Mathématiques — Algèbre
Suites numériques
Suites arithmétiques et géométriques
Résumé synthétiqueFiche en 5 sectionsQuiz de 10 questionsGratuit, sans pub
Cours de maths du tronc commun. Même notion dans une autre matière : Suites numériques (arithmétiques et géométriques) — spé Maths
Résumé
Une suite, c'est une liste ordonnée de nombres : un premier terme, un deuxième, un troisième… chacun repéré par son rang $n$. On la note $u_n$ et on en distingue deux familles reines au lycée. La suite arithmétique avance par additions : on ajoute toujours la même raison $r$ — $u_{n+1} = u_n + r$ — et ses points sont alignés sur une droite. La suite géométrique avance par multiplications : on multiplie toujours par la même raison $q$ — $u_{n+1} = u_n \times q$ — et elle s'emballe (ou s'éteint) de façon exponentielle. Tout le chapitre tient dans deux réflexes : reconnaître la famille (différence constante ou quotient constant ?), puis appliquer la bonne formule du terme général ($u_n = u_0 + nr$ ou $u_n = u_0 \times q^n$) pour atteindre n'importe quel rang sans passer par tous les précédents. Les suites modélisent partout l'évolution pas à pas : épargne, population, intérêts composés, dose de médicament.
Une suite associe à chaque entier $n$ un nombre $u_n$, appelé terme de rang $n$. On peut la décrire de deux façons : par une formule explicite ($u_n$ en fonction de $n$, qui donne directement n'importe quel terme), ou par une relation de récurrence ($u_{n+1}$ en fonction de $u_n$, qui fait avancer pas à pas à partir d'un premier terme).
- Formule explicite : $u_n = 2n + 1$ donne directement $u_0 = 1$, $u_1 = 3$, $u_{10} = 21$.
- Relation de récurrence : $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = u_n + 2$ : on construit chaque terme à partir du précédent.
- Attention à l'indice de départ : une suite peut commencer à $u_0$ ou à $u_1$ — repère-le dans l'énoncé.
- Ne confonds pas $u_n$ (le terme de rang $n$) et $n$ (le rang lui-même).
- Deux familles à connaître par cœur : arithmétique (on ajoute $r$) et géométrique (on multiplie par $q$).
Exemple
Soit $u_0 = 5$ et $u_{n+1} = u_n + 3$. On déroule : $u_1 = 8$, $u_2 = 11$, $u_3 = 14$. La différence vaut toujours $3$ : c'est une suite arithmétique de raison $r = 3$.
Piège à éviter
La formule explicite et la récurrence décrivent la même suite, mais ne se calculent pas pareil : la récurrence oblige à connaître le terme précédent, l'explicite saute directement au rang voulu.
Une suite est arithmétique quand on passe d'un terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre $r$, la raison. Ses points sont régulièrement espacés : tracés dans un repère, ils sont alignés sur une droite de pente $r$.
- Définition : $u_{n+1} = u_n + r$. La raison $r$ est la différence constante entre deux termes consécutifs.
- Terme général : $u_n = u_0 + n\,r$, ou plus généralement $u_n = u_p + (n - p)\,r$ à partir de n'importe quel terme connu.
- Sens de variation : croissante si $r > 0$, décroissante si $r < 0$, constante si $r = 0$.
- Reconnaissance : la différence $u_{n+1} - u_n$ est la même pour tous les $n$.
- Somme de termes consécutifs : $S = (\text{nombre de termes}) \times \dfrac{\text{premier} + \text{dernier}}{2}$.
Exemple
Soit $u_0 = 2$ et $r = 4$. Terme général : $u_n = 2 + 4n$, donc $u_5 = 2 + 4 \times 5 = 22$. Somme de $u_0$ à $u_5$ (six termes) : $S = 6 \times \dfrac{2 + 22}{2} = 6 \times 12 = 72$.
Piège à éviter
Le terme général est $u_n = u_0 + n\,r$, pas $u_1 + n\,r$. Si l'énoncé donne $u_1$, retrouve $u_0 = u_1 - r$, ou utilise directement $u_n = u_1 + (n - 1)\,r$.
Une suite est géométrique quand on passe d'un terme au suivant en multipliant toujours par le même nombre $q$, la raison. Là où l'arithmétique avance à pas réguliers, la géométrique accélère (ou s'éteint) : c'est le moteur des intérêts composés et des croissances exponentielles.
Une suite arithmétique ($+r$) suit une droite ; une suite géométrique ($\times q$, avec $q > 1$) s'emballe de façon exponentielle.
- Définition : $u_{n+1} = u_n \times q$. La raison $q$ est le quotient constant entre deux termes consécutifs.
- Terme général : $u_n = u_0 \times q^{\,n}$.
- Comportement (si $u_0 > 0$) : croissante si $q > 1$, décroissante vers $0$ si $0 < q < 1$, constante si $q = 1$.
- Reconnaissance : le quotient $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ est le même pour tous les $n$.
- Somme de $u_0$ à $u_{n-1}$ ($n$ termes) : $S = u_0 \times \dfrac{1 - q^{\,n}}{1 - q}$ (valable si $q \neq 1$).
Exemple
Des bactéries doublent chaque heure : $u_0 = 100$ et $q = 2$. Après $6$ heures : $u_6 = 100 \times 2^6 = 100 \times 64 = 6\,400$ bactéries.
Piège à éviter
Une hausse de $5\,\%$ par an se traduit par $q = 1{,}05$ (et non $q = 0{,}05$) : on multiplie par $1 + \dfrac{5}{100}$. Une baisse de $2\,\%$ donne $q = 0{,}98$.
Savoir si une suite monte, descend ou stagne est une question récurrente. Deux outils suffisent : la différence $u_{n+1} - u_n$ (qui marche toujours) et, pour des termes strictement positifs, le quotient $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$.
- Méthode de la différence : si $u_{n+1} - u_n > 0$ pour tout $n$, la suite est croissante ; si $< 0$, décroissante.
- Méthode du quotient (termes $> 0$) : si $\dfrac{u_{n+1}}{u_n} > 1$, croissante ; si $< 1$, décroissante.
- Pour une arithmétique, le sens est donné par le signe de $r$ ; pour une géométrique (termes positifs), par la position de $q$ par rapport à $1$.
- Une suite croissante et majorée converge ; une suite décroissante et minorée converge aussi.
Exemple
Soit $u_n = 3 \times 0{,}5^{\,n}$ (géométrique, $q = 0{,}5$). Comme $0 < q < 1$ et $u_0 = 3 > 0$, la suite est décroissante et tend vers $0$. Vérification : $\dfrac{u_{n+1}}{u_n} = 0{,}5 < 1$.
Piège à éviter
La méthode du quotient n'est valable que si les termes sont strictement positifs. Avec des termes négatifs ou de signe variable, reviens à la différence $u_{n+1} - u_n$.
Additionner beaucoup de termes ne se fait jamais à la main : on utilise les formules de sommes. C'est ce qui permet de calculer un capital épargné, une population cumulée ou la célèbre somme des entiers de $1$ à $100$.
- Somme arithmétique : $1 + 2 + \dots + 100 = 100 \times \dfrac{1 + 100}{2} = 5\,050$.
- Intérêts composés (géométrique) : un capital $C_0$ placé au taux annuel $t$ donne $C_n = C_0 \times (1 + t)^n$.
- Population en baisse : $-2\,\%$ par an sur $10\,000$ habitants : $q = 0{,}98$ et $u_{10} = 10\,000 \times 0{,}98^{\,10} \approx 8\,171$.
- Repère la famille avant de choisir la formule : différence constante $\Rightarrow$ arithmétique ; quotient constant $\Rightarrow$ géométrique.
Exemple
Capital de $5\,000$ € placé à $4\,\%$ par an pendant $20$ ans : $C_{20} = 5\,000 \times 1{,}04^{\,20} \approx 10\,955$ €. Le capital a plus que doublé grâce à la croissance géométrique des intérêts composés.
Piège à éviter
Dans la somme géométrique $S = u_0 \times \dfrac{1 - q^{\,n}}{1 - q}$, le nombre $n$ compte les termes de $u_0$ à $u_{n-1}$ (donc $n$ termes), pas jusqu'à $u_n$. Recompter le nombre de termes évite l'erreur la plus classique.
Quiz - Suites numériques
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Questions fréquentes
Les points clés à retenir sur Suites numériques, extraits du quiz de révision.
Pour la suite définie par $u_0 = 3$ et $u_{n+1} = u_n + 5$, que vaut $u_4$ ?
Réponse :
$23$
Suite arithmétique de raison $r = 5$ : $u_n = u_0 + n\,r = 3 + 5n$. Donc $u_4 = 3 + 5 \times 4 = 23$.
Une suite arithmétique de raison $r = -2$ est :
Réponse :
Décroissante
Le sens de variation d'une suite arithmétique est donné par le signe de $r$. Ici $r = -2 < 0$, donc la suite est strictement décroissante : on retire $2$ à chaque étape.
Pour la suite géométrique $u_0 = 2$, $q = 3$, que vaut $u_3$ ?
Réponse :
$54$
$u_n = u_0 \times q^{\,n}$, donc $u_3 = 2 \times 3^3 = 2 \times 27 = 54$. Piège : $3^3 = 27$, pas $9$.
La somme $1 + 2 + 3 + \dots + 100$ vaut :
Réponse :
$5\,050$
Somme arithmétique : $S = (\text{nb termes}) \times \dfrac{\text{premier} + \text{dernier}}{2} = 100 \times \dfrac{1 + 100}{2} = 50 \times 101 = 5\,050$.