Mathématiques — Analyse
Fonctions trigonométriques
Cercle trigonométrique, fonctions cosinus et sinus, équations trigonométriques
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Cours de maths du tronc commun. Même notion dans une autre matière : Trigonométrie : cercle, sinus, cosinus, fonctions trigonométriques — spé Maths
Résumé
La trigonométrie enroule la droite des réels autour d'un cercle de rayon $1$, le cercle trigonométrique. À chaque réel $x$ (vu comme un angle en radians) correspond un point unique du cercle, dont les coordonnées sont $(\cos x\,;\sin x)$. C'est cette image géométrique qui donne tout leur sens aux fonctions cosinus et sinus : elles sont bornées entre $-1$ et $1$, périodiques de période $2\pi$ (tout recommence à chaque tour), et liées par la relation fondamentale $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$. Cosinus est paire, sinus est impaire. En mémorisant les quelques valeurs remarquables ($0$, $\dfrac{\pi}{6}$, $\dfrac{\pi}{4}$, $\dfrac{\pi}{3}$, $\dfrac{\pi}{2}$) et les formules de symétrie, on sait placer n'importe quel angle et résoudre les équations trigonométriques.
Le cercle trigonométrique est le cercle de centre $O$ et de rayon $1$. On y mesure les angles en radians : un tour complet vaut $2\pi$. À chaque réel $x$, on associe le point $M$ obtenu en parcourant la longueur $x$ le long du cercle ; ses coordonnées sont, par définition, $(\cos x\,;\sin x)$.
Sur le cercle trigonométrique, le point $M$ associé à l'angle $x$ a pour abscisse $\cos x$ et pour ordonnée $\sin x$.
- Cercle de centre $O$, de rayon $1$, dans un repère orthonormé.
- Point associé à l'angle $x$ : $M(\cos x\,;\sin x)$ — abscisse $=$ cosinus, ordonnée $=$ sinus.
- Sens direct (positif) $=$ sens inverse des aiguilles d'une montre.
- Conversion : un tour $= 2\pi$ rad $= 360°$, donc $\pi$ rad $= 180°$ et $\dfrac{\pi}{2}$ rad $= 90°$.
- Pour convertir : $\text{degrés} = \text{radians} \times \dfrac{180}{\pi}$.
Exemple
Convertissons $60°$ en radians : $60 \times \dfrac{\pi}{180} = \dfrac{\pi}{3}$. Le point associé est $M\left(\cos\dfrac{\pi}{3}\,;\sin\dfrac{\pi}{3}\right) = \left(\dfrac{1}{2}\,;\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$.
Piège à éviter
En trigonométrie au lycée, on travaille en radians, pas en degrés. Sur la calculatrice, vérifie que le mode est bien « RAD » avant tout calcul de $\cos$ ou $\sin$.
Deux idées organisent tout : la périodicité (ajouter $2\pi$ à l'angle ne change rien, car on revient au même point) et la parité (changer $x$ en $-x$ revient à symétriser par rapport à l'axe des abscisses). S'y ajoute la relation $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$, simple traduction du théorème de Pythagore dans le cercle.
- Périodicité : $\cos(x + 2\pi) = \cos x$ et $\sin(x + 2\pi) = \sin x$.
- Parité : $\cos(-x) = \cos x$ (paire) et $\sin(-x) = -\sin x$ (impaire).
- Relation fondamentale : $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$ pour tout réel $x$.
- Encadrement : $-1 \leq \cos x \leq 1$ et $-1 \leq \sin x \leq 1$.
- Angle supplémentaire : $\cos(\pi - x) = -\cos x$ et $\sin(\pi - x) = \sin x$.
Exemple
Sachant que $\cos x = \dfrac{3}{5}$ avec $x \in \left[0\,;\dfrac{\pi}{2}\right]$, calculons $\sin x$. La relation donne $\sin^2 x = 1 - \dfrac{9}{25} = \dfrac{16}{25}$, donc $\sin x = \dfrac{4}{5}$ (positif car $x$ est dans le premier quart).
Piège à éviter
$\cos^2 x$ signifie $(\cos x)^2$, le carré du cosinus — et non $\cos(x^2)$. Ce sont deux quantités totalement différentes.
Quelques angles reviennent sans cesse : $0$, $\dfrac{\pi}{6}$, $\dfrac{\pi}{4}$, $\dfrac{\pi}{3}$ et $\dfrac{\pi}{2}$. Connaître leurs cosinus et sinus par cœur fait gagner un temps précieux. Une astuce : les sinus suivent la suite $\dfrac{\sqrt{0}}{2}, \dfrac{\sqrt{1}}{2}, \dfrac{\sqrt{2}}{2}, \dfrac{\sqrt{3}}{2}, \dfrac{\sqrt{4}}{2}$.
- $\cos 0 = 1$ et $\sin 0 = 0$.
- $\cos\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ et $\sin\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{1}{2}$.
- $\cos\dfrac{\pi}{4} = \sin\dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
- $\cos\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{1}{2}$ et $\sin\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
- $\cos\dfrac{\pi}{2} = 0$ et $\sin\dfrac{\pi}{2} = 1$.
Exemple
Vérifions la relation fondamentale pour $\dfrac{\pi}{6}$ : $\cos^2\dfrac{\pi}{6} + \sin^2\dfrac{\pi}{6} = \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{1}{2}\right)^2 = \dfrac{3}{4} + \dfrac{1}{4} = 1$, ce qui confirme la formule.
Piège à éviter
Ne confonds pas $\dfrac{\pi}{6}$ et $\dfrac{\pi}{3}$ : leurs valeurs de cosinus et sinus sont échangées. $\cos\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ (grand), mais $\cos\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{1}{2}$ (petit).
Résoudre $\cos x = \cos a$ ou $\sin x = \sin a$ revient à chercher tous les angles qui partagent le même cosinus (ou sinus). Le cercle montre qu'il y en a deux par tour, d'où des formules avec un terme $+2k\pi$ ($k$ entier) qui balaye tous les tours.
- $\cos x = \cos a \Leftrightarrow x = a + 2k\pi$ ou $x = -a + 2k\pi$ (avec $k \in \mathbb{Z}$).
- $\sin x = \sin a \Leftrightarrow x = a + 2k\pi$ ou $x = \pi - a + 2k\pi$.
- On choisit ensuite les solutions qui tombent dans l'intervalle demandé (souvent $[0\,;2\pi[$ ou $]-\pi\,;\pi]$).
- Le cercle trigonométrique permet de visualiser et de n'oublier aucune solution.
Exemple
Résolvons $\cos x = \dfrac{1}{2}$ sur $[0\,;2\pi[$. Comme $\cos\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{1}{2}$ : $x = \dfrac{\pi}{3}$ ou $x = -\dfrac{\pi}{3} + 2\pi = \dfrac{5\pi}{3}$. Les solutions sont $\dfrac{\pi}{3}$ et $\dfrac{5\pi}{3}$.
Piège à éviter
Une équation $\cos x = \cos a$ a en général deux familles de solutions par tour, pas une seule. Oublier la solution $x = -a + 2k\pi$ est l'erreur classique.
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Questions fréquentes
Les points clés à retenir sur Fonctions trigonométriques, extraits du quiz de révision.
$\cos\dfrac{\pi}{3}$ vaut :
Réponse :
$\dfrac{1}{2}$
Valeur remarquable : $\cos\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{1}{2}$.
$\sin\dfrac{\pi}{2}$ vaut :
Réponse :
$1$
Valeur remarquable : $\sin\dfrac{\pi}{2} = 1$ (le point est en haut du cercle).
$\sin(-x)$ est égal à :
Réponse :
$-\sin x$
La fonction sinus est impaire : $\sin(-x) = -\sin x$.
$\cos^2 x + \sin^2 x$ vaut :
Réponse :
$1$
C'est la relation fondamentale de la trigonométrie, valable pour tout réel $x$.