Intégrale
Définition
Opération mathématique qui calcule l'aire sous la courbe d'une fonction entre deux bornes, généralisant la notion de somme continue.
Explication
L'intégrale de a à b de f(x)dx représente l'aire algébrique entre la courbe de f, l'axe des abscisses et les droites x = a et x = b. Le théorème fondamental de l'analyse lie intégrale et dérivée : si F est une primitive de f, alors ∫(a→b) f(x)dx = F(b) - F(a). C'est l'opération inverse de la dérivation.
Exemples
- 1
∫(0→1) x² dx = [x³/3](0→1) = 1/3 — aire sous la parabole entre 0 et 1.
- 2
∫(0→1) eˣ dx = [eˣ](0→1) = e - 1 ≈ 1,718.
- 3
Application : calculer la distance parcourue à partir de la vitesse — d = ∫ v(t) dt.
L'essentiel à retenir
- Linéarité : ∫(a→b) (f + g) = ∫(a→b) f + ∫(a→b) g et ∫(a→b) k × f = k × ∫(a→b) f.
- Relation de Chasles : ∫(a→b) f + ∫(b→c) f = ∫(a→c) f.
- Si f ≥ 0 sur [a ; b] avec a ≤ b, alors ∫(a→b) f ≥ 0 (positivité).
- La valeur moyenne de f sur [a ; b] est μ = (1/(b − a)) × ∫(a→b) f(x) dx.
Erreurs fréquentes
- Oublier qu'une intégrale est une aire algébrique : si f est négative sur l'intervalle, l'intégrale est négative, et l'aire géométrique vaut son opposé.
- Intégrer e^(2x) en e^(2x) : une primitive est e^(2x)/2 ; vérifie toujours ta primitive en la dérivant.
- Calculer F(a) − F(b) au lieu de F(b) − F(a), ou oublier l'unité : une aire se donne en unités d'aire (u.a.), à convertir si le repère a des unités en cm.
Intégrale au bac
En Terminale, l'intégrale tombe sous trois formes : calcul exact avec une primitive, aire entre deux courbes et intégrale d'une suite (uₙ = ∫(0→1) …) dont on étudie le sens de variation. Pour une aire entre les courbes de f et g, la méthode attendue est de justifier d'abord que f ≥ g sur [a ; b] (étude du signe de f − g), puis de calculer ∫(a→b) (f − g). Le correcteur vérifie la primitive écrite entre crochets [F(x)] avant le calcul, le résultat exact puis, si on le demande, sa valeur approchée avec l'unité.
Questions fréquentes
Comment calculer une intégrale ?
Trouve une primitive F de f, écris [F(x)] entre a et b, puis calcule F(b) − F(a). Par exemple ∫(1→2) 2x dx = [x²] entre 1 et 2 = 4 − 1 = 3.
Quelle est la différence entre une intégrale et une primitive ?
Une primitive est une fonction F telle que F' = f ; une intégrale est un nombre, obtenu comme F(b) − F(a).
Comment calculer l'aire entre deux courbes ?
Si f(x) ≥ g(x) sur [a ; b], l'aire entre les deux courbes vaut ∫(a→b) (f(x) − g(x)) dx, en unités d'aire.
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