Maths complémentaires — Analyse
Calcul intégral
Primitives, intégrale d'une fonction continue, calcul d'aires et applications
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Cours de Maths complémentaires. Même notion dans une autre matière : Calcul intégral — spé Maths
Résumé
Le calcul intégral répond à deux questions : quelle aire se cache sous une courbe, et comment cumuler une grandeur qui varie ? Tout repose sur la notion de primitive : $F$ est une primitive de $f$ si $F' = f$. Le théorème fondamental relie alors primitive et aire : $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$. Si $f \geq 0$, cette intégrale est l'aire sous la courbe entre $a$ et $b$. On apprend les primitives usuelles, les propriétés de l'intégrale (linéarité, relation de Chasles, positivité), le calcul d'aires et la valeur moyenne. Exemple : $\displaystyle\int_0^2 x^2\,dx = \left[\tfrac{x^3}{3}\right]_0^2 = \tfrac{8}{3}$.
Une primitive est l'opération inverse de la dérivation : au lieu de descendre de $F$ vers $f = F'$, on remonte de $f$ vers $F$. Comme dériver une constante donne $0$, une fonction admet une infinité de primitives qui diffèrent d'une constante.
- Définition : $F$ est une primitive de $f$ sur $I$ si $F'(x) = f(x)$ pour tout $x \in I$.
- Si $F$ est une primitive, alors $F + C$ ($C$ constante) en est une aussi.
- Usuelles : $x^n \to \dfrac{x^{\,n+1}}{n + 1}$, $\;\dfrac{1}{x} \to \ln|x|$, $\;e^x \to e^x$.
- Trigo : une primitive de $\cos x$ est $\sin x$, une primitive de $\sin x$ est $-\cos x$.
- Formes composées : $u'\,e^{\,u} \to e^{\,u}$ et $\dfrac{u'}{u} \to \ln|u|$.
- Condition initiale : imposer $F(a) = b$ fixe la constante $C$.
Exemple
Cherchons la primitive $F$ de $f(x) = 3x^2$ vérifiant $F(0) = 5$. Les primitives sont $F(x) = x^3 + C$ ; or $F(0) = C = 5$, donc $F(x) = x^3 + 5$.
Piège à éviter
Une primitive de $\dfrac{1}{x}$ est $\ln|x|$ (avec valeur absolue), valable aussi pour $x < 0$. N'oublie jamais la constante $+\,C$ tant qu'aucune condition n'est imposée.
L'intégrale $\int_a^b f(x)\,dx$ se calcule à partir de n'importe quelle primitive $F$ de $f$ : on évalue $F$ aux deux bornes et on soustrait. Le résultat ne dépend pas de la constante choisie, qui s'annule dans la différence.
- Théorème fondamental : $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$, où $F' = f$.
- Notation crochet : $\big[F(x)\big]_a^b = F(b) - F(a)$.
- Conventions : $\displaystyle\int_a^a f(x)\,dx = 0$ et $\displaystyle\int_b^a f(x)\,dx = -\int_a^b f(x)\,dx$.
- Le résultat est indépendant de la primitive choisie (les constantes se simplifient).
Exemple
$\displaystyle\int_1^3 2x\,dx = \big[x^2\big]_1^3 = 3^2 - 1^2 = 9 - 1 = 8$.
Piège à éviter
L'intégrale d'une fonction qui change de signe n'est pas l'aire géométrique : les parties sous l'axe comptent négativement. Pour une aire, intègre $|f|$ ou découpe aux racines.
Trois propriétés permettent de manipuler les intégrales sans tout recalculer : la linéarité (découper en morceaux), la relation de Chasles (recoller des intervalles) et la positivité (comparer).
- Linéarité : $\displaystyle\int_a^b \big(\alpha f + \beta g\big)\,dx = \alpha\!\int_a^b f\,dx + \beta\!\int_a^b g\,dx$.
- Chasles : $\displaystyle\int_a^b f\,dx + \int_b^c f\,dx = \int_a^c f\,dx$.
- Positivité : si $f \geq 0$ sur $[a\,;b]$, alors $\displaystyle\int_a^b f\,dx \geq 0$.
- Comparaison : si $f \leq g$ sur $[a\,;b]$, alors $\displaystyle\int_a^b f\,dx \leq \int_a^b g\,dx$.
Exemple
$\displaystyle\int_0^1 (3x^2 + 2)\,dx = 3\!\int_0^1 x^2\,dx + 2\!\int_0^1 1\,dx = 3 \times \tfrac{1}{3} + 2 \times 1 = 1 + 2 = 3$.
Piège à éviter
La linéarité concerne sommes et multiples, pas les produits : $\int f\,g \neq \big(\int f\big)\big(\int g\big)$. Il n'y a pas de règle simple pour l'intégrale d'un produit.
L'interprétation reine de l'intégrale est l'aire : pour une fonction positive, $\int_a^b f$ mesure la surface comprise entre la courbe, l'axe des abscisses et les droites $x = a$ et $x = b$, en unités d'aire.
Pour $f \geq 0$, l'intégrale $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$ est l'aire de la région colorée sous la courbe, entre $x = a$ et $x = b$.
- Si $f \geq 0$ sur $[a\,;b]$ : aire $\mathcal{A} = \displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$.
- Si $f \leq 0$ : aire $\mathcal{A} = -\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx = \int_a^b |f(x)|\,dx$.
- Aire entre deux courbes ($f \geq g$) : $\mathcal{A} = \displaystyle\int_a^b \big(f(x) - g(x)\big)\,dx$.
- En cas de changement de signe, découper l'intervalle aux racines de $f$.
Exemple
Aire entre $y = x$ et $y = x^2$ sur $[0\,;1]$ : comme $x \geq x^2$, $\mathcal{A} = \displaystyle\int_0^1 (x - x^2)\,dx = \left[\tfrac{x^2}{2} - \tfrac{x^3}{3}\right]_0^1 = \tfrac{1}{2} - \tfrac{1}{3} = \tfrac{1}{6}$.
Piège à éviter
Pour une aire entre deux courbes, place toujours la courbe du haut en premier : $\int (f - g)$ avec $f \geq g$. Inverser donne une valeur négative, qui n'est pas une aire.
Au-delà des aires, l'intégrale cumule : une vitesse intégrée donne une distance, un débit intégré donne un volume. La valeur moyenne d'une fonction sur un intervalle s'en déduit directement.
- Valeur moyenne de $f$ sur $[a\,;b]$ : $\mu = \dfrac{1}{b - a}\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$.
- Physique : la distance parcourue est $d = \displaystyle\int_{t_1}^{t_2} v(t)\,dt$ (intégrale de la vitesse).
- Économie : le coût total est la primitive du coût marginal : $C(x) = \displaystyle\int_0^x C_m(t)\,dt + C(0)$.
- Une grandeur cumulée (énergie, volume écoulé) est l'intégrale de son débit instantané.
Exemple
Valeur moyenne de $f(x) = x^2$ sur $[0\,;3]$ : $\mu = \dfrac{1}{3}\displaystyle\int_0^3 x^2\,dx = \dfrac{1}{3}\left[\tfrac{x^3}{3}\right]_0^3 = \dfrac{1}{3} \times 9 = 3$.
Piège à éviter
La valeur moyenne se divise par la longueur $b - a$ de l'intervalle, pas par le nombre de bornes. Oublier ce facteur $\dfrac{1}{b - a}$ est l'erreur classique.
Quiz - Calcul intégral
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Questions fréquentes
Les points clés à retenir sur Calcul intégral, extraits du quiz de révision.
Une primitive de $f(x) = 3x^2$ est :
Réponse :
$x^3$ et $x^3 + 5$
La dérivée de $x^3$ est $3x^2$, et celle de $x^3 + 5$ aussi. Toute fonction $x^3 + C$ est primitive de $3x^2$.
$\displaystyle\int_0^1 2x\,dx = $ ?
Réponse :
$1$
Une primitive de $2x$ est $x^2$. Donc $\displaystyle\int_0^1 2x\,dx = \big[x^2\big]_0^1 = 1 - 0 = 1$.
$\displaystyle\int_1^e \dfrac{1}{x}\,dx = $ ?
Réponse :
$1$
Une primitive de $\dfrac{1}{x}$ est $\ln x$. Donc $\displaystyle\int_1^e \dfrac{1}{x}\,dx = \ln e - \ln 1 = 1 - 0 = 1$.
La valeur moyenne de $f(x) = x^2$ sur $[0\,;3]$ est :
Réponse :
$3$
$\mu = \dfrac{1}{3}\displaystyle\int_0^3 x^2\,dx = \dfrac{1}{3}\left[\tfrac{x^3}{3}\right]_0^3 = \dfrac{1}{3} \times 9 = 3$.