Maths complémentaires — Analyse
Fonctions : dérivation et continuité
Rappels et approfondissements sur la dérivation, le théorème des valeurs intermédiaires et la continuité
Résumé synthétiqueFiche en 5 sectionsQuiz de 10 questionsGratuit, sans pub
Résumé
Dériver, c'est mesurer comment une fonction varie à chaque instant : le nombre dérivé $f'(a)$ est la pente de la tangente à la courbe au point d'abscisse $a$. Ce chapitre réactive les formules de dérivation de Première (puissances, produit, quotient, composée) et les met au service de l'étude des fonctions : le signe de $f'$ donne les variations de $f$, et l'annulation de $f'$ repère les extremums. On y ajoute deux notions clés de Terminale : la continuité (tracer la courbe sans lever le crayon) et le théorème des valeurs intermédiaires, qui garantit qu'une fonction continue changeant de signe s'annule au moins une fois. Exemple fil rouge : $f(x) = x^3 - 2x - 5$ vérifie $f(2) < 0$ et $f(3) > 0$, donc l'équation $f(x) = 0$ a une solution entre $2$ et $3$.
Le nombre dérivé $f'(a)$ mesure la vitesse de variation de $f$ au point d'abscisse $a$. Géométriquement, c'est le coefficient directeur de la tangente à la courbe en ce point. Un $f'(a)$ positif signale une courbe qui monte, un $f'(a)$ négatif une courbe qui descend.
- Définition : $f'(a) = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(a + h) - f(a)}{h}$, limite du taux de variation.
- Interprétation : $f'(a)$ est la pente de la tangente à la courbe au point $A\,(a\,;f(a))$.
- Équation de la tangente en $a$ : $y = f'(a)\,(x - a) + f(a)$.
- Dérivées usuelles : $(x^n)' = n\,x^{\,n-1}$, $\;(\sqrt{x})' = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$, $\;\left(\dfrac{1}{x}\right)' = -\dfrac{1}{x^2}$.
- Lien avec les variations : $f' > 0 \Rightarrow f$ croissante, $f' < 0 \Rightarrow f$ décroissante.
Exemple
Pour $f(x) = x^2$ en $a = 3$ : $f'(x) = 2x$ donne $f'(3) = 6$ et $f(3) = 9$. La tangente est $y = 6\,(x - 3) + 9 = 6x - 9$.
Piège à éviter
N'oublie pas le terme $+\,f(a)$ : la tangente est $y = f'(a)\,(x - a) + f(a)$, pas seulement $y = f'(a)\,(x - a)$.
Pour dériver une expression composée, on combine les dérivées usuelles avec quatre règles. Le produit et le quotient sont les pièges classiques : ils ne se contentent pas de dériver chaque morceau séparément.
- Somme : $(u + v)' = u' + v'$ et multiple : $(k\,u)' = k\,u'$.
- Produit : $(u\,v)' = u'v + uv'$ (deux termes !).
- Quotient : $\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$, avec $v \neq 0$.
- Composée : $\big(f(u)\big)' = u' \times f'(u)$. Exemple : $\big(e^{\,2x}\big)' = 2\,e^{\,2x}$.
Exemple
Dérivons $g(x) = \dfrac{2x + 1}{x - 3}$ avec $u = 2x + 1$ et $v = x - 3$ : $g'(x) = \dfrac{2(x - 3) - (2x + 1) \times 1}{(x - 3)^2} = \dfrac{-7}{(x - 3)^2}$.
Piège à éviter
$(u\,v)' \neq u'v'$ et $\left(\dfrac{u}{v}\right)' \neq \dfrac{u'}{v'}$ : ces raccourcis sont faux. Respecte la soustraction $u'v - uv'$ au numérateur du quotient.
Une fonction est continue sur un intervalle si on peut tracer sa courbe sans lever le crayon : aucun saut, aucun trou. La continuité est la condition d'entrée du théorème des valeurs intermédiaires.
- Définition : $f$ est continue en $a$ si $\lim\limits_{x \to a} f(x) = f(a)$.
- Toute fonction dérivable en $a$ est continue en $a$.
- La réciproque est fausse : $x \mapsto |x|$ est continue en $0$ mais non dérivable en $0$ (point anguleux).
- Les polynômes, fonctions rationnelles (sur leur domaine), $\sqrt{x}$, $e^x$, $\ln x$ sont continus sur leur domaine.
- Somme, produit, quotient (dénominateur non nul) et composée de fonctions continues sont continus.
Exemple
$f(x) = \dfrac{x^2 - 1}{x - 1}$ n'est pas définie en $1$. Mais pour $x \neq 1$, $f(x) = x + 1$, donc $\lim\limits_{x \to 1} f(x) = 2$ : on prolonge $f$ par continuité en posant $f(1) = 2$.
Piège à éviter
Continuité et dérivabilité ne sont pas synonymes : une courbe peut être continue (sans saut) tout en présentant un point anguleux où la dérivée n'existe pas, comme $|x|$ en $0$.
Le théorème des valeurs intermédiaires (TVI) est l'outil pour prouver qu'une équation $f(x) = 0$ a une solution, même sans la calculer. L'idée est intuitive : une courbe continue qui passe d'en dessous de l'axe à au-dessus doit forcément le traverser.
$f$ est continue et change de signe entre $a$ et $b$ : sa courbe traverse l'axe en un point $c$ tel que $f(c) = 0$.
- TVI : si $f$ est continue sur $[a\,;b]$, elle prend toute valeur comprise entre $f(a)$ et $f(b)$.
- Corollaire (cas $0$) : si $f$ est continue et que $f(a)$ et $f(b)$ sont de signes contraires, il existe $c \in \,]a\,;b[$ tel que $f(c) = 0$.
- Unicité : si de plus $f$ est strictement monotone sur $[a\,;b]$, ce $c$ est unique.
- Méthode par dichotomie : on resserre l'encadrement de $c$ en coupant l'intervalle en deux à chaque étape.
Exemple
$f(x) = x^3 - 2x - 5$ est continue (polynôme). $f(2) = 8 - 4 - 5 = -1 < 0$ et $f(3) = 27 - 6 - 5 = 16 > 0$ : par le TVI, il existe $c \in \,]2\,;3[$ tel que $f(c) = 0$.
Piège à éviter
Le TVI exige la continuité : sur une fonction qui « saute », un changement de signe ne garantit pas de racine. Vérifie toujours la continuité avant de conclure.
Dériver sert surtout à optimiser : trouver le maximum d'un bénéfice, le minimum d'un coût. La clé est que $f$ atteint un extremum local là où $f'$ s'annule en changeant de signe.
- Un extremum local est atteint en un point où $f'$ s'annule et change de signe.
- $f'$ passe de $+$ à $-$ : maximum local ; de $-$ à $+$ : minimum local.
- $f'(c) = 0$ sans changement de signe : pas d'extremum (ex. $f(x) = x^3$ en $0$).
- Optimisation : pour maximiser un bénéfice $B(x) = R(x) - C(x)$, on résout $B'(x) = 0$ puis on étudie le signe de $B'$.
Exemple
Bénéfice $B(x) = -x^2 + 40x - 100$ (en milliers d'euros). $B'(x) = -2x + 40$ s'annule en $x = 20$ ; $B'$ passe de $+$ à $-$ : maximum en $x = 20$, avec $B(20) = -400 + 800 - 100 = 300$.
Piège à éviter
$f'(c) = 0$ ne suffit pas : il faut le changement de signe. Une tangente horizontale peut être un simple point d'inflexion (cas $x^3$ en $0$), sans extremum.
Quiz - Fonctions : dérivation et continuité
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Questions fréquentes
Les points clés à retenir sur Fonctions : dérivation et continuité, extraits du quiz de révision.
Quelle est la dérivée de $f(x) = x^3 - 4x + 1$ ?
Réponse :
$3x^2 - 4$
On dérive terme à terme : $(x^3)' = 3x^2$, $(-4x)' = -4$, $(1)' = 0$. Donc $f'(x) = 3x^2 - 4$.
Si $f'(x) > 0$ sur un intervalle, alors $f$ y est :
Réponse :
Strictement croissante
Le signe de la dérivée donne le sens de variation : $f' > 0 \Rightarrow f$ strictement croissante.
L'équation de la tangente à $f(x) = x^2$ en $x = 3$ est :
Réponse :
$y = 6x - 9$
$f(3) = 9$ et $f'(x) = 2x$ donne $f'(3) = 6$. Tangente : $y = 6(x - 3) + 9 = 6x - 18 + 9 = 6x - 9$.
Une fonction dérivable en un point est-elle nécessairement continue en ce point ?
Réponse :
Oui, toujours
Toute fonction dérivable en un point y est continue. La réciproque est fausse : $|x|$ est continue en $0$ mais non dérivable.
La dérivée de $g(x) = \dfrac{2x + 1}{x - 3}$ est :
Réponse :
$\dfrac{-7}{(x - 3)^2}$
Formule du quotient : $g'(x) = \dfrac{2(x - 3) - (2x + 1) \times 1}{(x - 3)^2} = \dfrac{2x - 6 - 2x - 1}{(x - 3)^2} = \dfrac{-7}{(x - 3)^2}$.
Quelle est la dérivée de $h(x) = \sqrt{2x + 5}$ ?
Réponse :
$\dfrac{1}{\sqrt{2x + 5}}$
Avec $\big(\sqrt{u}\big)' = \dfrac{u'}{2\sqrt{u}}$ et $u = 2x + 5$, $u' = 2$ : $h'(x) = \dfrac{2}{2\sqrt{2x + 5}} = \dfrac{1}{\sqrt{2x + 5}}$.
Que vaut $(u\,v)'$ ?
Réponse :
$u'v + uv'$
La dérivée d'un produit est $(uv)' = u'v + uv'$ : deux termes additionnés. L'écriture $u'v'$ est fausse.
$f(x) = x^3 - 3x + 1$ est continue, $f(0) = 1$ et $f(1) = -1$. Que conclure ?
Réponse :
$f$ a une racine dans $]0\,;1[$ par le TVI
$f$ est continue et change de signe ($f(0) > 0$, $f(1) < 0$) : par le TVI, il existe $c \in \,]0\,;1[$ tel que $f(c) = 0$.
La méthode de dichotomie sert à :
Réponse :
Encadrer une racine d'une équation $f(x) = 0$
La dichotomie s'appuie sur le TVI : on coupe l'intervalle en deux à chaque étape pour encadrer de plus en plus précisément la racine.
$f(x) = x^4 - 2x^2$. Sa dérivée s'annule pour $x = $ :
Réponse :
$0$, $1$ et $-1$
$f'(x) = 4x^3 - 4x = 4x(x - 1)(x + 1)$ s'annule en $x = 0$, $x = 1$ et $x = -1$ (minimums en $\pm 1$, maximum local en $0$).