Logarithme népérien
Définition
Fonction réciproque de la fonction exponentielle, notée ln(x), définie pour tout x strictement positif, telle que ln(eˣ) = x.
Explication
Le logarithme népérien transforme les produits en sommes : ln(a × b) = ln(a) + ln(b), et les puissances en produits : ln(aⁿ) = n × ln(a). Sa dérivée est (ln x)' = 1/x. Il tend vers +∞ quand x → +∞ mais croît très lentement. ln(1) = 0 et ln(e) = 1. Il est essentiel pour résoudre les équations exponentielles.
Exemples
- 1
ln(e) = 1, ln(1) = 0, ln(e²) = 2.
- 2
Résoudre eˣ = 5 → x = ln(5) ≈ 1,609.
- 3
ln(a × b) = ln(a) + ln(b) — propriété fondamentale pour simplifier les calculs.
L'essentiel à retenir
- Pour a > 0 et b > 0 : ln(a/b) = ln a − ln b, ln(1/a) = −ln a et ln(√a) = ½ ln a.
- e^(ln x) = x pour tout x > 0, et ln(eˣ) = x pour tout réel x.
- ln x < 0 si 0 < x < 1, ln x > 0 si x > 1 : le signe du logarithme se lit par rapport à 1.
- Limites : ln x tend vers −∞ quand x tend vers 0 par valeurs positives, et (ln x)/x tend vers 0 en +∞ (croissances comparées).
Erreurs fréquentes
- Écrire ln(a + b) = ln a + ln b : c'est ln(a × b) qui vaut ln a + ln b ; ln(a + b) ne se simplifie pas.
- Oublier le domaine avant de résoudre : pour ln(x − 1) = 2, il faut d'abord x > 1, puis vérifier que la solution x = e² + 1 appartient bien au domaine.
- Ne pas inverser l'inégalité en divisant par un ln négatif : pour résoudre 0,8ⁿ < 0,1, on obtient n × ln 0,8 < ln 0,1, puis n > ln 0,1 / ln 0,8, car ln 0,8 < 0.
Logarithme népérien au bac
Au bac, le logarithme sert d'abord d'outil pour résoudre des équations et inéquations, notamment pour trouver le rang à partir duquel une suite géométrique dépasse un seuil. Il apparaît aussi dans des études de fonctions comme f(x) = x − ln x, où l'on dérive avec (ln x)' = 1/x. Le correcteur vérifie que tu poses la condition d'existence (argument strictement positif), que tu justifies chaque changement de sens d'inégalité par le signe du ln, et que tu donnes une valeur exacte avant l'arrondi. Pour un seuil, la réponse attendue est un entier : le premier n qui convient.
Questions fréquentes
Comment résoudre ln(x) = a ?
Applique l'exponentielle des deux côtés : ln x = a équivaut à x = eᵃ. Par exemple, ln x = 3 donne x = e³ ≈ 20,09.
Quelle est la différence entre ln et log ?
ln est le logarithme népérien, de base e ; log désigne en général le logarithme décimal, de base 10, avec log x = ln x / ln 10. C'est log qu'on utilise en chimie pour le pH.
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