Mathématiques — Fonctions
Fonction valeur absolue
Valeur absolue, distance sur la droite réelle, courbe en V, équations et encadrements
Résumé synthétiqueFiche en 5 sectionsQuiz de 10 questionsGratuit, sans pub
Résumé
La **valeur absolue** d'un nombre, c'est sa distance à zéro : peu importe le signe, on ne garde que la « taille ». Ainsi $|-3| = 3$ et $|3| = 3$. Cette idée simple ouvre une lecture géométrique très puissante : $|x - a|$ mesure la distance entre $x$ et $a$ sur la droite des réels. La fonction $f(x) = |x|$ dessine alors une courbe en **V**, symétrique par rapport à l'axe des ordonnées, qui descend puis remonte autour de son minimum $0$. Ce chapitre apprend à calculer une valeur absolue, à l'interpréter comme une distance, à étudier la fonction $|x|$, et à s'en servir pour résoudre des équations, des inéquations et des encadrements du type $|x - a| \leq r$. C'est un outil que l'on retrouve ensuite en analyse, en probabilités et en physique.
La **valeur absolue** d'un nombre réel $x$, notée $|x|$, est sa **distance à $0$** sur la droite graduée. Une distance ne peut pas être négative : on efface donc le signe et on garde uniquement la grandeur. C'est pourquoi $|5| = 5$ et $|-5| = 5$ : les deux nombres sont à la même distance de l'origine.
- **Définition :** $|x| = x$ si $x \geq 0$, et $|x| = -x$ si $x < 0$.
- $|x| \geq 0$ **toujours**, et $|x| = 0$ **seulement** si $x = 0$.
- Deux nombres opposés ont la même valeur absolue : $|-x| = |x|$.
- La valeur absolue « efface le signe » : $|-3{,}5| = 3{,}5$, $|7| = 7$, $|0| = 0$.
- Lien avec la racine : $\sqrt{x^2} = |x|$ (et non $x$), car une racine carrée est toujours positive.
Exemple
Calculons $|3 - 8|$. On calcule **d'abord l'intérieur** : $3 - 8 = -5$, puis on prend la valeur absolue du résultat : $|-5| = 5$.
Piège à éviter
$-x$ ne veut pas dire « un nombre négatif » ! Si $x = -5$, alors $-x = 5$. Dans la définition, $|x| = -x$ pour $x < 0$ donne donc bien un résultat **positif**.
La valeur absolue prend tout son sens avec **deux** nombres. La quantité $|x - a|$ mesure la **distance** entre $x$ et $a$ sur la droite réelle, quel que soit celui des deux qui est le plus grand. C'est la clé qui transforme un calcul en image géométrique.
- **Distance :** $d(x\,;a) = |x - a| = |a - x|$ ; l'ordre n'a aucune importance.
- $|x|$ est le cas particulier $|x - 0|$ : la distance entre $x$ et $0$.
- $|x - a| = 0$ **si et seulement si** $x = a$ (distance nulle = même point).
- Deux nombres symétriques par rapport à $a$ sont à la même distance de $a$.
- Cette lecture « distance » permet de **traduire** une inéquation en intervalle (voir plus loin).
Exemple
Quelle est la distance entre $-3$ et $4$ ? On calcule $|-3 - 4| = |-7| = 7$. Dans l'autre sens : $|4 - (-3)| = |7| = 7$. Même résultat : la distance ne dépend pas de l'ordre.
Piège à éviter
N'écris pas la distance comme $x - a$ tout court : si $x < a$, ce serait négatif. La **valeur absolue** est indispensable pour garantir un résultat positif.
En associant à chaque réel $x$ sa valeur absolue, on définit la **fonction valeur absolue** $f(x) = |x|$. Sa courbe est formée de **deux demi-droites** qui se rejoignent à l'origine : un **V** parfaitement symétrique. Elle descend tant que $x$ est négatif, atteint son minimum $0$ en $x = 0$, puis remonte.
- **Domaine :** $f$ est définie sur $\mathbb{R}$ tout entier.
- **Deux morceaux :** $f(x) = -x$ sur $]-\infty\,;0]$ (une droite qui descend) et $f(x) = x$ sur $[0\,;+\infty[$ (une droite qui monte).
- **Variations :** $f$ est **décroissante** sur $]-\infty\,;0]$ puis **croissante** sur $[0\,;+\infty[$.
- **Minimum :** $f$ admet un minimum égal à $0$, atteint en $x = 0$ (le sommet du V).
- **Fonction paire :** $f(-x) = f(x)$, donc la courbe est **symétrique par rapport à l'axe des ordonnées**.
Exemple
Quelques images : $f(-2) = |-2| = 2$, $f(0) = 0$, $f(3) = 3$. Les points $(-2\,;2)$ et $(2\,;2)$ sont à la même hauteur : c'est la symétrie du V.
Piège à éviter
La courbe de $|x|$ n'est **pas** une parabole : ce sont deux segments de droite. Au sommet $x = 0$, elle forme un **angle** (une pointe), pas un arrondi.
La lecture « distance » rend ces résolutions presque évidentes. $|x| = k$ demande les nombres à distance $k$ de $0$ : il y en a **deux**, $k$ et $-k$. $|x| \leq k$ demande ceux à distance **au plus** $k$ : tout un **intervalle** autour de $0$.
- **Équation :** pour $k > 0$, $|x| = k \iff x = k$ **ou** $x = -k$. Pour $k = 0$, seule solution $x = 0$.
- Si $k < 0$, l'équation $|x| = k$ n'a **aucune** solution : une distance n'est jamais négative.
- **Inéquation :** $|x| \leq k \iff -k \leq x \leq k$, c'est-à-dire $x \in [-k\,;k]$ (pour $k \geq 0$).
- **Inéquation inverse :** $|x| \geq k \iff x \leq -k$ **ou** $x \geq k$ (pour $k \geq 0$).
Exemple
Résolvons $|x| = 4$ : les solutions sont $x = 4$ et $x = -4$. Puis $|x| \leq 4$ : tous les réels entre $-4$ et $4$, soit $x \in [-4\,;4]$.
Piège à éviter
Ne « supprime » jamais la valeur absolue en écrivant seulement $x = k$ : tu oublierais la solution négative $x = -k$. Il y a presque toujours **deux** cas.
Le cas le plus utile combine distance et intervalle : $|x - a| \leq r$ signifie « $x$ est à distance au plus $r$ de $a$ ». Les solutions forment l'**intervalle de centre $a$ et de rayon $r$**. C'est exactement le langage des **valeurs approchées** et des **tolérances**.
- **Équivalence :** $|x - a| \leq r \iff a - r \leq x \leq a + r \iff x \in [a - r\,;a + r]$.
- L'intervalle a pour **centre** $a$ (le nombre visé) et pour **rayon** (demi-largeur) $r$.
- Version stricte : $|x - a| < r \iff x \in \left]a - r\,;a + r\right[$ (bornes exclues).
- **Réciproque :** dire $x \in [a - r\,;a + r]$, c'est dire $|x - a| \leq r$ ; les deux écritures sont interchangeables.
Exemple
« $x$ est à moins de $0{,}1$ de $3$ » s'écrit $|x - 3| \leq 0{,}1$, soit $2{,}9 \leq x \leq 3{,}1$, c'est-à-dire $x \in [2{,}9\,;3{,}1]$.
Piège à éviter
Le centre est le nombre **retranché** dans $|x - a|$. Attention au signe : $|x + 2| \leq r$ se lit $|x - (-2)| \leq r$, donc l'intervalle est centré en $-2$, pas en $2$.
Quiz - Fonction valeur absolue
10 questions
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Notions clés — Mathématiques
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Questions fréquentes
Les points clés à retenir sur Fonction valeur absolue, extraits du quiz de révision.
$|-7|$ est égal à :
Réponse :
$7$
La valeur absolue est la **distance à $0$** : on efface le signe. $-7$ est à distance $7$ de l'origine, donc $|-7| = 7$.
Parmi ces affirmations, laquelle est **toujours** vraie ?
Réponse :
$|x| \geq 0$
Une valeur absolue est une distance, donc $|x| \geq 0$ pour tout $x$. En revanche $|x| = x$ n'est vrai que si $x \geq 0$, $|x| > 0$ est faux car $|0| = 0$, et $|x| = -x$ n'est vrai que si $x \leq 0$.
Pour tout réel $x$, $\sqrt{x^2}$ est égal à :
Réponse :
$|x|$
Une racine carrée est toujours positive. Si $x = -3$, alors $\sqrt{(-3)^2} = \sqrt{9} = 3 = |-3|$. Donc $\sqrt{x^2} = |x|$, et surtout **pas** $x$.
La distance entre $2$ et $9$ sur la droite réelle vaut :
Réponse :
$7$
La distance est $|2 - 9| = |-7| = 7$. On aurait aussi pu écrire $|9 - 2| = 7$ : l'ordre ne change rien.