Mathématiques — Analyse
Fonction exponentielle
Définition, propriétés algébriques, dérivée, équations et inéquations, croissance comparée
Résumé synthétiqueFiche en 5 sectionsQuiz de 10 questionsGratuit, sans pub
Cours de maths du tronc commun. Même notion dans une autre matière : Fonction exponentielle — spé Maths
Résumé
La fonction exponentielle, notée $\exp$ ou $e^x$, est la grande vedette de l'analyse en Première. On la définit par une propriété étonnante : c'est l'unique fonction égale à sa propre dérivée ($\exp' = \exp$) qui vaut $1$ en $0$. De là découle tout le reste. Elle transforme les additions en multiplications : $e^{a+b} = e^a \times e^b$, exactement comme les puissances. Elle est strictement positive et strictement croissante sur $\mathbb{R}$, ce qui permet de résoudre équations et inéquations en « enlevant les exponentielles ». Enfin, en l'infini, elle écrase toutes les puissances de $x$ : c'est la croissance comparée. L'exponentielle modélise tout ce qui croît ou décroît proportionnellement à soi-même : populations, radioactivité, intérêts continus, refroidissement.
On construit l'exponentielle à partir d'une seule exigence : une fonction égale à sa dérivée. Cette propriété $\exp' = \exp$, avec $\exp(0) = 1$, suffit à la définir entièrement. Conséquence immédiate et capitale : l'exponentielle ne s'annule jamais et reste toujours strictement positive.
- Définition : $\exp$ est l'unique fonction dérivable sur $\mathbb{R}$ telle que $\exp' = \exp$ et $\exp(0) = 1$.
- Notation : $\exp(x) = e^x$, avec $e \approx 2{,}718$.
- Signe : pour tout $x \in \mathbb{R}$, $e^x > 0$ (strictement).
- Valeurs de base : $e^0 = 1$ et $e^1 = e$.
Exemple
Comme $e^x > 0$ pour tout $x$, l'équation $e^x = -2$ n'a aucune solution. De même, le produit $x\,e^x$ a toujours le signe de $x$ (puisque $e^x$ est positif) : ainsi $x\,e^x \geq 0 \Leftrightarrow x \geq 0$.
Piège à éviter
$e^x$ n'est jamais nul ni négatif : ne cherche pas à résoudre $e^x = 0$ ou $e^x < 0$, ces équations et inéquations n'ont pas de solution.
L'exponentielle suit exactement les mêmes règles que les puissances : ce qui s'ajoute en exposant se traduit par une multiplication sur les $e$. Ces formules sont l'outil numéro un pour simplifier une expression.
- $e^{a+b} = e^a \times e^b$
- $e^{a-b} = \dfrac{e^a}{e^b}$
- $e^{-a} = \dfrac{1}{e^a}$
- $(e^a)^n = e^{na}$ pour $n$ entier
- $\sqrt{e^a} = e^{a/2}$
Exemple
Simplifions $\dfrac{e^{2x} \times e^{3}}{e^{x}}$. On regroupe les exposants : $\dfrac{e^{2x+3}}{e^x} = e^{2x + 3 - x} = e^{x+3}$.
Piège à éviter
$e^a \times e^b = e^{a+b}$ : on additionne les exposants, surtout pas $e^{a \times b}$. De même $(e^a)^n = e^{na}$ et non $e^{a^n}$.
Comme $(e^x)' = e^x$, dériver l'exponentielle est immédiat. Le seul point technique apparaît quand l'exposant est une fonction $u(x)$ : on applique alors la dérivée d'une composée, qui fait apparaître le facteur $u'(x)$.
- Base : $(e^x)' = e^x$.
- Composée : $\left(e^{u(x)}\right)' = u'(x)\,e^{u(x)}$.
- Exemple : $\left(e^{3x+1}\right)' = 3\,e^{3x+1}$ (ici $u = 3x + 1$, $u' = 3$).
- Avec un produit : $(x\,e^x)' = e^x + x\,e^x = (1 + x)\,e^x$.
Exemple
Dérivons $f(x) = e^{-x^2}$. On pose $u(x) = -x^2$, donc $u'(x) = -2x$, et $f'(x) = u'(x)\,e^{u(x)} = -2x\,e^{-x^2}$.
Piège à éviter
N'oublie jamais le facteur $u'(x)$ : $\left(e^{3x}\right)' = 3\,e^{3x}$, pas $e^{3x}$. C'est l'erreur la plus fréquente sur les composées.
Parce que l'exponentielle est strictement croissante, on peut « simplifier les $e$ » de chaque côté : comparer deux exponentielles revient à comparer leurs exposants. Pour les équations qui ressemblent à un second degré, on pose un changement de variable $X = e^x$.
- $e^a = e^b \Leftrightarrow a = b$.
- $e^a \geq e^b \Leftrightarrow a \geq b$ (l'inégalité se conserve car $\exp$ est croissante).
- $e^x = k$ a une solution si et seulement si $k > 0$ ; cette solution unique se note $x = \ln(k)$ (approfondissement : le logarithme népérien $\ln$ est au programme de Terminale ; en Première, on se contente de cette notation ou d'une valeur approchée).
- Pour $e^{2x} - 3e^x + 2 = 0$, on pose $X = e^x$ (avec $X > 0$) et on résout $X^2 - 3X + 2 = 0$.
Exemple
Résolvons $e^{2x} - 3e^x + 2 = 0$. Avec $X = e^x$ : $X^2 - 3X + 2 = 0$, donc $X = 1$ ou $X = 2$. On revient à $x$ : $e^x = 1 \Rightarrow x = 0$ et $e^x = 2 \Rightarrow x = \ln 2$ (notation vue en Terminale ; $\ln 2 \approx 0{,}69$).
Piège à éviter
Après le changement de variable $X = e^x$, n'oublie pas de revenir à $x$, et écarte toute solution $X \leq 0$ : comme $e^x > 0$, une valeur $X$ négative ou nulle est à rejeter.
Approfondissement : les limites de fonctions et la croissance comparée sont au programme de Terminale. À l'infini, l'exponentielle l'emporte sur tout. Quelle que soit la puissance de $x$ qu'on lui oppose, $e^x$ croît plus vite : c'est le théorème de croissance comparée, qui lève de nombreuses formes indéterminées.
La courbe de $y = e^x$ : toujours au-dessus de l'axe des abscisses, croissante, elle passe par $(0\,;1)$ et s'approche de l'asymptote $y = 0$ en $-\infty$.
- $\lim\limits_{x \to +\infty} e^x = +\infty$ et $\lim\limits_{x \to -\infty} e^x = 0$.
- $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{e^x}{x^n} = +\infty$ pour tout entier $n$ : l'exponentielle gagne.
- $\lim\limits_{x \to -\infty} x^n\,e^x = 0$ : l'exponentielle écrase la puissance.
- Idée-clé : « l'exponentielle l'emporte sur la puissance ».
Exemple
Calculons $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{e^x}{x^2}$. C'est une forme indéterminée $\dfrac{\infty}{\infty}$, mais par croissance comparée l'exponentielle domine $x^2$ : la limite vaut $+\infty$.
Piège à éviter
En $-\infty$, $e^x$ tend vers $0$ (et non vers $-\infty$) : la courbe s'approche de l'axe des abscisses sans jamais le toucher. L'axe des abscisses est une asymptote horizontale.
Quiz - Fonction exponentielle
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Questions fréquentes
Les points clés à retenir sur Fonction exponentielle, extraits du quiz de révision.
Que vaut $e^0$ ?
Réponse :
$1$
Par définition de l'exponentielle, $\exp(0) = e^0 = 1$.
Simplifier $e^{2x} \times e^{3x}$ :
Réponse :
$e^{5x}$
$e^a \times e^b = e^{a+b}$, donc $e^{2x} \times e^{3x} = e^{2x + 3x} = e^{5x}$. On additionne les exposants.
La dérivée de $f(x) = e^{2x+1}$ est :
Réponse :
$2e^{2x+1}$
Dérivée d'une composée : avec $u = 2x + 1$ et $u' = 2$, $f'(x) = u'\,e^{u} = 2e^{2x+1}$.
Pour tout réel $x$, $e^x$ est :
Réponse :
strictement positif
La fonction exponentielle est strictement positive : $e^x > 0$ pour tout $x$. Elle ne s'annule jamais.