Maths (Spé) — Algèbre
Nombres complexes
Forme algébrique, module, argument, géométrie complexe
Résumé synthétiqueFiche en 5 sectionsQuiz de 11 questionsGratuit, sans pub
Résumé
Et si $x^2 + 1 = 0$ avait une solution ? Pour la trouver, on invente un nombre $i$ tel que $i^2 = -1$ : c'est l'acte de naissance des **nombres complexes**. Tout complexe s'écrit alors $z = a + bi$ (**forme algébrique**), avec $a = \operatorname{Re}(z)$ sa partie réelle et $b = \operatorname{Im}(z)$ sa partie imaginaire. Géniale idée : on **dessine** $z$ en associant à $z = a + bi$ le point $M(a\,;b)$ du **plan complexe**. Le **module** $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$ devient la distance $OM$, et l'**argument** $\theta = \arg(z)$ l'angle de direction. Deux écritures de plus, la **forme trigonométrique** $z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$ et la **forme exponentielle** $z = r\,e^{i\theta}$, transforment les multiplications en jeu d'enfant : **les modules se multiplient, les arguments s'ajoutent**. Au bout du chemin : toute équation du second degré se résout (même avec $\Delta < 0$), et les transformations du plan (translations, rotations, homothéties) s'écrivent en une ligne.
Dans $\mathbb{R}$, l'équation $x^2 + 1 = 0$ n'a aucune solution. On **élargit** donc l'ensemble des nombres en posant un nouvel objet $i$ vérifiant $i^2 = -1$. L'ensemble obtenu, noté $\mathbb{C}$, contient $\mathbb{R}$ et tous les $z = a + bi$. On y calcule comme dans $\mathbb{R}$, en remplaçant simplement $i^2$ par $-1$ dès qu'il apparaît.
- **Définition :** $i$ est le nombre imaginaire tel que $i^2 = -1$ ; il résout $x^2 + 1 = 0$.
- **Forme algébrique :** tout complexe s'écrit $z = a + bi$ avec $a \in \mathbb{R}$ (**partie réelle** $\operatorname{Re}(z)$) et $b \in \mathbb{R}$ (**partie imaginaire** $\operatorname{Im}(z)$).
- **Addition :** $(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i$.
- **Produit :** $(a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i$ (on développe et on remplace $i^2$ par $-1$).
- **Égalité :** $z = z'$ **si et seulement si** $\operatorname{Re}(z) = \operatorname{Re}(z')$ **et** $\operatorname{Im}(z) = \operatorname{Im}(z')$.
Exemple
Calculons $(2 + 3i)(1 - 4i)$. On développe : $2 \times 1 + 2 \times (-4i) + 3i \times 1 + 3i \times (-4i) = 2 - 8i + 3i - 12i^2$. Comme $i^2 = -1$, le terme $-12i^2$ devient $+12$. D'où $z = (2 + 12) + (-8 + 3)i = 14 - 5i$.
Piège à éviter
Ne traite **jamais** $i$ comme une simple lettre : $i^2$ n'est pas $i$ mais $-1$. Oublier de remplacer $i^2$ par $-1$ est l'erreur n°1 — elle fausse toute partie réelle. De plus, la partie imaginaire de $z = a + bi$ est le réel $b$, **pas** $bi$.
Le **conjugué** de $z = a + bi$ est $\bar{z} = a - bi$ : on change le signe de la partie imaginaire. Géométriquement, c'est le **symétrique** de $M$ par rapport à l'axe réel. Sa force : multiplier $z$ par son conjugué fait disparaître les $i$ et donne un réel positif, ce qui permet de **mettre un quotient sous forme algébrique**.
- **Définition :** si $z = a + bi$ alors $\bar{z} = a - bi$.
- **Propriété clé :** $z\,\bar{z} = a^2 + b^2 = |z|^2$ (un **réel positif**).
- $z + \bar{z} = 2a = 2\operatorname{Re}(z)$ et $z - \bar{z} = 2bi = 2i\operatorname{Im}(z)$.
- $z$ est **réel** $\Leftrightarrow z = \bar{z}$ ; $z$ est **imaginaire pur** $\Leftrightarrow z = -\bar{z}$.
- **Compatible avec les opérations :** $\overline{z + z'} = \bar{z} + \bar{z'}$ et $\overline{z\,z'} = \bar{z}\,\bar{z'}$.
Exemple
Mettons $\dfrac{3 + i}{1 - 2i}$ sous forme algébrique. On multiplie haut et bas par le conjugué $1 + 2i$ du dénominateur : $\dfrac{(3 + i)(1 + 2i)}{(1 - 2i)(1 + 2i)} = \dfrac{3 + 6i + i + 2i^2}{1^2 + 2^2} = \dfrac{(3 - 2) + 7i}{5} = \dfrac{1 + 7i}{5} = \dfrac{1}{5} + \dfrac{7}{5}i$.
Piège à éviter
Pour diviser, on multiplie par le conjugué du **dénominateur** (jamais du numérateur). Et au dénominateur, $(1 - 2i)(1 + 2i) = 1 + 4 = 5$ : on obtient $a^2 + b^2$, surtout pas $a^2 - b^2$.
L'idée la plus féconde du chapitre : **représenter** chaque complexe par un point. À $z = a + bi$ on associe le point $M(a\,;b)$, appelé son **image** ; réciproquement, $z$ est l'**affixe** de $M$. L'axe horizontal porte les réels, l'axe vertical les imaginaires purs. Le **module** $|z|$ est alors tout simplement la longueur $OM$.
- **Image / affixe :** à $z = a + bi$ correspond le point $M(a\,;b)$ ; $z$ est l'**affixe** de $M$.
- **Module :** $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$, égal à la distance $OM$ (toujours $\geq 0$).
- **Distance entre deux points :** $M_1 M_2 = |z_2 - z_1|$.
- **Module d'un produit / quotient :** $|z_1 z_2| = |z_1| \times |z_2|$ et $\left|\dfrac{z_1}{z_2}\right| = \dfrac{|z_1|}{|z_2|}$.
- **Cercle :** l'ensemble des $z$ tels que $|z - z_0| = r$ est le cercle de centre $\Omega(z_0)$ et de rayon $r$.
Exemple
Pour $z = 3 + 4i$ : $|z| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$ (le célèbre triplet $3,4,5$). La distance entre les images de $z_1 = 1 + 2i$ et $z_2 = 4 + 6i$ vaut $|z_2 - z_1| = |3 + 4i| = 5$.
Piège à éviter
Le module est $\sqrt{a^2 + b^2}$, **pas** $a + b$ ni $\sqrt{a^2 - b^2}$. Et $|z_1 + z_2| \neq |z_1| + |z_2|$ en général (seule l'**inégalité triangulaire** $|z_1 + z_2| \leq |z_1| + |z_2|$ est vraie).
Un point $M$ se repère aussi par sa distance $r = |z|$ à l'origine et l'angle $\theta = \arg(z)$ que fait $OM$ avec l'axe réel. On obtient la **forme trigonométrique** $z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$, condensée par Euler en **forme exponentielle** $z = r\,e^{i\theta}$. Avec elles, multiplier et élever à une puissance devient quasi immédiat.
- **Formes :** $z = r(\cos\theta + i\sin\theta) = r\,e^{i\theta}$ avec $r = |z| > 0$ et $\theta = \arg(z)$.
- **Passage algébrique $\to$ trigo :** $a = r\cos\theta$ et $b = r\sin\theta$, donc $\cos\theta = \dfrac{a}{r}$ et $\sin\theta = \dfrac{b}{r}$.
- **Formule d'Euler :** $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$ ; cas célèbre $e^{i\pi} + 1 = 0$.
- **Produit / quotient :** $z_1 z_2 = r_1 r_2\,e^{i(\theta_1 + \theta_2)}$ et $\dfrac{z_1}{z_2} = \dfrac{r_1}{r_2}\,e^{i(\theta_1 - \theta_2)}$.
- **Formule de Moivre :** $(\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos(n\theta) + i\sin(n\theta)$, soit $\left(e^{i\theta}\right)^n = e^{in\theta}$.
Exemple
Écrivons $z = 1 + i$ sous forme exponentielle. Module : $r = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$. Argument : $\cos\theta = \dfrac{1}{\sqrt{2}}$ et $\sin\theta = \dfrac{1}{\sqrt{2}}$, donc $\theta = \dfrac{\pi}{4}$. Ainsi $z = \sqrt{2}\,e^{i\pi/4}$. On en déduit sans peine $z^8 = \left(\sqrt{2}\right)^8 e^{i \times 8\pi/4} = 16\,e^{2i\pi} = 16$.
Piège à éviter
Pour trouver $\theta$, il faut **les deux** équations $\cos\theta = a/r$ et $\sin\theta = b/r$ : le seul cosinus ne distingue pas $\theta$ de $-\theta$. Le signe de $\sin\theta$ (donc de $b$) tranche le bon quadrant.
Dans $\mathbb{C}$, **plus aucune** équation $az^2 + bz + c = 0$ (à coefficients réels) ne reste sans solution. Le discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$ joue le même rôle que dans $\mathbb{R}$, mais quand $\Delta < 0$ on remplace $\sqrt{\Delta}$ par $i\sqrt{|\Delta|}$ et l'équation gagne deux racines **complexes conjuguées**.
- **Si $\Delta > 0$ :** deux racines réelles $z = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$ (comme dans $\mathbb{R}$).
- **Si $\Delta = 0$ :** une racine réelle double $z = \dfrac{-b}{2a}$.
- **Si $\Delta < 0$ :** deux racines complexes conjuguées $z = \dfrac{-b \pm i\sqrt{|\Delta|}}{2a}$.
- **Théorème fondamental de l'algèbre :** tout polynôme de degré $n$ admet exactement $n$ racines dans $\mathbb{C}$ (comptées avec leur multiplicité).
- Pour une équation à coefficients réels, les racines non réelles vont **toujours par paires** $z$ et $\bar{z}$.
Exemple
Résolvons $z^2 + z + 1 = 0$. Discriminant : $\Delta = 1^2 - 4 \times 1 \times 1 = -3 < 0$. Donc $\sqrt{|\Delta|} = \sqrt{3}$ et $z = \dfrac{-1 \pm i\sqrt{3}}{2}$. Les deux solutions $\dfrac{-1 + i\sqrt{3}}{2}$ et $\dfrac{-1 - i\sqrt{3}}{2}$ sont bien conjuguées.
Piège à éviter
Quand $\Delta < 0$, n'écris pas $\sqrt{\Delta}$ (la racine d'un négatif n'existe pas dans $\mathbb{R}$) : on pose $\sqrt{\Delta} = i\sqrt{|\Delta|}$. Et on garde bien le facteur $2a$ au dénominateur, pas seulement $2$.
Quiz - Nombres complexes
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Questions fréquentes
Les points clés à retenir sur Nombres complexes, extraits du quiz de révision.
Que vaut $i^2$ ?
Réponse :
$-1$
Par définition même de $i$, on a $i^2 = -1$. C'est ce qui permet de résoudre $x^2 + 1 = 0$ et fonde tout le calcul dans $\mathbb{C}$.
La forme algébrique de $(2 + 3i)(1 - 4i)$ est :
Réponse :
$14 - 5i$
On développe : $2 - 8i + 3i - 12i^2$. Comme $i^2 = -1$, $-12i^2 = +12$, d'où $(2 + 12) + (-8 + 3)i = 14 - 5i$. Oublier de transformer $i^2$ en $-1$ donnerait une fausse partie réelle.
Le module de $z = 3 + 4i$ est :
Réponse :
$5$
$|z| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$. Le module est $\sqrt{a^2 + b^2}$, pas $a + b = 7$.
Le conjugué de $z = 2 - 3i$ est :
Réponse :
$2 + 3i$
Le conjugué de $z = a + bi$ est $\bar{z} = a - bi$ : on change le signe de la partie imaginaire. Ici $b = -3$, donc $\bar{z} = 2 + 3i$.