Maths complémentaires — Analyse
Fonctions exponentielles et logarithmes
Fonction exponentielle, fonction logarithme népérien, applications concrètes en sciences et économie
Résumé synthétiqueFiche en 4 sectionsQuiz de 10 questionsGratuit, sans pub
Résumé
L'exponentielle $\exp(x) = e^x$ est l'unique fonction égale à sa propre dérivée ($f' = f$) valant $1$ en $0$, avec $e \approx 2{,}718$. Toujours strictement positive et croissante, elle modélise les croissances rapides (populations, intérêts). Le logarithme népérien $\ln$ est sa fonction réciproque : il transforme les produits en sommes ($\ln(ab) = \ln a + \ln b$) et sert d'échelle (pH, décibels, demi-vie). Ce chapitre installe leurs propriétés, leurs limites et leurs dérivées ($(e^x)' = e^x$, $(\ln x)' = \tfrac{1}{x}$), puis les met au travail pour résoudre des équations et modéliser des évolutions. Exemple : un capital de $1\,000$ € placé à $3\,\%$ vaut $1\,000 \times 1{,}03^{\,n}$ après $n$ années.
L'exponentielle est la fonction de la croissance qui s'auto-entretient : sa vitesse de variation est, à chaque instant, égale à sa valeur. C'est l'unique fonction vérifiant $f' = f$ et $f(0) = 1$.
- Définition : $e^x$ est l'unique fonction dérivable sur $\mathbb{R}$ telle que $f' = f$ et $f(0) = 1$.
- Règles de calcul : $e^{a+b} = e^a \times e^b$, $\;e^{a-b} = \dfrac{e^a}{e^b}$, $\;(e^a)^n = e^{\,na}$.
- Signe et sens : $e^x > 0$ pour tout $x$ ; la fonction est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.
- Limites : $\lim\limits_{x \to +\infty} e^x = +\infty$ et $\lim\limits_{x \to -\infty} e^x = 0$ (asymptote horizontale).
- Dérivée composée : $\big(e^{\,u}\big)' = u'\,e^{\,u}$. Exemple : $\big(e^{\,3x}\big)' = 3\,e^{\,3x}$.
- Croissance comparée : $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{e^x}{x^n} = +\infty$ : l'exponentielle l'emporte sur toute puissance.
Exemple
Résolvons $e^{\,2x} = 5$. On applique $\ln$ : $2x = \ln 5$, donc $x = \dfrac{\ln 5}{2} \approx 0{,}805$.
Piège à éviter
$e^x$ n'est jamais négatif ni nul : une équation comme $e^x = -3$ n'a aucune solution. Vérifie le signe du second membre avant d'appliquer $\ln$.
Le logarithme népérien défait ce que fait l'exponentielle : c'est sa fonction réciproque. Là où l'exponentielle multiplie, le logarithme additionne — d'où son rôle pour résoudre les équations à inconnue en exposant.
Les courbes de $e^x$ et $\ln x$ sont symétriques par rapport à la droite $y = x$ : ce sont deux fonctions réciproques.
- Définition : $\ln$ est définie sur $]0\,;+\infty[$ et $y = \ln x \Leftrightarrow x = e^{\,y}$.
- Réciprocité : $\ln(e^x) = x$ pour tout $x$, et $e^{\ln x} = x$ pour $x > 0$.
- Valeurs : $\ln 1 = 0$, $\ln e = 1$, $\ln\!\left(\tfrac{1}{e}\right) = -1$.
- Règles : $\ln(ab) = \ln a + \ln b$, $\;\ln\!\left(\tfrac{a}{b}\right) = \ln a - \ln b$, $\;\ln(a^n) = n\,\ln a$.
- Dérivée : $(\ln x)' = \dfrac{1}{x}$ et $(\ln u)' = \dfrac{u'}{u}$.
- Limites : $\lim\limits_{x \to +\infty} \ln x = +\infty$ et $\lim\limits_{x \to 0^+} \ln x = -\infty$.
Exemple
Simplifions $\ln(a^2 b)$ avec $a, b > 0$ : $\ln(a^2 b) = \ln(a^2) + \ln b = 2\ln a + \ln b$.
Piège à éviter
$\ln$ n'existe que pour des nombres strictement positifs : avant d'écrire $\ln(x - 1)$, impose la condition $x - 1 > 0$, soit $x > 1$.
Exponentielle et logarithme sont strictement croissantes et réciproques : elles conservent l'ordre. C'est ce qui permet de « faire descendre » une inconnue de l'exposant ou de la sortir d'un logarithme.
- $e^x = a \Leftrightarrow x = \ln a$ (si $a > 0$) ; aucune solution si $a \leq 0$.
- $\ln x = b \Leftrightarrow x = e^{\,b}$ (toujours une solution, car $e^{\,b} > 0$).
- $e^x \geq e^{\,y} \Leftrightarrow x \geq y$ (l'exponentielle est croissante).
- $\ln x \geq \ln y \Leftrightarrow x \geq y$ (pour $x, y > 0$).
Exemple
Résolvons $\ln(2x - 1) = 3$. Condition : $2x - 1 > 0$. Alors $2x - 1 = e^{\,3}$, donc $x = \dfrac{e^{\,3} + 1}{2} \approx 10{,}54$ (compatible avec la condition).
Piège à éviter
Quand tu appliques $\ln$ ou $\exp$ à une inéquation, l'ordre est conservé (fonctions croissantes). Seule une multiplication par un nombre négatif inverserait le sens.
Dès qu'une grandeur varie d'un pourcentage constant par unité de temps, l'exponentielle entre en scène : population, décroissance radioactive, capitalisation. Le logarithme répond aux questions de temps (« au bout de combien de temps ? »).
- Croissance exponentielle : $N(t) = N_0\,e^{\,kt}$ avec $k > 0$ (population, capital).
- Décroissance exponentielle : $N(t) = N_0\,e^{\,-\lambda t}$ (radioactivité), de demi-vie $t_{1/2} = \dfrac{\ln 2}{\lambda}$.
- Temps de doublement : résoudre $e^{\,kt} = 2$ donne $t = \dfrac{\ln 2}{k}$.
- Intérêts composés : un capital $C_0$ au taux annuel $r$ vaut $C_0\,(1 + r)^n$ après $n$ ans.
- Échelle logarithmique : $\text{pH} = -\log[\text{H}^+]$, niveau sonore $L = 10\,\log\!\left(\tfrac{I}{I_0}\right)$ en décibels.
Exemple
Une population croît de $4\,\%$ par an : $N(t) = N_0\,e^{\,kt}$ avec $k = \ln(1{,}04) \approx 0{,}039$. Temps de doublement : $t = \dfrac{\ln 2}{0{,}039} \approx 17{,}7$ ans.
Piège à éviter
Une hausse de $4\,\%$ correspond à un coefficient $1{,}04$ (et à $k = \ln 1{,}04$), pas exactement à $k = 0{,}04$ — même si les deux valeurs sont très proches pour de petits taux.
Quiz - Fonctions exponentielles et logarithmes
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Questions fréquentes
Les points clés à retenir sur Fonctions exponentielles et logarithmes, extraits du quiz de révision.
Que vaut $e^0$ ?
Réponse :
$1$
Par définition, $e^0 = 1$ : c'est la condition initiale qui caractérise l'exponentielle.
La dérivée de $f(x) = e^{\,3x}$ est :
Réponse :
$3\,e^{\,3x}$
On applique $\big(e^{\,u}\big)' = u'\,e^{\,u}$ avec $u = 3x$, $u' = 3$. Donc $f'(x) = 3\,e^{\,3x}$.
Que vaut $\ln(e^5)$ ?
Réponse :
$5$
$\ln$ et $\exp$ sont réciproques : $\ln(e^x) = x$. Donc $\ln(e^5) = 5$.
Simplifier $\ln(a^2 b)$ (avec $a, b > 0$) :
Réponse :
$2\ln a + \ln b$
$\ln(a^2 b) = \ln(a^2) + \ln b = 2\ln a + \ln b$, en utilisant les règles du logarithme.