Maths complémentaires — Probabilités et statistiques
Probabilités conditionnelles et indépendance
Probabilité conditionnelle, formule de Bayes, indépendance, arbres pondérés
Résumé synthétiqueFiche en 5 sectionsQuiz de 10 questionsGratuit, sans pub
Résumé
Les **probabilités conditionnelles** mesurent la probabilité d'un événement **sachant** qu'un autre est réalisé : $P_B(A) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}$. L'**arbre pondéré** organise les données et fournit deux règles d'or : on **multiplie** le long d'un chemin, on **additionne** les chemins menant à un même événement (formule des **probabilités totales**). La formule de **Bayes** inverse le conditionnement et donne $P_A(B)$ à partir de $P_B(A)$. Deux événements sont **indépendants** si $P(A \cap B) = P(A)\,P(B)$. Application spectaculaire : un test médical de sensibilité $95\,\%$ et de spécificité $90\,\%$, pour une maladie rare ($1\,\%$ de la population), ne donne qu'environ $8{,}8\,\%$ de probabilité d'être réellement malade après un test positif — le **paradoxe des faux positifs**.
Conditionner, c'est **réduire l'univers** : on ne regarde plus que les cas où $B$ s'est produit, et on y mesure la part de $A$. La probabilité de $A$ **sachant** $B$ se note $P_B(A)$.
- **Définition :** $P_B(A) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}$, avec $P(B) > 0$.
- **Conséquence :** $P(A \cap B) = P(B)\,P_B(A) = P(A)\,P_A(B)$.
- **Attention au sens :** en général $P_B(A) \neq P_A(B)$.
- Une probabilité conditionnelle vérifie les **mêmes règles** qu'une probabilité ordinaire (comprise entre $0$ et $1$).
Exemple
Dans une classe, $P(\text{fille}) = 0{,}6$ et $P(\text{fille} \cap \text{DP}) = 0{,}45$. La probabilité d'être demi-pensionnaire **sachant** que c'est une fille : $P_{\text{fille}}(\text{DP}) = \dfrac{0{,}45}{0{,}6} = 0{,}75$.
Piège à éviter
Ne confonds pas $P_B(A)$ et $P_A(B)$ : $P(\text{malade} \mid \text{test}+)$ et $P(\text{test}+ \mid \text{malade})$ sont **très** différents. C'est tout l'enjeu de la formule de Bayes.
L'**arbre pondéré** est l'outil visuel des probabilités conditionnelles : chaque branche porte une probabilité, et la structure rend les calculs presque automatiques.
- **Règle du produit :** la probabilité d'un chemin est le **produit** des probabilités des branches parcourues.
- $P(A \cap B)$ est la probabilité du chemin passant par $A$ puis $B$.
- La somme des probabilités des branches **issues d'un même nœud** vaut $1$.
- La somme des probabilités de **toutes les feuilles** vaut $1$.
Exemple
Avec $P(A) = 0{,}3$ puis $P_A(B) = 0{,}8$ : le chemin $A$ puis $B$ a pour probabilité $P(A \cap B) = 0{,}3 \times 0{,}8 = 0{,}24$.
Piège à éviter
Sur les branches d'un arbre figurent des probabilités **conditionnelles** (sauf au premier niveau). Pour $P(A \cap B)$, multiplie par $P_A(B)$ porté par la branche, pas par $P(B)$ « brut ».
Quand un événement $A$ peut survenir via plusieurs « chemins » (selon que $B$ ou $\overline{B}$ se produit), on **additionne** ces chemins : c'est la formule des probabilités totales.
- On suppose que $B_1, B_2, \dots, B_n$ forment une **partition** de l'univers (cas incompatibles couvrant tout).
- Alors $P(A) = P(A \cap B_1) + \dots + P(A \cap B_n)$.
- Soit $P(A) = P(B_1)\,P_{B_1}(A) + \dots + P(B_n)\,P_{B_n}(A)$.
- **Cas à deux branches :** $P(A) = P(B)\,P_B(A) + P(\overline{B})\,P_{\overline{B}}(A)$.
Exemple
Une usine a deux machines : $M_1$ produit $60\,\%$ des pièces avec $5\,\%$ de défauts, $M_2$ les $40\,\%$ restants avec $2\,\%$ de défauts. Alors $P(D) = 0{,}6 \times 0{,}05 + 0{,}4 \times 0{,}02 = 0{,}03 + 0{,}008 = 0{,}038$.
Piège à éviter
Les événements de la partition doivent être **incompatibles** et **couvrir tout** l'univers (réunion $= \Omega$). Sinon la somme des chemins ne reconstitue pas $P(A)$.
La formule de **Bayes** répond à la question inversée : connaissant le résultat ($A$), quelle est la probabilité de la cause ($B_i$) ? Elle est au cœur du diagnostic médical et de la détection.
- **Formule :** $P_A(B_i) = \dfrac{P(B_i)\,P_{B_i}(A)}{P(A)}$ — inverse le sens du conditionnement.
- On calcule le **dénominateur** $P(A)$ par la formule des probabilités totales.
- **Utilité :** passer de $P_{B_i}(A)$ (connu) à $P_A(B_i)$ (cherché).
Exemple
Test : sensibilité $P_M(T^+) = 0{,}95$, spécificité $0{,}90$ (donc $P_{\overline{M}}(T^+) = 0{,}10$), prévalence $P(M) = 0{,}01$. Alors $P_{T^+}(M) = \dfrac{0{,}01 \times 0{,}95}{0{,}01 \times 0{,}95 + 0{,}99 \times 0{,}10} \approx 0{,}088$, soit $8{,}8\,\%$.
Piège à éviter
Un test « fiable à $95\,\%$ » ne signifie **pas** $95\,\%$ de chances d'être malade après un test positif. Quand la maladie est **rare**, les **faux positifs** dominent : d'où ce $8{,}8\,\%$ contre-intuitif.
Deux événements sont **indépendants** quand la réalisation de l'un **n'apporte aucune information** sur l'autre. C'est une notion à ne pas confondre avec l'incompatibilité.
- **Définition :** $A$ et $B$ sont indépendants si $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$.
- **Équivalent :** $P_B(A) = P(A)$ — savoir $B$ ne change pas la probabilité de $A$.
- Si $A$ et $B$ sont indépendants, alors $A$ et $\overline{B}$, $\overline{A}$ et $B$, $\overline{A}$ et $\overline{B}$ le sont aussi.
- **$n$ épreuves indépendantes** de probabilité $p$ : $P(n \text{ succès}) = p^{\,n}$.
Exemple
On lance une pièce $3$ fois (lancers indépendants, $P(\text{Pile}) = \tfrac{1}{2}$). La probabilité d'obtenir $3$ Piles est $\left(\tfrac{1}{2}\right)^3 = \tfrac{1}{8}$.
Piège à éviter
**Indépendance $\neq$ incompatibilité.** Deux événements incompatibles de probabilités non nulles ($A \cap B = \varnothing$) ne sont **jamais** indépendants, car $P(A \cap B) = 0 \neq P(A)\,P(B)$.
Quiz - Probabilités conditionnelles et indépendance
10 questions
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Questions fréquentes
Les points clés à retenir sur Probabilités conditionnelles et indépendance, extraits du quiz de révision.
$P_B(A)$ se calcule par :
Réponse :
$\dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}$
Par définition, $P_B(A) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}$ : probabilité de $A$ sachant que $B$ est réalisé.
Dans un arbre pondéré, la probabilité d'un chemin se calcule en :
Réponse :
Multipliant les probabilités des branches du chemin
On **multiplie** les probabilités le long des branches pour obtenir la probabilité du chemin (intersection).
Si $P(A) = 0{,}3$, $P(B) = 0{,}4$ et $A$, $B$ sont indépendants, alors $P(A \cap B) = $ ?
Réponse :
$0{,}12$
Indépendance : $P(A \cap B) = P(A) \times P(B) = 0{,}3 \times 0{,}4 = 0{,}12$.
La formule des probabilités totales avec $B$ et $\overline{B}$ donne :
Réponse :
$P(A) = P(B)\,P_B(A) + P(\overline{B})\,P_{\overline{B}}(A)$
Avec la partition $\{B, \overline{B}\}$ : $P(A) = P(B)\,P_B(A) + P(\overline{B})\,P_{\overline{B}}(A)$.