Mathématiques — Analyse
Modélisation quadratique
Modéliser une situation par une fonction du second degré, sommet de la parabole, optimisation (maximum ou minimum)
Résumé synthétiqueFiche en 5 sectionsQuiz de 10 questionsGratuit, sans pub
Résumé
Toutes les grandeurs ne varient pas de façon **proportionnelle**. Quand on double le côté d'un carré, son aire est multipliée par **quatre** : voilà une dépendance en $x^2$, pas en $x$. De la distance de freinage d'une voiture à la hauteur d'un ballon lancé en l'air, beaucoup de situations réelles se **modélisent** par une fonction du second degré $f(x) = ax^2 + bx + c$, dont la courbe est une **parabole**. Ce chapitre n'est pas une reprise des équations du second degré : il apprend à **traduire un énoncé** en une telle fonction, puis à exploiter le point le plus important de la parabole — son **sommet**. Car le sommet répond directement à la question qui revient sans cesse en modélisation : quelle valeur de $x$ rend une aire **maximale**, un coût **minimal** ? Repérer $a$, calculer $x_S = -\dfrac{b}{2a}$, puis $f(x_S)$ : trois gestes qui résolvent un problème d'**optimisation**.
Dans une dépendance **affine**, une grandeur augmente d'une quantité **constante** à chaque pas : c'est une droite. Mais bien des phénomènes ne suivent pas cette règle. L'aire d'un carré, la distance de freinage, la hauteur d'un projectile grandissent de plus en plus vite (ou de moins en moins) : leur variation dépend de $x^2$, pas seulement de $x$.
- **Dépendance affine :** $y = mx + p$ ; à chaque hausse de $1$ de $x$, $y$ varie **toujours** de $m$ (une droite).
- **Dépendance quadratique :** $y$ dépend de $x^2$ ; la variation **change** selon la valeur de $x$ (une courbe).
- **Aire d'un carré :** de côté $x$, l'aire vaut $x^2$. Doubler le côté ($x \to 2x$) multiplie l'aire par $4$, pas par $2$.
- **Distance de freinage :** elle croît comme le **carré** de la vitesse ; rouler deux fois plus vite, c'est freiner sur $4$ fois plus de distance.
- **Hauteur d'un projectile :** un ballon lancé vers le haut suit une trajectoire en forme de **parabole** au cours du temps.
Exemple
Un carré de côté $x = 3$ a pour aire $3^2 = 9$. En passant à $x = 6$ (côté doublé), l'aire devient $6^2 = 36$, soit **quatre fois** plus. Une dépendance affine, elle, aurait seulement doublé la valeur.
Piège à éviter
Ne confonds pas $2x$ et $x^2$ : pour $x = 5$, $2x = 10$ mais $x^2 = 25$. Multiplier par $2$ (affine) et élever au carré (quadratique) donnent des résultats très différents dès que $x$ dépasse $2$.
Une **fonction polynôme du second degré** s'écrit $f(x) = ax^2 + bx + c$, avec $a \neq 0$ (sinon le terme en $x^2$ disparaît et la fonction est affine). Sa représentation graphique est toujours une **parabole**. Le signe du coefficient $a$ décide, à lui seul, du sens dans lequel la courbe est tournée.
- **Forme développée :** $f(x) = ax^2 + bx + c$ avec $a \neq 0$ ; $a$, $b$, $c$ sont les **coefficients**.
- La courbe de $f$ est une **parabole**, symétrique par rapport à un axe vertical.
- **Si $a > 0$ :** la parabole est tournée **vers le haut** (forme de vallée) ; elle admet un **minimum**.
- **Si $a < 0$ :** la parabole est tournée **vers le bas** (forme de colline) ; elle admet un **maximum**.
- Plus $|a|$ est grand, plus la parabole est **resserrée** (elle monte ou descend vite).
Exemple
Pour $f(x) = 2x^2 - 4x + 1$, on a $a = 2 > 0$ : la parabole est tournée vers le haut, donc $f$ possède un **minimum**. Pour $g(x) = -x^2 + 6x$, on a $a = -1 < 0$ : tournée vers le bas, $g$ possède un **maximum**.
Piège à éviter
La condition $a \neq 0$ est essentielle : si $a = 0$, il ne reste que $bx + c$, une fonction **affine** (une droite, pas une parabole). Repère toujours le coefficient de $x^2$ avant de parler de parabole.
Une parabole possède un point remarquable : son **sommet**, le point le plus bas (si $a > 0$) ou le plus haut (si $a < 0$). C'est là que la fonction atteint son **extremum**. Son abscisse se calcule directement avec une formule, sans tableau ni discriminant.
- **Abscisse du sommet :** $x_S = -\dfrac{b}{2a}$ — se calcule à partir des seuls coefficients $a$ et $b$.
- **Ordonnée du sommet :** $y_S = f(x_S)$, obtenue en remplaçant $x$ par $x_S$ dans $f(x)$.
- **Si $a > 0$ :** $f(x_S)$ est le **minimum** de la fonction (le fond de la vallée).
- **Si $a < 0$ :** $f(x_S)$ est le **maximum** de la fonction (le haut de la colline).
- **Axe de symétrie :** la droite verticale $x = x_S$ ; deux points de même ordonnée sont symétriques par rapport à elle.
Exemple
Pour $f(x) = x^2 - 6x + 5$ : $a = 1$, $b = -6$, donc $x_S = -\dfrac{-6}{2 \times 1} = 3$. Puis $y_S = f(3) = 9 - 18 + 5 = -4$. Comme $a > 0$, la fonction admet un **minimum** égal à $-4$, atteint en $x = 3$.
Piège à éviter
Attention au double signe dans $x_S = -\dfrac{b}{2a}$ : avec $b = -6$, on obtient $-\dfrac{-6}{2a} = +\dfrac{6}{2a}$. Oublier le « moins » de la formule, ou celui de $b$, est l'erreur la plus fréquente.
Modéliser, c'est **traduire** un énoncé en une fonction. On choisit d'abord une **inconnue** $x$ (une longueur, un nombre d'objets, un prix), puis on exprime la grandeur étudiée en fonction de $x$. Si cette expression contient un $x^2$, la modélisation est **quadratique** et la parabole entre en jeu.
- **Étape 1 :** choisir clairement ce que représente $x$ et son **domaine** (ex. une longueur $> 0$).
- **Étape 2 :** exprimer la grandeur cherchée (aire, coût, hauteur) **en fonction de $x$**.
- **Étape 3 :** développer pour reconnaître la forme $ax^2 + bx + c$ et lire $a$, $b$, $c$.
- **Périmètre fixé :** un rectangle de périmètre $20$ a pour côtés $x$ et $10 - x$ (car $x + (10 - x) = 10$, la demi-somme).
- Son **aire** est alors $A(x) = x(10 - x) = -x^2 + 10x$, une fonction du second degré avec $a = -1$.
Exemple
Rectangle de périmètre $20$ cm, un côté mesurant $x$. L'autre côté vaut $\dfrac{20}{2} - x = 10 - x$. L'aire s'écrit $A(x) = x \times (10 - x) = -x^2 + 10x$. On reconnaît $a = -1$, $b = 10$, $c = 0$, avec $x$ dans $]0\,;10[$.
Piège à éviter
Ne confonds pas **périmètre** et **demi-périmètre** : pour un périmètre $P = 20$, la somme de deux côtés adjacents est $\dfrac{P}{2} = 10$, pas $20$. L'autre côté est donc $10 - x$, et non $20 - x$.
Une fois la situation modélisée, la question d'**optimisation** devient : pour quelle valeur de $x$ la grandeur est-elle la plus grande (ou la plus petite) ? La réponse est le **sommet** de la parabole. Il suffit d'appliquer la méthode : identifier $a$, calculer $x_S$, puis $f(x_S)$.
- **Méthode :** repérer $a$ et $b$, calculer $x_S = -\dfrac{b}{2a}$, puis l'extremum $f(x_S)$.
- **Aire maximale, coût minimal :** l'optimum est **toujours** atteint à l'abscisse du sommet.
- **Le signe de $a$ dit le type :** $a < 0 \Rightarrow$ maximum ; $a > 0 \Rightarrow$ minimum.
- **Interpréter :** $x_S$ donne la **valeur optimale de l'inconnue**, $f(x_S)$ donne la **grandeur optimale**.
- Vérifier que $x_S$ appartient bien au **domaine** de l'énoncé (une longueur négative n'a pas de sens).
Exemple
Reprenons $A(x) = -x^2 + 10x$ (rectangle de périmètre $20$). Ici $a = -1$ et $b = 10$, donc $x_S = -\dfrac{10}{2 \times (-1)} = 5$. L'aire maximale vaut $A(5) = -25 + 50 = 25$. Le rectangle d'aire maximale est donc le **carré** de côté $5$, d'aire $25\ \text{cm}^2$.
Piège à éviter
Le sommet donne un **maximum** seulement si $a < 0$. Si $a > 0$, la même formule $x_S = -\dfrac{b}{2a}$ donne au contraire un **minimum**. Regarde toujours le signe de $a$ avant de conclure « c'est le maximum ».
Quiz - Modélisation quadratique
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Notions clés — Mathématiques
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Questions fréquentes
Les points clés à retenir sur Modélisation quadratique, extraits du quiz de révision.
Si on **double** le côté d'un carré, son aire est multipliée par :
Réponse :
$4$
L'aire d'un carré de côté $x$ vaut $x^2$. En passant de $x$ à $2x$, l'aire devient $(2x)^2 = 4x^2$, soit **quatre fois** plus. C'est la marque d'une dépendance en $x^2$.
Parmi ces fonctions, laquelle est une fonction du second degré ?
Réponse :
$f(x) = -2x^2 + x - 1$
Une fonction du second degré s'écrit $ax^2 + bx + c$ avec $a \neq 0$. Seule $-2x^2 + x - 1$ contient un terme en $x^2$ (ici $a = -2$). $3x + 5$ est affine.
La courbe représentative d'une fonction du second degré est :
Réponse :
une parabole
Toute fonction $f(x) = ax^2 + bx + c$ (avec $a \neq 0$) a pour courbe une **parabole**, symétrique par rapport à un axe vertical.
Pour $f(x) = 3x^2 - 12x + 7$, la parabole est tournée vers :
Réponse :
le haut, et $f$ a un minimum
Ici $a = 3 > 0$ : la parabole est tournée **vers le haut** (une vallée), donc $f$ admet un **minimum** à son sommet.