Mathématiques — Algèbre
Second degré
Polynômes du second degré, discriminant, factorisation, signe du trinôme
Résumé synthétiqueFiche en 4 sectionsQuiz de 10 questionsGratuit, sans pub
Résumé
Le second degré, c'est l'étude des fonctions de la forme $f(x) = ax^2 + bx + c$ (avec $a \neq 0$), dont la courbe est une **parabole**. Tout le chapitre tourne autour d'un seul nombre-clé : le **discriminant** $\Delta = b^2 - 4ac$. Son signe répond à la question centrale — combien de fois la parabole croise-t-elle l'axe des abscisses ? Deux fois si $\Delta > 0$, une seule si $\Delta = 0$, jamais si $\Delta < 0$. Une fois les **racines** trouvées, on sait tout faire : **factoriser** le trinôme, dresser son **tableau de signes** pour résoudre une inéquation, repérer le **sommet** de la parabole et écrire la **forme canonique**. Ces outils servent partout : résoudre une équation, optimiser une aire ou un bénéfice, étudier le signe d'une expression.
Résoudre $ax^2 + bx + c = 0$ revient à chercher où la parabole **coupe l'axe des abscisses**. Le **discriminant** $\Delta = b^2 - 4ac$ tranche immédiatement : son signe donne le nombre de **racines réelles**, sans calcul supplémentaire.
- **Trinôme :** $f(x) = ax^2 + bx + c$ avec $a \neq 0$ ; on calcule d'abord $\Delta = b^2 - 4ac$.
- **Si $\Delta > 0$ :** deux racines distinctes $x_1 = \dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2 = \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$.
- **Si $\Delta = 0$ :** une racine double $x_0 = \dfrac{-b}{2a}$.
- **Si $\Delta < 0$ :** aucune racine réelle (la parabole ne touche pas l'axe des abscisses).
- Repère bien $a$, $b$ et $c$ **avec leur signe** avant de remplacer.
Exemple
Résolvons $2x^2 - 3x + 1 = 0$. Ici $a = 2$, $b = -3$, $c = 1$, donc $\Delta = (-3)^2 - 4 \times 2 \times 1 = 9 - 8 = 1 > 0$. Deux racines : $x_1 = \dfrac{3 - 1}{4} = \dfrac{1}{2}$ et $x_2 = \dfrac{3 + 1}{4} = 1$.
Piège à éviter
Dans $\Delta = b^2 - 4ac$, le terme $b^2$ est **toujours positif**, même si $b$ est négatif : pour $b = -3$, $b^2 = 9$ (et non $-9$). Surveille aussi le signe de $c$ : avec $c = -1$, le terme $-4ac$ devient **positif**.
Une fois les racines connues, on réécrit le trinôme sous une forme plus parlante. La **forme factorisée** $a(x - x_1)(x - x_2)$ met les racines en évidence ; la **forme canonique** $a(x - \alpha)^2 + \beta$ révèle le **sommet** de la parabole.
- **Forme canonique :** $f(x) = a(x - \alpha)^2 + \beta$ avec $\alpha = -\dfrac{b}{2a}$ et $\beta = f(\alpha)$.
- **Forme factorisée (si $\Delta \geq 0$) :** $f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)$.
- **Somme des racines :** $x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}$ — pratique pour vérifier.
- **Produit des racines :** $x_1 \times x_2 = \dfrac{c}{a}$.
Exemple
Pour $f(x) = x^2 - 4x + 7$ : $\alpha = -\dfrac{-4}{2} = 2$ et $\beta = f(2) = 4 - 8 + 7 = 3$, donc $f(x) = (x - 2)^2 + 3$. Comme $\Delta = 16 - 28 = -12 < 0$, ce trinôme n'a pas de racine : il ne se factorise pas dans $\mathbb{R}$.
Piège à éviter
La factorisation $a(x - x_1)(x - x_2)$ n'existe **que si $\Delta \geq 0$**. Quand $\Delta < 0$, il n'y a aucune racine réelle : inutile de chercher à factoriser.
Pour résoudre une inéquation comme $f(x) \geq 0$, on a besoin du **signe** du trinôme selon $x$. La règle tient en une phrase : le trinôme est **du signe de $a$** partout, **sauf entre les racines** où il prend le signe opposé.
- **Si $\Delta < 0$ :** $f(x)$ garde le **signe de $a$** pour tout $x$ (et ne s'annule jamais).
- **Si $\Delta = 0$ :** $f(x)$ est du signe de $a$ partout, et **s'annule** en $x_0$.
- **Si $\Delta > 0$ :** $f(x)$ est du signe de $a$ **à l'extérieur** des racines, et du signe **opposé** entre les deux racines.
- **Méthode :** trouver les racines, puis dresser un **tableau de signes** sur $\mathbb{R}$.
Exemple
Étudions le signe de $f(x) = x^2 - 2x - 3$. On a $\Delta = 4 + 12 = 16$, $x_1 = \dfrac{2 - 4}{2} = -1$ et $x_2 = \dfrac{2 + 4}{2} = 3$. Comme $a = 1 > 0$ : $f(x) > 0$ sur $]-\infty\,;-1[ \cup\, ]3\,;+\infty[$ et $f(x) < 0$ sur $]-1\,;3[$.
Piège à éviter
« À l'extérieur » et « entre les racines » désignent le signe de $a$, pas forcément le signe $+$. Si $a < 0$, c'est l'inverse : $f(x)$ est négatif à l'extérieur et positif entre les racines.
La courbe d'un trinôme est toujours une **parabole**. Son orientation dépend du signe de $a$, et son point extrême — le **sommet** — se lit directement dans la forme canonique. C'est lui qui donne le **minimum** ou le **maximum** de la fonction.
- La courbe de $f$ est une **parabole** de sommet $S(\alpha\,;\beta)$ avec $\alpha = -\dfrac{b}{2a}$.
- **Si $a > 0$ :** parabole tournée vers le **haut**, $f$ admet un **minimum** $\beta$ atteint en $\alpha$.
- **Si $a < 0$ :** parabole tournée vers le **bas**, $f$ admet un **maximum** $\beta$ atteint en $\alpha$.
- **Axe de symétrie :** la droite verticale $x = \alpha$.
Exemple
Pour $f(x) = -x^2 + 6x - 5$ : $\alpha = -\dfrac{6}{2 \times (-1)} = 3$ et $\beta = f(3) = -9 + 18 - 5 = 4$. Comme $a = -1 < 0$, la parabole est tournée vers le bas : $f$ atteint un **maximum** de $4$ en $x = 3$.
Piège à éviter
L'abscisse du sommet est $\alpha = -\dfrac{b}{2a}$ : avec le signe $-$ et $2a$ au dénominateur. Oublier le signe ou diviser par $a$ au lieu de $2a$ déplace le sommet.
Quiz - Second degré
10 questions
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Notions clés — Mathématiques
Articles utiles
Questions fréquentes
Les points clés à retenir sur Second degré, extraits du quiz de révision.
Quel est le discriminant de $f(x) = 2x^2 - 3x + 1$ ?
Réponse :
$\Delta = 1$
$\Delta = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \times 2 \times 1 = 9 - 8 = 1$. Attention : $(-3)^2 = 9$, bien positif.
Si $\Delta < 0$, combien le trinôme a-t-il de racines réelles ?
Réponse :
$0$
Un discriminant strictement négatif signifie qu'il n'existe aucune racine réelle : la parabole ne coupe pas l'axe des abscisses.
Les solutions de $x^2 - 5x + 6 = 0$ sont :
Réponse :
$2$ et $3$
$\Delta = 25 - 24 = 1$, donc $x = \dfrac{5 \pm 1}{2}$ : $x_1 = 2$ et $x_2 = 3$. Leur produit vaut $6 = \dfrac{c}{a}$, ce qui confirme.
La forme canonique de $x^2 - 4x + 7$ est :
Réponse :
$(x - 2)^2 + 3$
$\alpha = -\dfrac{-4}{2} = 2$ et $\beta = f(2) = 4 - 8 + 7 = 3$, d'où $(x - 2)^2 + 3$.