Mathématiques — Algèbre
Automatismes et calcul
Identités remarquables, fractions, puissances, racines carrées, intervalles et inéquations
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Résumé
Ce chapitre rassemble les réflexes de calcul indispensables, ceux qui doivent devenir automatiques pour aborder sereinement tout le programme. Au menu : les trois identités remarquables ($(a+b)^2$, $(a-b)^2$, $(a+b)(a-b)$), qui permettent de développer comme de factoriser en un coup d'œil ; le calcul sur les fractions (même dénominateur, simplification) ; les règles des puissances ($a^n \times a^m = a^{n+m}$, $a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$) ; le maniement des racines carrées ($\sqrt{ab} = \sqrt{a}\,\sqrt{b}$, $\sqrt{a^2} = |a|$) ; et enfin les intervalles pour décrire les ensembles de solutions d'une inéquation. Maîtriser ces gestes, c'est éviter la majorité des erreurs de calcul.
Trois formules à connaître par cœur permettent de développer un produit en somme, ou — plus utile encore — de factoriser une somme en produit. Reconnaître une identité remarquable cachée fait gagner un temps considérable, notamment pour résoudre des équations.
- $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
- $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
- $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$
- Factoriser : $x^2 - 9 = x^2 - 3^2 = (x - 3)(x + 3)$.
- Développer : $(2x + 3)^2 = 4x^2 + 12x + 9$.
Exemple
Factorisons $4x^2 + 12x + 9$. On reconnaît $(2x)^2 + 2 \times 2x \times 3 + 3^2$, soit l'identité $(a + b)^2$ avec $a = 2x$ et $b = 3$. Donc $4x^2 + 12x + 9 = (2x + 3)^2$.
Piège à éviter
$(a + b)^2 \neq a^2 + b^2$ : il ne faut pas oublier le double produit $2ab$. Par exemple $(x + 3)^2 = x^2 + 6x + 9$, et non $x^2 + 9$.
Additionner des fractions impose de les mettre au même dénominateur ; les multiplier est plus simple (numérateurs entre eux, dénominateurs entre eux). Le bon réflexe : simplifier dès que possible pour garder des nombres petits.
- Addition : $\dfrac{a}{b} + \dfrac{c}{d} = \dfrac{ad + bc}{bd}$ (après mise au même dénominateur).
- Multiplication : $\dfrac{a}{b} \times \dfrac{c}{d} = \dfrac{ac}{bd}$.
- Division : $\dfrac{a}{b} \div \dfrac{c}{d} = \dfrac{a}{b} \times \dfrac{d}{c}$ (on multiplie par l'inverse).
- Simplifier par un facteur commun (le PGCD) avant ou après le calcul.
Exemple
Calculons $\dfrac{3}{4} + \dfrac{5}{6}$. Le plus petit dénominateur commun est $12$ : $\dfrac{3}{4} = \dfrac{9}{12}$ et $\dfrac{5}{6} = \dfrac{10}{12}$, donc la somme vaut $\dfrac{19}{12}$.
Piège à éviter
On n'additionne pas les fractions « en ligne » : $\dfrac{a}{b} + \dfrac{c}{d} \neq \dfrac{a + c}{b + d}$. Il faut impérativement passer par un dénominateur commun.
Les puissances obéissent à des règles simples qui transforment les multiplications en additions d'exposants. Bien les manier évite des calculs lourds et prépare directement à l'exponentielle.
- $a^n \times a^m = a^{n+m}$ (on additionne les exposants).
- $\dfrac{a^n}{a^m} = a^{n-m}$ (si $a \neq 0$).
- $(a^n)^m = a^{nm}$ (on multiplie les exposants).
- $a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$ et $a^0 = 1$ (si $a \neq 0$).
- $(ab)^n = a^n \times b^n$.
Exemple
Simplifions $2^5 \times 2^3$. On additionne les exposants : $2^{5+3} = 2^8 = 256$. À ne pas confondre avec $(2^5)^3 = 2^{15}$.
Piège à éviter
$a^n \times a^m = a^{n+m}$ : on additionne les exposants, on ne les multiplie pas. Ainsi $2^5 \times 2^3 = 2^8$ (et non $2^{15}$, qui correspondrait à $(2^5)^3$).
La racine carrée $\sqrt{a}$ n'existe que pour $a \geq 0$ et désigne toujours un nombre positif. Elle se distribue sur les produits et les quotients, ce qui permet de simplifier une racine en sortant les carrés parfaits.
- $\sqrt{a}$ existe si et seulement si $a \geq 0$, et $\sqrt{a} \geq 0$.
- $\sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}$ (pour $a, b \geq 0$).
- $\sqrt{a^2} = |a|$ (valeur absolue) et $(\sqrt{a})^2 = a$.
- $\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\dfrac{a}{b}}$ (pour $b > 0$).
Exemple
Simplifions $\sqrt{75}$. Comme $75 = 25 \times 3$ et que $25$ est un carré parfait : $\sqrt{75} = \sqrt{25} \times \sqrt{3} = 5\sqrt{3}$.
Piège à éviter
$\sqrt{a + b} \neq \sqrt{a} + \sqrt{b}$ : la racine ne se distribue pas sur une somme. Par exemple $\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$, alors que $\sqrt{9} + \sqrt{16} = 3 + 4 = 7$.
Les solutions d'une inéquation forment rarement un seul nombre : ce sont des intervalles. Crochets fermés ou ouverts, réunion $\cup$ et intersection $\cap$ permettent de les décrire précisément. Pour un produit ou un quotient, le tableau de signes est l'outil de référence.
- $x \in [a\,;b]$ signifie $a \leq x \leq b$ (bornes incluses).
- $x \in\, ]a\,;b[$ signifie $a < x < b$ (bornes exclues).
- Réunion $\cup$ : appartenir à au moins un des intervalles.
- Intersection $\cap$ : appartenir aux deux intervalles à la fois.
- Tableau de signes pour résoudre un produit ou un quotient d'expressions.
Exemple
L'intersection de $]-\infty\,;3]$ et $[1\,;+\infty[$ regroupe les $x$ qui vérifient à la fois $x \leq 3$ et $x \geq 1$, soit $1 \leq x \leq 3$ : c'est l'intervalle $[1\,;3]$.
Piège à éviter
Un crochet vers l'infini est toujours ouvert : on écrit $[1\,;+\infty[$ et jamais $[1\,;+\infty]$, car $+\infty$ n'est pas un nombre que $x$ peut atteindre.
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Questions fréquentes
Les points clés à retenir sur Automatismes et calcul, extraits du quiz de révision.
Développer $(3x - 2)^2$ donne :
Réponse :
$9x^2 - 12x + 4$
$(3x - 2)^2 = (3x)^2 - 2 \times 3x \times 2 + 2^2 = 9x^2 - 12x + 4$. Ne pas oublier le double produit.
Factoriser $x^2 - 25$ :
Réponse :
$(x - 5)(x + 5)$
$x^2 - 25 = x^2 - 5^2 = (x - 5)(x + 5)$ (identité $a^2 - b^2$).
Simplifier $2^5 \times 2^3$ :
Réponse :
$2^8$
$a^n \times a^m = a^{n+m}$, donc $2^5 \times 2^3 = 2^8 = 256$. On additionne les exposants.
$2^{-3}$ est égal à :
Réponse :
$\dfrac{1}{8}$
$2^{-3} = \dfrac{1}{2^3} = \dfrac{1}{8}$.