Fonctions exponentielles et logarithmes

La fonction exponentielle exp(x) = eˣ est l'unique fonction dérivable sur ℝ telle que f' = f et f(0) = 1, avec e ≈ 2,718. Elle est strictement positive et strictement croissante sur ℝ, avec lim(x→+∞) eˣ = +∞ et lim(x→−∞) eˣ = 0. La fonction logarithme népérien ln est la réciproque de exp : ln(eˣ) = x et e^(ln x) = x pour x > 0. On a ln(ab) = ln a + ln b, ln(a/b) = ln a − ln b, ln(aⁿ) = n·ln a. Ces fonctions modélisent de nombreux phénomènes : croissance exponentielle d'une population (N(t) = N₀·e^(kt)), décroissance radioactive (N(t) = N₀·e^(−λt)), capitalisation continue, échelle logarithmique (décibels, pH). Par exemple, un capital de 1000 € placé à 3 % annuel vaut 1000×1,03ⁿ après n années.