Maths complémentaires — Analyse
Fonctions exponentielles et logarithmes
Fonction exponentielle, fonction logarithme népérien, applications concrètes en sciences et économie
Résumé synthétiqueFiche en 4 sectionsQuiz de 10 questionsGratuit, sans pub
Résumé
L'**exponentielle** $\exp(x) = e^x$ est l'unique fonction égale à sa propre dérivée ($f' = f$) valant $1$ en $0$, avec $e \approx 2{,}718$. Toujours **strictement positive** et **croissante**, elle modélise les **croissances rapides** (populations, intérêts). Le **logarithme népérien** $\ln$ est sa fonction **réciproque** : il transforme les produits en sommes ($\ln(ab) = \ln a + \ln b$) et sert d'**échelle** (pH, décibels, demi-vie). Ce chapitre installe leurs propriétés, leurs **limites** et leurs **dérivées** ($(e^x)' = e^x$, $(\ln x)' = \tfrac{1}{x}$), puis les met au travail pour **résoudre des équations** et **modéliser** des évolutions. Exemple : un capital de $1\,000$ € placé à $3\,\%$ vaut $1\,000 \times 1{,}03^{\,n}$ après $n$ années.
L'exponentielle est la fonction de la **croissance qui s'auto-entretient** : sa vitesse de variation est, à chaque instant, égale à sa valeur. C'est l'unique fonction vérifiant $f' = f$ et $f(0) = 1$.
- **Définition :** $e^x$ est l'unique fonction dérivable sur $\mathbb{R}$ telle que $f' = f$ et $f(0) = 1$.
- **Règles de calcul :** $e^{a+b} = e^a \times e^b$, $\;e^{a-b} = \dfrac{e^a}{e^b}$, $\;(e^a)^n = e^{\,na}$.
- **Signe et sens :** $e^x > 0$ pour tout $x$ ; la fonction est **strictement croissante** sur $\mathbb{R}$.
- **Limites :** $\lim\limits_{x \to +\infty} e^x = +\infty$ et $\lim\limits_{x \to -\infty} e^x = 0$ (asymptote horizontale).
- **Dérivée composée :** $\big(e^{\,u}\big)' = u'\,e^{\,u}$. Exemple : $\big(e^{\,3x}\big)' = 3\,e^{\,3x}$.
- **Croissance comparée :** $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{e^x}{x^n} = +\infty$ : l'exponentielle l'emporte sur toute puissance.
Exemple
Résolvons $e^{\,2x} = 5$. On applique $\ln$ : $2x = \ln 5$, donc $x = \dfrac{\ln 5}{2} \approx 0{,}805$.
Piège à éviter
$e^x$ n'est **jamais** négatif ni nul : une équation comme $e^x = -3$ n'a **aucune** solution. Vérifie le signe du second membre avant d'appliquer $\ln$.
Le logarithme népérien **défait** ce que fait l'exponentielle : c'est sa fonction réciproque. Là où l'exponentielle multiplie, le logarithme additionne — d'où son rôle pour résoudre les équations à inconnue en exposant.
- **Définition :** $\ln$ est définie sur $]0\,;+\infty[$ et $y = \ln x \Leftrightarrow x = e^{\,y}$.
- **Réciprocité :** $\ln(e^x) = x$ pour tout $x$, et $e^{\ln x} = x$ pour $x > 0$.
- **Valeurs :** $\ln 1 = 0$, $\ln e = 1$, $\ln\!\left(\tfrac{1}{e}\right) = -1$.
- **Règles :** $\ln(ab) = \ln a + \ln b$, $\;\ln\!\left(\tfrac{a}{b}\right) = \ln a - \ln b$, $\;\ln(a^n) = n\,\ln a$.
- **Dérivée :** $(\ln x)' = \dfrac{1}{x}$ et $(\ln u)' = \dfrac{u'}{u}$.
- **Limites :** $\lim\limits_{x \to +\infty} \ln x = +\infty$ et $\lim\limits_{x \to 0^+} \ln x = -\infty$.
Exemple
Simplifions $\ln(a^2 b)$ avec $a, b > 0$ : $\ln(a^2 b) = \ln(a^2) + \ln b = 2\ln a + \ln b$.
Piège à éviter
$\ln$ n'existe que pour des nombres **strictement positifs** : avant d'écrire $\ln(x - 1)$, impose la condition $x - 1 > 0$, soit $x > 1$.
Exponentielle et logarithme sont **strictement croissantes** et réciproques : elles conservent l'ordre. C'est ce qui permet de « faire descendre » une inconnue de l'exposant ou de la sortir d'un logarithme.
- $e^x = a \Leftrightarrow x = \ln a$ (si $a > 0$) ; aucune solution si $a \leq 0$.
- $\ln x = b \Leftrightarrow x = e^{\,b}$ (toujours une solution, car $e^{\,b} > 0$).
- $e^x \geq e^{\,y} \Leftrightarrow x \geq y$ (l'exponentielle est croissante).
- $\ln x \geq \ln y \Leftrightarrow x \geq y$ (pour $x, y > 0$).
Exemple
Résolvons $\ln(2x - 1) = 3$. Condition : $2x - 1 > 0$. Alors $2x - 1 = e^{\,3}$, donc $x = \dfrac{e^{\,3} + 1}{2} \approx 10{,}54$ (compatible avec la condition).
Piège à éviter
Quand tu appliques $\ln$ ou $\exp$ à une inéquation, l'ordre est **conservé** (fonctions croissantes). Seule une multiplication par un nombre négatif inverserait le sens.
Dès qu'une grandeur varie d'un **pourcentage constant** par unité de temps, l'exponentielle entre en scène : population, décroissance radioactive, capitalisation. Le logarithme répond aux questions de **temps** (« au bout de combien de temps ? »).
- **Croissance exponentielle :** $N(t) = N_0\,e^{\,kt}$ avec $k > 0$ (population, capital).
- **Décroissance exponentielle :** $N(t) = N_0\,e^{\,-\lambda t}$ (radioactivité), de **demi-vie** $t_{1/2} = \dfrac{\ln 2}{\lambda}$.
- **Temps de doublement :** résoudre $e^{\,kt} = 2$ donne $t = \dfrac{\ln 2}{k}$.
- **Intérêts composés :** un capital $C_0$ au taux annuel $r$ vaut $C_0\,(1 + r)^n$ après $n$ ans.
- **Échelle logarithmique :** $\text{pH} = -\log[\text{H}^+]$, niveau sonore $L = 10\,\log\!\left(\tfrac{I}{I_0}\right)$ en décibels.
Exemple
Une population croît de $4\,\%$ par an : $N(t) = N_0\,e^{\,kt}$ avec $k = \ln(1{,}04) \approx 0{,}039$. Temps de doublement : $t = \dfrac{\ln 2}{0{,}039} \approx 17{,}7$ ans.
Piège à éviter
Une hausse de $4\,\%$ correspond à un coefficient $1{,}04$ (et à $k = \ln 1{,}04$), **pas** exactement à $k = 0{,}04$ — même si les deux valeurs sont très proches pour de petits taux.
Quiz - Fonctions exponentielles et logarithmes
10 questions
Ce thème dans une autre classe
Articles utiles
Questions fréquentes
Les points clés à retenir sur Fonctions exponentielles et logarithmes, extraits du quiz de révision.
Que vaut $e^0$ ?
Réponse :
$1$
Par définition, $e^0 = 1$ : c'est la condition initiale qui caractérise l'exponentielle.
La dérivée de $f(x) = e^{\,3x}$ est :
Réponse :
$3\,e^{\,3x}$
On applique $\big(e^{\,u}\big)' = u'\,e^{\,u}$ avec $u = 3x$, $u' = 3$. Donc $f'(x) = 3\,e^{\,3x}$.
Que vaut $\ln(e^5)$ ?
Réponse :
$5$
$\ln$ et $\exp$ sont réciproques : $\ln(e^x) = x$. Donc $\ln(e^5) = 5$.
Simplifier $\ln(a^2 b)$ (avec $a, b > 0$) :
Réponse :
$2\ln a + \ln b$
$\ln(a^2 b) = \ln(a^2) + \ln b = 2\ln a + \ln b$, en utilisant les règles du logarithme.