Fonction exponentielle
Définition
Fonction notée exp(x) ou eˣ, unique fonction égale à sa propre dérivée et valant 1 en 0, de base e ≈ 2,718.
Explication
La fonction exponentielle est strictement positive, strictement croissante sur ℝ et tend vers +∞ plus vite que tout polynôme. Propriétés fondamentales : eᵃ⁺ᵇ = eᵃ × eᵇ, e⁻ˣ = 1/eˣ, (eˣ)' = eˣ. Elle modélise la croissance exponentielle (populations, intérêts composés) et la décroissance radioactive.
Exemples
- 1
e⁰ = 1, e¹ ≈ 2,718, e² ≈ 7,389.
- 2
Croissance bactérienne : N(t) = N₀ × e^(kt) — le nombre double à intervalles réguliers.
- 3
(eˣ)' = eˣ — la fonction exponentielle est sa propre dérivée, propriété unique.
L'essentiel à retenir
- Pour tous réels a et b, eᵃ = eᵇ équivaut à a = b, et eᵃ < eᵇ équivaut à a < b : on peut « enlever » l'exponentielle des deux côtés.
- Limites : eˣ tend vers 0 en −∞ et vers +∞ en +∞ ; par croissances comparées, eˣ/x tend vers +∞ et x × eˣ tend vers 0 en −∞.
- Pour toute fonction u dérivable, (e^u)' = u' × e^u, et e^u(x) est toujours strictement positif.
- (eᵃ)ⁿ = e^(na) et eᵃ/eᵇ = e^(a − b).
Erreurs fréquentes
- Écrire e^(a + b) = eᵃ + eᵇ : c'est un produit, e^(a + b) = eᵃ × eᵇ.
- Chercher des solutions à eˣ = 0 ou eˣ = −2 : une exponentielle est strictement positive, ces équations n'ont aucune solution.
- Confondre e^(x²) et (eˣ)² : la seconde vaut e^(2x), la première non. De même, la dérivée de e^(−x) est −e^(−x), le signe moins ne disparaît pas.
Fonction exponentielle au bac
Au bac, l'exponentielle apparaît dans les études de fonctions du type f(x) = (ax + b)e^(kx). La méthode attendue : dériver avec (uv)' puis factoriser par l'exponentielle, par exemple f'(x) = (…)eˣ, et justifier que eˣ > 0 pour ne garder que le signe du facteur restant. Le correcteur regarde cette justification et le calcul des limites, où l'on doit citer les croissances comparées. Les équations comme e^(2x) − 3eˣ + 2 = 0 se traitent en posant X = eˣ pour se ramener au second degré, sans oublier de vérifier X > 0.
Questions fréquentes
Comment résoudre une équation avec une exponentielle ?
Isole l'exponentielle, puis applique ln des deux côtés : eˣ = 5 donne x = ln 5. Si l'équation s'écrit eᵃ = eᵇ, conclus directement a = b.
Quelle est la différence entre eˣ et exp(x) ?
Aucune : ce sont deux notations de la même fonction. La notation eˣ rappelle qu'elle se manipule comme une puissance.
Combien vaut e ?
e ≈ 2,718. C'est la valeur de la fonction exponentielle en 1 ; c'est un nombre irrationnel, donc on garde e dans les calculs exacts.
Les chapitres où réviser Fonction exponentielle
Notions liées
Révise Fonction exponentielle dans le programme
Toutes les définitions en Mathématiques
Retrouve toutes les notions clés de Mathématiques pour le Bac.
Voir le glossaire Mathématiques