Maths complémentaires — Analyse
Suites numériques
Suites arithmétiques, géométriques, sens de variation, convergence et limites
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Résumé
Une suite $(u_n)$ est une liste de nombres indexée par les entiers. Deux familles structurent le chapitre : la suite arithmétique ($u_{n+1} = u_n + r$, on ajoute la raison $r$, terme général $u_n = u_0 + nr$) et la suite géométrique ($u_{n+1} = q\,u_n$, on multiplie par la raison $q$, terme général $u_n = u_0\,q^{\,n}$). On apprend à reconnaître la famille, à calculer un terme ou une somme, et à étudier le sens de variation. La grande nouveauté de Terminale est la convergence : une suite croissante et majorée (ou décroissante et minorée) admet une limite finie. Pour une suite $u_{n+1} = f(u_n)$, cette limite vérifie $\ell = f(\ell)$. Exemple : un placement de $100$ € à $5\,\%$ par an suit une suite géométrique de raison $1{,}05$.
Une suite associe à chaque rang $n$ un nombre $u_n$. On la décrit soit explicitement ($u_n$ en fonction de $n$), soit par récurrence ($u_{n+1}$ à partir de $u_n$). Avant tout calcul, le réflexe est d'identifier la nature de la suite.
- Explicite : $u_n = f(n)$ donne directement n'importe quel terme (ex. $u_n = 2n + 1$).
- Récurrence : $u_{n+1} = f(u_n)$ avec $u_0$ donné, construit chaque terme à partir du précédent.
- Sens de variation : croissante si $u_{n+1} \geq u_n$ pour tout $n$, décroissante si $u_{n+1} \leq u_n$.
- Méthodes : étudier le signe de $u_{n+1} - u_n$, ou comparer $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ à $1$ si $u_n > 0$.
- Majorée / minorée : $u_n \leq M$ pour tout $n$ (majorée) ou $u_n \geq m$ pour tout $n$ (minorée).
Exemple
Soit $u_0 = 5$ et $u_{n+1} = u_n + 3$. On déroule : $u_1 = 8$, $u_2 = 11$, $u_3 = 14$. La différence vaut toujours $3$ : suite arithmétique de raison $r = 3$.
Piège à éviter
Ne confonds pas $u_n$ (le terme de rang $n$) et $n$ (le rang). Et repère l'indice de départ : une suite peut commencer à $u_0$ ou à $u_1$.
Une suite est arithmétique quand on passe d'un terme au suivant en ajoutant toujours la même raison $r$. Ses termes progressent à pas réguliers et ses points sont alignés.
- Définition : $u_{n+1} = u_n + r$ ; la raison $r$ est la différence constante.
- Terme général : $u_n = u_0 + n\,r$, ou $u_n = u_p + (n - p)\,r$ à partir d'un terme connu.
- Sens : croissante si $r > 0$, décroissante si $r < 0$, constante si $r = 0$.
- Somme : $S = (\text{nombre de termes}) \times \dfrac{\text{premier} + \text{dernier}}{2}$.
- Une suite arithmétique diverge vers $+\infty$ ou $-\infty$ (sauf si $r = 0$).
Exemple
$1 + 2 + 3 + \dots + 100$ : $100$ termes, premier $1$, dernier $100$, donc $S = 100 \times \dfrac{1 + 100}{2} = 5\,050$.
Piège à éviter
Le terme général est $u_n = u_0 + n\,r$, pas $u_1 + n\,r$. Si l'énoncé donne $u_1$, utilise $u_n = u_1 + (n - 1)\,r$.
Une suite est géométrique quand on multiplie toujours par la même raison $q$. Là où l'arithmétique avance régulièrement, la géométrique accélère ou s'éteint : c'est le moteur des intérêts composés.
- Définition : $u_{n+1} = q\,u_n$ ; la raison $q$ est le quotient constant.
- Terme général : $u_n = u_0 \times q^{\,n}$.
- Somme (de $u_0$ à $u_n$, soit $n + 1$ termes) : $S = u_0 \times \dfrac{1 - q^{\,n+1}}{1 - q}$ si $q \neq 1$.
- Comportement (si $u_0 > 0$) : converge vers $0$ si $|q| < 1$, diverge vers $+\infty$ si $q > 1$.
Exemple
$1 + 2 + 4 + \dots + 2^9$ : $10$ termes, $u_0 = 1$, $q = 2$, donc $S = \dfrac{1 - 2^{\,10}}{1 - 2} = \dfrac{1 - 1024}{-1} = 1\,023$.
Piège à éviter
Une hausse de $5\,\%$ donne $q = 1{,}05$ (et non $0{,}05$) : on multiplie par $1 + \tfrac{5}{100}$. Et compte bien les termes : de $u_0$ à $u_n$, il y en a $n + 1$.
La grande nouveauté de Terminale : une suite peut tendre vers une limite finie. Inutile de calculer tous les termes — un théorème puissant garantit la convergence dès que la suite monte sans dépasser un plafond.
Une suite croissante et majorée se rapproche de plus en plus de sa limite $L$ sans jamais la franchir : elle converge vers $L$.
- Limite finie : $(u_n)$ converge vers $\ell$ si $u_n$ devient aussi proche que l'on veut de $\ell$ quand $n \to +\infty$.
- Convergence monotone : toute suite croissante majorée (ou décroissante minorée) converge.
- Point fixe : si $u_{n+1} = f(u_n)$ converge vers $\ell$ et $f$ est continue, alors $\ell = f(\ell)$.
- Théorème des gendarmes : si $a_n \leq u_n \leq b_n$ et $\lim a_n = \lim b_n = \ell$, alors $\lim u_n = \ell$.
- Limites de référence : $\lim q^{\,n} = 0$ si $|q| < 1$, $\;\lim \dfrac{1}{n} = 0$, $\;\lim n^2 = +\infty$.
Exemple
Soit $u_0 = 0$ et $u_{n+1} = \sqrt{2 + u_n}$. La suite est croissante et majorée par $2$, donc elle converge vers $\ell$ vérifiant $\ell = \sqrt{2 + \ell}$, soit $\ell^2 - \ell - 2 = 0$, d'où $\ell = 2$ (la racine positive).
Piège à éviter
Une suite majorée n'est pas forcément convergente (ex. $u_n = (-1)^n$ est bornée mais oscille) : il faut aussi la monotonie. Et la limite d'une suite croissante majorée par $5$ est $\leq 5$, pas forcément égale à $5$.
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Questions fréquentes
Les points clés à retenir sur Suites numériques, extraits du quiz de révision.
La suite $u_n = 3 + 5n$ est :
Réponse :
Arithmétique de raison $5$
$u_{n+1} - u_n = [3 + 5(n + 1)] - [3 + 5n] = 5$ : différence constante, donc suite arithmétique de raison $5$.
Que vaut la somme $1 + 2 + 3 + \dots + 50$ ?
Réponse :
$1\,275$
Somme arithmétique : $S = 50 \times \dfrac{1 + 50}{2} = 25 \times 51 = 1\,275$.
Le terme général d'une suite géométrique de premier terme $2$ et de raison $3$ est :
Réponse :
$u_n = 2 \times 3^{\,n}$
Pour une suite géométrique, $u_n = u_0 \times q^{\,n} = 2 \times 3^{\,n}$.
La suite $u_n = (0{,}8)^{\,n}$ converge vers :
Réponse :
$0$
Comme $|q| = 0{,}8 < 1$, la suite géométrique $q^{\,n}$ converge vers $0$.