Mathématiques — Algèbre
Second degré
Polynômes du second degré, discriminant, factorisation, signe du trinôme
Résumé synthétiqueFiche en 4 sectionsQuiz de 10 questionsGratuit, sans pub
Cours de maths du tronc commun. Même notion dans une autre matière : Polynômes du second degré — spé Maths
Résumé
Le second degré, c'est l'étude des fonctions de la forme $f(x) = ax^2 + bx + c$ (avec $a \neq 0$), dont la courbe est une parabole. Tout le chapitre tourne autour d'un seul nombre-clé : le discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$. Son signe répond à la question centrale — combien de fois la parabole croise-t-elle l'axe des abscisses ? Deux fois si $\Delta > 0$, une seule si $\Delta = 0$, jamais si $\Delta < 0$. Une fois les racines trouvées, on sait tout faire : factoriser le trinôme, dresser son tableau de signes pour résoudre une inéquation, repérer le sommet de la parabole et écrire la forme canonique. Ces outils servent partout : résoudre une équation, optimiser une aire ou un bénéfice, étudier le signe d'une expression.
Résoudre $ax^2 + bx + c = 0$ revient à chercher où la parabole coupe l'axe des abscisses. Le discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$ tranche immédiatement : son signe donne le nombre de racines réelles, sans calcul supplémentaire.
- Trinôme : $f(x) = ax^2 + bx + c$ avec $a \neq 0$ ; on calcule d'abord $\Delta = b^2 - 4ac$.
- Si $\Delta > 0$ : deux racines distinctes $x_1 = \dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2 = \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$.
- Si $\Delta = 0$ : une racine double $x_0 = \dfrac{-b}{2a}$.
- Si $\Delta < 0$ : aucune racine réelle (la parabole ne touche pas l'axe des abscisses).
- Repère bien $a$, $b$ et $c$ avec leur signe avant de remplacer.
Exemple
Résolvons $2x^2 - 3x + 1 = 0$. Ici $a = 2$, $b = -3$, $c = 1$, donc $\Delta = (-3)^2 - 4 \times 2 \times 1 = 9 - 8 = 1 > 0$. Deux racines : $x_1 = \dfrac{3 - 1}{4} = \dfrac{1}{2}$ et $x_2 = \dfrac{3 + 1}{4} = 1$.
Piège à éviter
Dans $\Delta = b^2 - 4ac$, le terme $b^2$ est toujours positif, même si $b$ est négatif : pour $b = -3$, $b^2 = 9$ (et non $-9$). Surveille aussi le signe de $c$ : avec $c = -1$, le terme $-4ac$ devient positif.
Une fois les racines connues, on réécrit le trinôme sous une forme plus parlante. La forme factorisée $a(x - x_1)(x - x_2)$ met les racines en évidence ; la forme canonique $a(x - \alpha)^2 + \beta$ révèle le sommet de la parabole.
- Forme canonique : $f(x) = a(x - \alpha)^2 + \beta$ avec $\alpha = -\dfrac{b}{2a}$ et $\beta = f(\alpha)$.
- Forme factorisée (si $\Delta \geq 0$) : $f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)$.
- Somme des racines : $x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}$ — pratique pour vérifier.
- Produit des racines : $x_1 \times x_2 = \dfrac{c}{a}$.
Exemple
Pour $f(x) = x^2 - 4x + 7$ : $\alpha = -\dfrac{-4}{2} = 2$ et $\beta = f(2) = 4 - 8 + 7 = 3$, donc $f(x) = (x - 2)^2 + 3$. Comme $\Delta = 16 - 28 = -12 < 0$, ce trinôme n'a pas de racine : il ne se factorise pas dans $\mathbb{R}$.
Piège à éviter
La factorisation $a(x - x_1)(x - x_2)$ n'existe que si $\Delta \geq 0$. Quand $\Delta < 0$, il n'y a aucune racine réelle : inutile de chercher à factoriser.
Pour résoudre une inéquation comme $f(x) \geq 0$, on a besoin du signe du trinôme selon $x$. La règle tient en une phrase : le trinôme est du signe de $a$ partout, sauf entre les racines où il prend le signe opposé.
- Si $\Delta < 0$ : $f(x)$ garde le signe de $a$ pour tout $x$ (et ne s'annule jamais).
- Si $\Delta = 0$ : $f(x)$ est du signe de $a$ partout, et s'annule en $x_0$.
- Si $\Delta > 0$ : $f(x)$ est du signe de $a$ à l'extérieur des racines, et du signe opposé entre les deux racines.
- Méthode : trouver les racines, puis dresser un tableau de signes sur $\mathbb{R}$.
Exemple
Étudions le signe de $f(x) = x^2 - 2x - 3$. On a $\Delta = 4 + 12 = 16$, $x_1 = \dfrac{2 - 4}{2} = -1$ et $x_2 = \dfrac{2 + 4}{2} = 3$. Comme $a = 1 > 0$ : $f(x) > 0$ sur $]-\infty\,;-1[ \cup\, ]3\,;+\infty[$ et $f(x) < 0$ sur $]-1\,;3[$.
Piège à éviter
« À l'extérieur » et « entre les racines » désignent le signe de $a$, pas forcément le signe $+$. Si $a < 0$, c'est l'inverse : $f(x)$ est négatif à l'extérieur et positif entre les racines.
La courbe d'un trinôme est toujours une parabole. Son orientation dépend du signe de $a$, et son point extrême — le sommet — se lit directement dans la forme canonique. C'est lui qui donne le minimum ou le maximum de la fonction.
Une parabole avec $a > 0$ : tournée vers le haut, elle coupe l'axe des abscisses en ses racines $x_1$ et $x_2$, et son sommet $S(\alpha\,;\beta)$ est le point le plus bas.
- La courbe de $f$ est une parabole de sommet $S(\alpha\,;\beta)$ avec $\alpha = -\dfrac{b}{2a}$.
- Si $a > 0$ : parabole tournée vers le haut, $f$ admet un minimum $\beta$ atteint en $\alpha$.
- Si $a < 0$ : parabole tournée vers le bas, $f$ admet un maximum $\beta$ atteint en $\alpha$.
- Axe de symétrie : la droite verticale $x = \alpha$.
Exemple
Pour $f(x) = -x^2 + 6x - 5$ : $\alpha = -\dfrac{6}{2 \times (-1)} = 3$ et $\beta = f(3) = -9 + 18 - 5 = 4$. Comme $a = -1 < 0$, la parabole est tournée vers le bas : $f$ atteint un maximum de $4$ en $x = 3$.
Piège à éviter
L'abscisse du sommet est $\alpha = -\dfrac{b}{2a}$ : avec le signe $-$ et $2a$ au dénominateur. Oublier le signe ou diviser par $a$ au lieu de $2a$ déplace le sommet.
Quiz - Second degré
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Questions fréquentes
Les points clés à retenir sur Second degré, extraits du quiz de révision.
Quel est le discriminant de $f(x) = 2x^2 - 3x + 1$ ?
Réponse :
$\Delta = 1$
$\Delta = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \times 2 \times 1 = 9 - 8 = 1$. Attention : $(-3)^2 = 9$, bien positif.
Si $\Delta < 0$, combien le trinôme a-t-il de racines réelles ?
Réponse :
$0$
Un discriminant strictement négatif signifie qu'il n'existe aucune racine réelle : la parabole ne coupe pas l'axe des abscisses.
Les solutions de $x^2 - 5x + 6 = 0$ sont :
Réponse :
$2$ et $3$
$\Delta = 25 - 24 = 1$, donc $x = \dfrac{5 \pm 1}{2}$ : $x_1 = 2$ et $x_2 = 3$. Leur produit vaut $6 = \dfrac{c}{a}$, ce qui confirme.
La forme canonique de $x^2 - 4x + 7$ est :
Réponse :
$(x - 2)^2 + 3$
$\alpha = -\dfrac{-4}{2} = 2$ et $\beta = f(2) = 4 - 8 + 7 = 3$, d'où $(x - 2)^2 + 3$.