Mathématiques — Statistiques et probabilités
Statistiques : séries continues et classes
Regroupement en classes, histogramme, moyenne d'une série groupée, classe médiane, comparaison
Résumé synthétiqueFiche en 5 sectionsQuiz de 10 questionsGratuit, sans pub
Résumé
Certaines données ne prennent pas des valeurs isolées mais **glissent** de façon continue : une taille peut valoir $172{,}3$ cm, une durée $18{,}7$ min. Impossible alors de dresser un tableau valeur par valeur — il y en aurait une infinité. On **regroupe** donc les données en **classes**, des intervalles $[a\,;b[$ auxquels on associe un effectif. Ce chapitre montre comment lire ces séries : construire un **histogramme** où l'aire code l'effectif, calculer une **moyenne** à partir des centres de classes, repérer la **classe médiane** grâce aux effectifs cumulés, et enfin **comparer** deux séries à l'aide de leur position et de leur dispersion. C'est le prolongement naturel des statistiques du collège, adapté aux grandeurs continues.
Une variable **continue** (taille, masse, durée) peut prendre une infinité de valeurs très proches. Les lister une à une est impossible : on les **regroupe** en **classes**, des intervalles de la forme $[a\,;b[$. À chaque classe, on associe son **effectif** — le nombre d'individus qu'elle contient.
- **Variable continue :** elle prend ses valeurs dans un intervalle (on peut toujours intercaler une valeur entre deux autres).
- **Classe :** un intervalle $[a\,;b[$ (borne gauche incluse, borne droite exclue) qui regroupe des valeurs voisines.
- **Effectif $n_i$ :** le nombre d'individus tombant dans la classe $i$.
- L'**effectif total** est $N = n_1 + n_2 + \dots + n_p$, la somme des effectifs de toutes les classes.
- Le choix $[a\,;b[$ évite les **doublons** : une valeur égale à la borne $b$ compte dans la classe **suivante**.
Exemple
On mesure le temps de trajet (min) de $20$ élèves et on forme $4$ classes de largeur $10$ : $[0\,;10[$ avec $n_1 = 4$, $[10\,;20[$ avec $n_2 = 8$, $[20\,;30[$ avec $n_3 = 6$, $[30\,;40[$ avec $n_4 = 2$. Total : $4 + 8 + 6 + 2 = 20 = N$.
Piège à éviter
Les classes ne doivent **ni se chevaucher ni laisser de trou**. Avec la convention $[a\,;b[$, une valeur de $20$ min appartient à $[20\,;30[$, **pas** à $[10\,;20[$ : chaque donnée est comptée une seule fois.
Pour représenter une série en classes, on utilise un **histogramme** : des rectangles accolés, un par classe. Sa règle d'or : c'est l'**aire** de chaque rectangle qui est proportionnelle à l'effectif. Quand toutes les classes ont la **même largeur**, la **hauteur** suffit alors à coder l'effectif.
- **Histogramme :** un rectangle par classe, les rectangles étant **accolés** (les données sont continues).
- **Règle fondamentale :** l'**aire** d'un rectangle est proportionnelle à l'**effectif** de la classe.
- Si toutes les classes ont la **même largeur**, la **hauteur** devient proportionnelle à l'effectif.
- À distinguer du **diagramme en barres** (variable discrète) : là, les barres sont **séparées**.
- L'histogramme donne d'un coup d'œil la **forme** de la distribution (où se concentrent les données).
Exemple
Avec les classes $[0\,;10[$, $[10\,;20[$, $[20\,;30[$, $[30\,;40[$ d'effectifs $4$, $8$, $6$, $2$ et de même largeur $10$, on trace quatre rectangles accolés de hauteurs proportionnelles à $4$, $8$, $6$, $2$. Le plus haut ($[10\,;20[$) rassemble le plus d'élèves.
Piège à éviter
Si les classes ont des largeurs **différentes**, la hauteur n'est **plus** proportionnelle à l'effectif : il faut raisonner sur l'**aire**. Ne compare jamais des hauteurs quand les largeurs changent.
Une fois les données rangées en classes, on ne connaît plus les valeurs exactes. Pour calculer une moyenne, on fait une **hypothèse** : dans chaque classe, on remplace toutes les valeurs par le **centre** $c_i$ de la classe. La moyenne devient alors une moyenne **pondérée** par les effectifs.
- **Centre de classe :** $c_i = \dfrac{a + b}{2}$, le milieu de l'intervalle $[a\,;b[$.
- **Moyenne pondérée :** $\bar{x} = \dfrac{n_1 c_1 + n_2 c_2 + \dots + n_p c_p}{N} = \dfrac{\sum n_i c_i}{N}$.
- Chaque centre $c_i$ est **compté $n_i$ fois** : les classes nombreuses pèsent davantage.
- Le résultat est une **valeur approchée** : on a supposé les données concentrées au centre de chaque classe.
- On peut aussi passer par les **fréquences** $f_i = \dfrac{n_i}{N}$ : $\bar{x} = \sum f_i c_i$.
Exemple
Centres : $c_1 = 5$, $c_2 = 15$, $c_3 = 25$, $c_4 = 35$. Alors $\bar{x} = \dfrac{4 \times 5 + 8 \times 15 + 6 \times 25 + 2 \times 35}{20} = \dfrac{20 + 120 + 150 + 70}{20} = \dfrac{360}{20} = 18$. Le temps de trajet moyen est de $18$ min.
Piège à éviter
On multiplie chaque centre par **son** effectif, pas par le nombre de classes. Et on divise par $N$, l'**effectif total** — pas par le nombre de classes. Diviser $360$ par $4$ donnerait un résultat faux.
La **médiane** partage la série en deux moitiés de même effectif. Avec des données groupées, on ne l'obtient pas exactement : on repère la **classe médiane**, celle qui contient l'individu du milieu. Pour la trouver, on cumule les effectifs jusqu'à atteindre la moitié de l'effectif total.
- **Effectifs cumulés croissants (ECC) :** on additionne les effectifs classe après classe, de gauche à droite.
- **Rang médian :** on cherche l'individu de rang $\dfrac{N}{2}$.
- **Classe médiane :** la première classe dont l'effectif cumulé **atteint ou dépasse** $\dfrac{N}{2}$.
- La médiane sépare la série en **deux moitiés** : autant de données en dessous qu'au-dessus.
- Contrairement à la moyenne, la médiane est **peu sensible** aux valeurs extrêmes.
Exemple
Effectifs cumulés : $[0\,;10[ \to 4$, $[10\,;20[ \to 12$, $[20\,;30[ \to 18$, $[30\,;40[ \to 20$. On a $\dfrac{N}{2} = \dfrac{20}{2} = 10$. Le premier cumul qui atteint $10$ est $12$, dans la classe $[10\,;20[$ : c'est la **classe médiane**.
Piège à éviter
La classe médiane est repérée par les effectifs **cumulés**, pas par le plus gros effectif. La classe la plus **nombreuse** (l'effectif maximal) est la classe **modale** — une notion différente de la classe médiane.
Une seule moyenne ne raconte pas toute l'histoire. Deux séries peuvent avoir la **même moyenne** tout en étant très différentes : l'une regroupée, l'autre étalée. Pour bien comparer, on croise un indicateur de **position** (moyenne ou médiane) avec un indicateur de **dispersion** (étendue).
- **Position :** la **moyenne** $\bar{x}$ ou la **médiane** situent le « centre » de la série.
- **Dispersion :** l'**étendue** $= \text{valeur max} - \text{valeur min}$ mesure l'écart total.
- Deux séries de même moyenne peuvent avoir des dispersions **très différentes** (l'une resserrée, l'autre étalée).
- Une **faible dispersion** signale des valeurs **homogènes** (régulières) ; une forte dispersion, des valeurs **hétérogènes**.
- Comparer, c'est donc regarder **à la fois** le niveau (position) **et** la régularité (dispersion).
Exemple
Deux classes ont la même moyenne de $12/20$. Dans la classe A, les notes vont de $10$ à $14$ (étendue $4$) ; dans la classe B, de $4$ à $20$ (étendue $16$). Même moyenne, mais la classe A est bien plus **homogène** : la dispersion révèle ce que la moyenne cachait.
Piège à éviter
Ne conclus jamais sur la seule moyenne : deux séries de même moyenne peuvent être radicalement différentes. Sans indicateur de **dispersion**, la comparaison est incomplète.
Quiz - Séries continues et classes
10 questions
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Notions clés — Mathématiques
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Questions fréquentes
Les points clés à retenir sur Statistiques : séries continues et classes, extraits du quiz de révision.
On regroupe des données en classes surtout quand la variable est :
Réponse :
continue (une infinité de valeurs proches)
Une variable **continue** (taille, durée) peut prendre une infinité de valeurs très proches : on ne peut pas les lister une à une, d'où le **regroupement en classes** $[a\,;b[$.
Dans un histogramme, quelle grandeur est proportionnelle à l'effectif d'une classe ?
Réponse :
l'aire du rectangle
La règle fondamentale de l'histogramme : c'est l'**aire** du rectangle qui code l'effectif. La hauteur ne suffit que dans le cas particulier où toutes les classes ont la **même largeur**.
Si toutes les classes ont la même largeur, alors la hauteur de chaque rectangle est :
Réponse :
proportionnelle à l'effectif
À largeur égale, l'aire étant proportionnelle à l'effectif, la **hauteur** l'est aussi. C'est ce qui permet, dans ce cas seulement, de comparer directement les hauteurs.
Un histogramme se distingue d'un diagramme en barres par le fait que ses rectangles sont :
Réponse :
accolés
Les données étant **continues**, les rectangles de l'histogramme sont **accolés** (aucun trou entre eux). Le diagramme en barres, réservé aux variables discrètes, a des barres **séparées**.