté ; salaire).
Exemple
On relève sur $5$ élèves la taille $x$ (en cm) et le poids $y$ (en kg) : $(150\,;42)$, $(158\,;48)$, $(162\,;52)$, $(170\,;60)$, $(176\,;66)$. Chaque couple représente **un** élève ; l'ordre des deux nombres compte : le premier est la taille, le second le poids.
Piège à éviter
Les deux valeurs d'un couple concernent **le même individu**. On ne mélange pas la taille d'un élève avec le poids d'un autre : chaque point du nuage résume une seule personne.
Pour **voir** la relation, on place chaque couple $(x_i\,;y_i)$ comme un **point** dans un repère. L'ensemble de ces points forme le **nuage de points**. Sa **forme** parle d'elle-même : des points bien alignés annoncent une relation nette, un nuage éparpillé signale un lien faible ou inexistant.
- **Nuage de points :** on représente chaque couple $(x_i\,;y_i)$ par un point dans un repère.
- Nuage **allongé et resserré** autour d'une droite $\Rightarrow$ forte tendance (les variables évoluent ensemble).
- Nuage **dispersé**, sans direction $\Rightarrow$ lien faible, voire absent.
- Tendance **croissante** : quand $x$ augmente, $y$ augmente. Tendance **décroissante** : quand $x$ augmente, $y$ diminue.
- Le nuage se lit d'abord à l'**œil** : c'est une lecture qualitative, avant tout calcul.
Exemple
Avec les couples taille-poids précédents, tous les points montent de gauche à droite et restent proches d'une même droite imaginaire : le nuage est **croissant** et **resserré**. On soupçonne donc que le poids augmente avec la taille.
Piège à éviter
Choisir une **échelle** trompeuse peut fausser l'impression : un nuage tassé sur un axe trop étiré paraît aligné à tort. Garde des échelles régulières et lisibles sur les deux axes.
Le **point moyen** $G$ est le « centre de gravité » du nuage. Ses coordonnées sont simplement les **moyennes** de chaque variable : la moyenne des $x$ pour l'abscisse, la moyenne des $y$ pour l'ordonnée. $G$ tombe au cœur du nuage et sert de point d'appui pour l'ajustement.
- **Coordonnées de $G$ :** $G(\bar{x}\,;\bar{y})$, où $\bar{x}$ est la moyenne des abscisses et $\bar{y}$ la moyenne des ordonnées.
- $\bar{x} = \dfrac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n}$ et $\bar{y} = \dfrac{y_1 + y_2 + \dots + y_n}{n}$.
- $G$ se situe **au centre** du nuage : autant de points d'un côté que de l'autre, en moyenne.
- On calcule **séparément** chaque moyenne : les $x$ entre eux, les $y$ entre eux.
- $G$ n'est **pas** forcément l'un des points du nuage : c'est un point calculé, souvent « entre » les points.
Exemple
Pour les couples $(150\,;42)$, $(158\,;48)$, $(162\,;52)$, $(170\,;60)$, $(176\,;66)$ : $\bar{x} = \dfrac{150 + 158 + 162 + 170 + 176}{5} = \dfrac{816}{5} = 163{,}2$ et $\bar{y} = \dfrac{42 + 48 + 52 + 60 + 66}{5} = \dfrac{268}{5} = 53{,}6$. Donc $G(163{,}2\,;53{,}6)$.
Piège à éviter
N'inverse pas les coordonnées : l'abscisse de $G$ est la moyenne des $x$, son ordonnée la moyenne des $y$. Calculer $\bar{x}$ avec des valeurs de $y$ est une erreur classique.
Quand le nuage est **presque aligné**, on peut le résumer par une **droite** qui passe au plus près des points : c'est la **droite d'ajustement**. En seconde, on la trace **à la main**, en cherchant à équilibrer les points de part et d'autre — et en la faisant passer près du point moyen $G$.
- **Ajustement affine :** remplacer le nuage par une **droite** $y = ax + b$ qui en résume la tendance.
- On trace la droite de sorte qu'elle passe **au milieu** du nuage, avec autant de points au-dessus qu'en dessous.
- Bon repère : la droite d'ajustement passe **près du point moyen** $G$.
- L'ajustement n'a de sens que si le nuage est **suffisamment aligné** ; sinon, aucune droite ne le résume.
- En seconde, l'ajustement est **graphique** (à l'œil) ; la méthode calculée (moindres carrés) viendra plus tard.
Exemple
Sur le nuage taille-poids, on pose une règle qui suit la montée des points en laissant environ la moitié des points de chaque côté, et qui frôle $G(163{,}2\,;53{,}6)$. La droite obtenue résume la relation « plus grand $\Rightarrow$ plus lourd ».
Piège à éviter
La droite d'ajustement n'a **pas** à passer par chaque point : elle les **approche**. Vouloir la faire toucher tous les points est impossible dès que le nuage n'est pas parfaitement aligné.
Une fois la droite tracée, elle sert à **estimer** une valeur manquante : on lit sur la droite l'ordonnée correspondant à une abscisse donnée. C'est puissant, mais à manier avec prudence, surtout **hors** de la plage des données observées.
- **Interpolation :** estimer $y$ pour un $x$ situé **entre** les valeurs observées $\Rightarrow$ résultat plutôt fiable.
- **Extrapolation :** estimer $y$ pour un $x$ **hors** de la plage observée $\Rightarrow$ résultat **incertain**, à prendre avec réserve.
- On lit la prévision **sur la droite** d'ajustement, pas sur les points du nuage.
- Une prévision reste **approchée** : elle dépend du tracé et de la qualité de l'alignement.
- **Corrélation n'est pas causalité** : deux variables liées ne sont pas forcément cause l'une de l'autre.
Exemple
Pour estimer le poids d'un élève de $166$ cm, on lit sur la droite l'ordonnée en $x = 166$ : on trouve environ $57$ kg. Comme $166$ est **entre** $150$ et $176$, c'est une interpolation raisonnable. Estimer le poids d'un adulte de $210$ cm serait, lui, une extrapolation hasardeuse.
Piège à éviter
Un lien entre $x$ et $y$ ne prouve **pas** que l'un cause l'autre : ventes de glaces et noyades augmentent ensemble en été, mais l'une ne provoque pas l'autre — c'est la chaleur, cause commune, qui explique tout.
Quiz - Statistiques bivariées
10 questions
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Notions clés — Mathématiques
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Questions fréquentes
Les points clés à retenir sur Statistiques bivariées, extraits du quiz de révision.
Une série statistique double associe à chaque individu :
Réponse :
un couple de valeurs $(x_i\,;y_i)$
Dans une série **double** (bivariée), chaque individu fournit **deux** mesures, réunies en un couple $(x_i\,;y_i)$ — par exemple sa taille et son poids. C'est ce qui la distingue d'une série simple à un seul caractère.
Dans un nuage de points, chaque point représente :
Réponse :
un individu et ses deux mesures
Un point du nuage a pour coordonnées $(x_i\,;y_i)$ : il résume **un individu** à travers ses deux caractères. Huit individus donnent huit points.
Un nuage de points bien resserré autour d'une droite indique :
Réponse :
une tendance nette entre les deux variables
Plus le nuage est **allongé et resserré** autour d'une droite, plus la tendance est forte : les deux variables évoluent ensemble. Un nuage éparpillé, au contraire, signale un lien faible ou nul.
Les coordonnées du point moyen $G$ sont :
Réponse :
$(\bar{x}\,;\bar{y})$
Le point moyen a pour coordonnées $G(\bar{x}\,;\bar{y})$ : la moyenne des abscisses et la moyenne des ordonnées. Il se place au centre du nuage.