Maths complémentaires — Analyse
Fonctions : dérivation et continuité
Rappels et approfondissements sur la dérivation, le théorème des valeurs intermédiaires et la continuité
Résumé synthétiqueFiche en 5 sectionsQuiz de 10 questionsGratuit, sans pub
Résumé
Dériver, c'est mesurer **comment une fonction varie** à chaque instant : le nombre dérivé $f'(a)$ est la **pente de la tangente** à la courbe au point d'abscisse $a$. Ce chapitre réactive les **formules de dérivation** de Première (puissances, produit, quotient, composée) et les met au service de l'étude des fonctions : le **signe de $f'$** donne les **variations** de $f$, et l'annulation de $f'$ repère les **extremums**. On y ajoute deux notions clés de Terminale : la **continuité** (tracer la courbe sans lever le crayon) et le **théorème des valeurs intermédiaires**, qui garantit qu'une fonction continue changeant de signe **s'annule** au moins une fois. Exemple fil rouge : $f(x) = x^3 - 2x - 5$ vérifie $f(2) < 0$ et $f(3) > 0$, donc l'équation $f(x) = 0$ a une solution entre $2$ et $3$.
Le **nombre dérivé** $f'(a)$ mesure la vitesse de variation de $f$ au point d'abscisse $a$. Géométriquement, c'est le **coefficient directeur de la tangente** à la courbe en ce point. Un $f'(a)$ positif signale une courbe qui monte, un $f'(a)$ négatif une courbe qui descend.
- **Définition :** $f'(a) = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(a + h) - f(a)}{h}$, limite du taux de variation.
- **Interprétation :** $f'(a)$ est la **pente de la tangente** à la courbe au point $A\,(a\,;f(a))$.
- **Équation de la tangente** en $a$ : $y = f'(a)\,(x - a) + f(a)$.
- **Dérivées usuelles :** $(x^n)' = n\,x^{\,n-1}$, $\;(\sqrt{x})' = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$, $\;\left(\dfrac{1}{x}\right)' = -\dfrac{1}{x^2}$.
- **Lien avec les variations :** $f' > 0 \Rightarrow f$ croissante, $f' < 0 \Rightarrow f$ décroissante.
Exemple
Pour $f(x) = x^2$ en $a = 3$ : $f'(x) = 2x$ donne $f'(3) = 6$ et $f(3) = 9$. La tangente est $y = 6\,(x - 3) + 9 = 6x - 9$.
Piège à éviter
N'oublie pas le terme $+\,f(a)$ : la tangente est $y = f'(a)\,(x - a) + f(a)$, pas seulement $y = f'(a)\,(x - a)$.
Pour dériver une expression composée, on combine les dérivées usuelles avec quatre règles. Le **produit** et le **quotient** sont les pièges classiques : ils ne se contentent pas de dériver chaque morceau séparément.
- **Somme :** $(u + v)' = u' + v'$ et **multiple** : $(k\,u)' = k\,u'$.
- **Produit :** $(u\,v)' = u'v + uv'$ (deux termes !).
- **Quotient :** $\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$, avec $v \neq 0$.
- **Composée :** $\big(f(u)\big)' = u' \times f'(u)$. Exemple : $\big(e^{\,2x}\big)' = 2\,e^{\,2x}$.
Exemple
Dérivons $g(x) = \dfrac{2x + 1}{x - 3}$ avec $u = 2x + 1$ et $v = x - 3$ : $g'(x) = \dfrac{2(x - 3) - (2x + 1) \times 1}{(x - 3)^2} = \dfrac{-7}{(x - 3)^2}$.
Piège à éviter
$(u\,v)' \neq u'v'$ et $\left(\dfrac{u}{v}\right)' \neq \dfrac{u'}{v'}$ : ces raccourcis sont **faux**. Respecte la soustraction $u'v - uv'$ au numérateur du quotient.
Une fonction est **continue** sur un intervalle si on peut tracer sa courbe **sans lever le crayon** : aucun saut, aucun trou. La continuité est la condition d'entrée du théorème des valeurs intermédiaires.
- **Définition :** $f$ est continue en $a$ si $\lim\limits_{x \to a} f(x) = f(a)$.
- Toute fonction **dérivable** en $a$ est **continue** en $a$.
- La réciproque est fausse : $x \mapsto |x|$ est continue en $0$ mais **non dérivable** en $0$ (point anguleux).
- Les **polynômes**, fonctions **rationnelles** (sur leur domaine), $\sqrt{x}$, $e^x$, $\ln x$ sont continus sur leur domaine.
- Somme, produit, quotient (dénominateur non nul) et composée de fonctions continues sont continus.
Exemple
$f(x) = \dfrac{x^2 - 1}{x - 1}$ n'est pas définie en $1$. Mais pour $x \neq 1$, $f(x) = x + 1$, donc $\lim\limits_{x \to 1} f(x) = 2$ : on **prolonge** $f$ par continuité en posant $f(1) = 2$.
Piège à éviter
Continuité et dérivabilité ne sont **pas** synonymes : une courbe peut être continue (sans saut) tout en présentant un **point anguleux** où la dérivée n'existe pas, comme $|x|$ en $0$.
Le **théorème des valeurs intermédiaires** (TVI) est l'outil pour prouver qu'une équation $f(x) = 0$ a une solution, même sans la calculer. L'idée est intuitive : une courbe continue qui passe d'en dessous de l'axe à au-dessus doit forcément le **traverser**.
- **TVI :** si $f$ est **continue** sur $[a\,;b]$, elle prend toute valeur comprise entre $f(a)$ et $f(b)$.
- **Corollaire (cas $0$) :** si $f$ est continue et que $f(a)$ et $f(b)$ sont de **signes contraires**, il existe $c \in \,]a\,;b[$ tel que $f(c) = 0$.
- **Unicité :** si de plus $f$ est **strictement monotone** sur $[a\,;b]$, ce $c$ est **unique**.
- **Méthode par dichotomie :** on resserre l'encadrement de $c$ en coupant l'intervalle en deux à chaque étape.
Exemple
$f(x) = x^3 - 2x - 5$ est continue (polynôme). $f(2) = 8 - 4 - 5 = -1 < 0$ et $f(3) = 27 - 6 - 5 = 16 > 0$ : par le TVI, il existe $c \in \,]2\,;3[$ tel que $f(c) = 0$.
Piège à éviter
Le TVI exige la **continuité** : sur une fonction qui « saute », un changement de signe ne garantit **pas** de racine. Vérifie toujours la continuité avant de conclure.
Dériver sert surtout à **optimiser** : trouver le maximum d'un bénéfice, le minimum d'un coût. La clé est que $f$ atteint un extremum local là où $f'$ **s'annule en changeant de signe**.
- Un **extremum local** est atteint en un point où $f'$ s'annule **et change de signe**.
- $f'$ passe de $+$ à $-$ : **maximum** local ; de $-$ à $+$ : **minimum** local.
- $f'(c) = 0$ sans changement de signe : **pas** d'extremum (ex. $f(x) = x^3$ en $0$).
- **Optimisation :** pour maximiser un bénéfice $B(x) = R(x) - C(x)$, on résout $B'(x) = 0$ puis on étudie le signe de $B'$.
Exemple
Bénéfice $B(x) = -x^2 + 40x - 100$ (en milliers d'euros). $B'(x) = -2x + 40$ s'annule en $x = 20$ ; $B'$ passe de $+$ à $-$ : **maximum** en $x = 20$, avec $B(20) = -400 + 800 - 100 = 300$.
Piège à éviter
$f'(c) = 0$ ne suffit pas : il faut le **changement de signe**. Une tangente horizontale peut être un simple **point d'inflexion** (cas $x^3$ en $0$), sans extremum.
Quiz - Fonctions : dérivation et continuité
10 questions
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Questions fréquentes
Les points clés à retenir sur Fonctions : dérivation et continuité, extraits du quiz de révision.
Quelle est la dérivée de $f(x) = x^3 - 4x + 1$ ?
Réponse :
$3x^2 - 4$
On dérive terme à terme : $(x^3)' = 3x^2$, $(-4x)' = -4$, $(1)' = 0$. Donc $f'(x) = 3x^2 - 4$.
Si $f'(x) > 0$ sur un intervalle, alors $f$ y est :
Réponse :
Strictement croissante
Le signe de la dérivée donne le sens de variation : $f' > 0 \Rightarrow f$ strictement **croissante**.
L'équation de la tangente à $f(x) = x^2$ en $x = 3$ est :
Réponse :
$y = 6x - 9$
$f(3) = 9$ et $f'(x) = 2x$ donne $f'(3) = 6$. Tangente : $y = 6(x - 3) + 9 = 6x - 18 + 9 = 6x - 9$.
Une fonction dérivable en un point est-elle nécessairement continue en ce point ?
Réponse :
Oui, toujours
Toute fonction dérivable en un point y est continue. La réciproque est fausse : $|x|$ est continue en $0$ mais non dérivable.