Maths complémentaires — Probabilités et statistiques
Probabilités et statistiques
Loi binomiale, loi normale, intervalles de confiance, estimation
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Résumé
Ce chapitre outille le hasard et les données. La loi binomiale $\mathcal{B}(n\,;p)$ compte le nombre de succès dans $n$ épreuves identiques et indépendantes : $P(X = k) = \dbinom{n}{k}\,p^{\,k}(1 - p)^{\,n-k}$, avec espérance $E(X) = np$ et écart-type $\sigma = \sqrt{np(1 - p)}$. La loi normale $\mathcal{N}(\mu\,;\sigma^2)$ est la loi continue « en cloche » qui approche la binomiale pour $n$ grand ; la loi centrée réduite $\mathcal{N}(0\,;1)$ vérifie $P(-1{,}96 \leq Z \leq 1{,}96) \approx 0{,}95$. Enfin, l'intervalle de confiance estime une proportion inconnue $p$ à partir d'une fréquence observée $f$ : $\left[\,f - 1{,}96\sqrt{\tfrac{f(1 - f)}{n}}\;;\;f + 1{,}96\sqrt{\tfrac{f(1 - f)}{n}}\,\right]$. Exemple : pour $20$ lancers d'une pièce équilibrée, $X \sim \mathcal{B}(20\,;0{,}5)$ et $E(X) = 10$.
La loi binomiale modélise la répétition d'une même expérience à deux issues (succès / échec). Dès qu'on répète $n$ fois, de façon indépendante, une épreuve de probabilité de succès $p$, le nombre de succès suit une loi $\mathcal{B}(n\,;p)$.
- Cadre : $n$ épreuves de Bernoulli indépendantes, même probabilité de succès $p$.
- Loi : $P(X = k) = \dbinom{n}{k}\,p^{\,k}\,(1 - p)^{\,n-k}$ pour $k = 0, 1, \dots, n$.
- Coefficient binomial : $\dbinom{n}{k}$ compte les façons de placer $k$ succès parmi $n$ épreuves.
- Espérance : $E(X) = np$. Variance : $V(X) = np(1 - p)$. Écart-type : $\sigma = \sqrt{np(1 - p)}$.
- Calculatrice : binomFdp$(n, p, k)$ pour $P(X = k)$, binomFRép$(n, p, k)$ pour $P(X \leq k)$.
Exemple
On lance $10$ fois un dé, succès $=$ obtenir un $6$ ($p = \tfrac{1}{6}$). Alors $P(X = 2) = \dbinom{10}{2}\left(\tfrac{1}{6}\right)^2\left(\tfrac{5}{6}\right)^8 \approx 0{,}29$.
Piège à éviter
La loi binomiale exige des épreuves indépendantes et de même probabilité $p$. Un tirage sans remise change $p$ à chaque étape : ce n'est plus une loi binomiale.
Approfondissement hors programme : la loi normale ne figure pas au programme de 2019 de maths complémentaires (seules les lois uniforme et exponentielle y sont au programme parmi les lois à densité). La loi normale décrit les grandeurs continues qui se regroupent autour d'une moyenne : tailles, erreurs de mesure, moyennes d'échantillons. Sa courbe en cloche est symétrique par rapport à l'espérance $\mu$, et sa largeur est réglée par l'écart-type $\sigma$.
La courbe de $\mathcal{N}(\mu\,;\sigma^2)$ est symétrique autour de $\mu$ ; environ $95\,\%$ des valeurs tombent dans $[\mu - 2\sigma\,;\mu + 2\sigma]$.
- $\mathcal{N}(\mu\,;\sigma^2)$ a une courbe en cloche symétrique par rapport à $\mu$ (l'espérance).
- Centrer-réduire : si $X \sim \mathcal{N}(\mu\,;\sigma^2)$, alors $Z = \dfrac{X - \mu}{\sigma} \sim \mathcal{N}(0\,;1)$.
- Loi centrée réduite : $P(-1{,}96 \leq Z \leq 1{,}96) \approx 0{,}95$.
- Règle $68$–$95$–$99{,}7$ : $\approx 68\,\%$ dans $[\mu - \sigma\,;\mu + \sigma]$, $\approx 95\,\%$ dans $[\mu - 2\sigma\,;\mu + 2\sigma]$.
- Approximation : pour $n$ grand avec $np \geq 5$ et $n(1 - p) \geq 5$, $\mathcal{B}(n\,;p) \approx \mathcal{N}\big(np\,;\,np(1 - p)\big)$.
Exemple
Si $X \sim \mathcal{N}(100\,;\,5^2)$, alors $P(90 \leq X \leq 110) = P(-2 \leq Z \leq 2) \approx 0{,}95$ : environ $95\,\%$ des valeurs sont à moins de $2\sigma = 10$ de la moyenne.
Piège à éviter
Attention à la notation : $\mathcal{N}(\mu\,;\sigma^2)$ utilise la variance $\sigma^2$, pas l'écart-type. Pour $\mathcal{N}(100\,;25)$, l'écart-type est $\sigma = \sqrt{25} = 5$.
Approfondissement : l'approximation par la loi normale utilisée ci-dessous n'est pas au programme de maths complémentaires, qui se contente d'observer cette fluctuation par simulation. Quand on sonde un échantillon, la fréquence observée $f$ varie d'un échantillon à l'autre autour de la vraie proportion $p$ : c'est la fluctuation d'échantillonnage. Plus l'échantillon est grand, plus $f$ se rapproche de $p$.
- Un échantillon de taille $n$ fournit une fréquence $f = \dfrac{\text{nombre de succès}}{n}$.
- $f$ est une variable aléatoire d'espérance $p$ et d'écart-type $\sqrt{\dfrac{p(1 - p)}{n}}$.
- Pour $n$ grand, $f$ suit approximativement $\mathcal{N}\!\left(p\,;\dfrac{p(1 - p)}{n}\right)$.
- Loi des grands nombres : plus $n$ augmente, plus $f$ se rapproche de la probabilité $p$.
Exemple
Pour une pièce équilibrée ($p = 0{,}5$) et $n = 100$ lancers, $f$ a pour écart-type $\sqrt{\dfrac{0{,}5 \times 0{,}5}{100}} = 0{,}05$ : la fréquence de Pile fluctue autour de $0{,}5$ à environ $\pm 0{,}1$ près.
Piège à éviter
L'écart-type de la fréquence décroît en $\dfrac{1}{\sqrt{n}}$, pas en $\dfrac{1}{n}$ : pour diviser par $2$ l'incertitude, il faut multiplier par $4$ la taille de l'échantillon.
Approfondissement hors programme : l'intervalle de confiance ci-dessous (avec le coefficient $1{,}96$) ne figure pas dans les contenus du programme de 2019 de maths complémentaires, qui évoque seulement la fourchette de sondage. L'intervalle de confiance renverse la question : à partir d'une fréquence $f$ observée sur un échantillon, on encadre la proportion inconnue $p$ de toute la population, avec un niveau de confiance de $95\,\%$.
- IC à $95\,\%$ : $\left[\,f - 1{,}96\sqrt{\dfrac{f(1 - f)}{n}}\;;\;f + 1{,}96\sqrt{\dfrac{f(1 - f)}{n}}\,\right]$.
- Interprétation : en répétant l'expérience, environ $95\,\%$ des intervalles ainsi construits contiennent la vraie valeur $p$.
- Marge d'erreur : $e = 1{,}96\sqrt{\dfrac{f(1 - f)}{n}}$ ; elle diminue quand $n$ augmente.
- Taille nécessaire : pour une marge $e$, $n \geq \dfrac{(1{,}96)^2}{4\,e^2}$ (majorant avec $f(1 - f) \leq \tfrac{1}{4}$).
Exemple
Sur $400$ personnes, $220$ sont favorables : $f = 0{,}55$. Marge $e = 1{,}96\sqrt{\dfrac{0{,}55 \times 0{,}45}{400}} \approx 0{,}049$. IC $\approx [0{,}501\,;0{,}599]$.
Piège à éviter
Un IC à $95\,\%$ ne signifie pas que « $p$ a $95\,\%$ de chances d'être dans cet intervalle » : $p$ est fixe. C'est la méthode qui réussit dans $95\,\%$ des échantillons.
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Questions fréquentes
Les points clés à retenir sur Probabilités et statistiques, extraits du quiz de révision.
$X \sim \mathcal{B}(10\,;0{,}3)$. Que vaut $E(X)$ ?
Réponse :
$3$
L'espérance d'une loi binomiale $\mathcal{B}(n\,;p)$ est $E(X) = np = 10 \times 0{,}3 = 3$.
$P(X = k)$ pour $X \sim \mathcal{B}(n\,;p)$ vaut :
Réponse :
$\dbinom{n}{k}\,p^{\,k}\,(1 - p)^{\,n-k}$
La loi binomiale donne $P(X = k) = \dbinom{n}{k}\,p^{\,k}\,(1 - p)^{\,n-k}$.
Pour $\mathcal{N}(0\,;1)$, $P(-1{,}96 \leq Z \leq 1{,}96) \approx $ ?
Réponse :
$0{,}95$
Résultat classique : environ $95\,\%$ des valeurs d'une loi normale centrée réduite sont dans $[-1{,}96\,;1{,}96]$.
L'écart-type de $X \sim \mathcal{B}(20\,;0{,}5)$ est :
Réponse :
$\sqrt{5} \approx 2{,}24$
$\sigma = \sqrt{np(1 - p)} = \sqrt{20 \times 0{,}5 \times 0{,}5} = \sqrt{5} \approx 2{,}24$.