Maths (Spé) — Analyse
Logarithme népérien
Définition, propriétés algébriques, dérivation, équations et inéquations logarithmiques
Résumé synthétiqueFiche en 4 sectionsQuiz de 15 questionsGratuit, sans pub
Résumé
Le logarithme népérien $\ln$ est la fonction réciproque de l'exponentielle : ce que $e^x$ construit, $\ln$ le défait. Défini sur $]0\,;+\infty[$, il est gouverné par l'équivalence clé $y = \ln x \Leftrightarrow x = e^y$, avec ses deux valeurs phares $\ln 1 = 0$ et $\ln e = 1$. Sa magie : il transforme les produits en sommes ($\ln(ab) = \ln a + \ln b$), les quotients en différences et les puissances en produits ($\ln(a^n) = n\ln a$) — c'est l'outil qui « casse » les exposants et résout les équations où l'inconnue est en puissance. Sa dérivée est d'une simplicité redoutable : $(\ln x)' = \dfrac{1}{x}$, et plus généralement $(\ln u)' = \dfrac{u'}{u}$. Strictement croissante, $\ln$ passe de $-\infty$ (en $0^+$) à $+\infty$, mais grimpe très lentement : par croissances comparées, il est battu par toute puissance de $x$. De la décroissance radioactive au temps de doublement d'un capital, le logarithme est partout où l'on cherche un exposant inconnu.
Le logarithme népérien répond à la question « à quelle puissance faut-il élever $e$ pour obtenir $x$ ? ». C'est la fonction réciproque de l'exponentielle : $\ln$ et $\exp$ s'annulent mutuellement. Cette dualité permet de résoudre toutes les équations où l'inconnue se cache dans un exposant.
La courbe de $\ln$ part de $-\infty$ en $0^+$ (asymptote verticale $x = 0$), s'annule en $x = 1$ et croît lentement vers $+\infty$.
- Domaine : $\ln$ est défini sur $]0\,;+\infty[$ — il n'existe pas pour $x \leq 0$.
- Définition : $y = \ln x \Leftrightarrow x = e^y$ (pour $x > 0$). C'est la « question inverse » de l'exponentielle.
- Relation fondamentale : $\ln(e^x) = x$ pour tout $x \in \mathbb{R}$, et $e^{\ln x} = x$ pour tout $x > 0$.
- Valeurs remarquables : $\ln 1 = 0$ (car $e^0 = 1$), $\ln e = 1$, $\ln(e^2) = 2$, $\ln\!\left(\dfrac{1}{e}\right) = -1$.
- Conséquence : $\ln x = k \Leftrightarrow x = e^k$, et $e^x = k$ (avec $k > 0$) $\Leftrightarrow x = \ln k$.
Exemple
Résolvons $e^x = 5$. On applique $\ln$ aux deux membres : $\ln(e^x) = \ln 5$, donc $x = \ln 5 \approx 1{,}61$. Réciproquement, $\ln x = 3 \Leftrightarrow x = e^3 \approx 20{,}1$. Le $\ln$ « descend » l'inconnue de l'exposant.
Piège à éviter
$\ln x$ n'existe que pour $x > 0$. Avant de résoudre une équation avec $\ln$, écris toujours la condition d'existence sur l'argument : oublier que $\ln(-2)$ n'a pas de sens fait perdre des points et accepter de fausses solutions.
Toute la puissance du logarithme tient dans trois règles : il transforme les produits en sommes, les quotients en différences et les puissances en produits. C'est ce qui permet de simplifier des expressions monstrueuses et de résoudre les équations où l'inconnue est en exposant.
- Produit $\to$ somme : $\ln(a \times b) = \ln a + \ln b$ (pour $a, b > 0$).
- Quotient $\to$ différence : $\ln\!\left(\dfrac{a}{b}\right) = \ln a - \ln b$ ; en particulier $\ln\!\left(\dfrac{1}{a}\right) = -\ln a$.
- Puissance $\to$ produit : $\ln(a^n) = n \ln a$ — le $\ln$ « fait descendre » l'exposant.
- Racine : $\ln(\sqrt{a}) = \dfrac{1}{2}\ln a$ (cas $n = \frac{1}{2}$).
- Erreur interdite : $\ln(a + b) \neq \ln a + \ln b$ — le $\ln$ ne se distribue que sur les produits, jamais sur les sommes.
Exemple
Simplifions $\ln 8$ : $\ln 8 = \ln(2^3) = 3\ln 2$. Et $\ln(\sqrt{e}) = \dfrac{1}{2}\ln e = \dfrac{1}{2}$. Pour résoudre $\ln(x^2) = 4$ avec $x > 0$ : $2\ln x = 4 \Rightarrow \ln x = 2 \Rightarrow x = e^2$.
Piège à éviter
Les deux pièges les plus fréquents au bac : $\ln(a + b) \neq \ln a + \ln b$ et $\ln(a \times b) \neq \ln a \times \ln b$. La somme se transforme en produit à l'intérieur : $\ln a + \ln b = \ln(ab)$, pas l'inverse.
La dérivée du logarithme est l'une des plus simples du programme : $(\ln x)' = \dfrac{1}{x}$. Combinée à la formule composée $(\ln u)' = \dfrac{u'}{u}$, elle fait de $\ln$ un outil central pour l'étude de fonctions. Comme cette dérivée est positive, $\ln$ est strictement croissante.
- Dérivée de référence : $(\ln x)' = \dfrac{1}{x}$ pour $x > 0$.
- Dérivée composée : si $u(x) > 0$, alors $(\ln u)' = \dfrac{u'}{u}$ — formule essentielle, omniprésente en exercice.
- Croissance : $\dfrac{1}{x} > 0$ sur $]0\,;+\infty[$, donc $\ln$ est strictement croissante.
- Comparaison : $\ln a < \ln b \Leftrightarrow a < b$ et $\ln a = \ln b \Leftrightarrow a = b$ (pour $a, b > 0$) — on peut « passer au $\ln$ » sans changer le sens d'une inégalité.
- Variations : $\ln$ croît de $-\infty$ (en $0^+$) à $+\infty$, en s'annulant en $x = 1$.
Exemple
Soit $f(x) = \ln(x^2 + 1)$, définie sur $\mathbb{R}$ car $x^2 + 1 > 0$. Avec $u = x^2 + 1$ et $u' = 2x$ : $f'(x) = \dfrac{u'}{u} = \dfrac{2x}{x^2 + 1}$. Le signe de $f'$ est celui de $2x$ : $f$ décroît sur $]-\infty\,;0]$ puis croît sur $[0\,;+\infty[$.
Piège à éviter
Avant d'appliquer $(\ln u)' = \dfrac{u'}{u}$, vérifie que $u > 0$ sur l'intervalle d'étude (condition d'existence de $\ln u$). Et n'oublie pas le $u'$ au numérateur : $(\ln(3x))' = \dfrac{3}{3x}$, pas $\dfrac{1}{3x}$.
Aux bornes de son domaine, $\ln$ atteint $\pm\infty$, mais sa croissance vers $+\infty$ est extraordinairement lente : $\ln(1000) \approx 6{,}9$ seulement. Les croissances comparées quantifient cette lenteur et servent à lever les formes indéterminées mêlant $\ln$.
- Aux bornes : $\lim\limits_{x \to 0^+} \ln x = -\infty$ (asymptote verticale $x = 0$) et $\lim\limits_{x \to +\infty} \ln x = +\infty$.
- Croissance comparée : $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\ln x}{x} = 0$, et plus généralement $\dfrac{\ln x}{x^n} \to 0$ pour tout $n > 0$ — $\ln$ est battu par toute puissance.
- Au voisinage de $0$ : $\lim\limits_{x \to 0^+} x^n \ln x = 0$ pour tout $n > 0$ — résultat à connaître par cœur.
- Conséquence : même $\dfrac{(\ln x)^2}{x} \to 0$ en $+\infty$.
- Astuce : pour lever une FI avec $\ln$, poser $t = \ln x$ (alors $x = e^t$) ramène souvent à une croissance comparée connue avec l'exponentielle.
Exemple
Étudions $f(x) = x \ln x$ près de $0^+$. C'est une FI $0 \times (-\infty)$, mais par croissances comparées $\lim\limits_{x \to 0^+} x \ln x = 0$. On peut donc prolonger $f$ par continuité en posant $f(0) = 0$.
Piège à éviter
Ne conclus pas trop vite à $-\infty$ pour $x \ln x$ en $0^+$ sous prétexte que $\ln x \to -\infty$ : c'est une forme indéterminée, et la puissance $x$ l'emporte. La limite vaut $0$, pas $-\infty$.
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Questions fréquentes
Les points clés à retenir sur Logarithme népérien, extraits du quiz de révision.
Que vaut $\ln 1$ ?
Réponse :
$0$
$\ln 1 = 0$ car $e^0 = 1$. La courbe de $\ln$ coupe l'axe des abscisses en $(1\,;0)$ : $1$ est le seul nombre dont le logarithme népérien est nul.
Que vaut $\ln e$ ?
Réponse :
$1$
$\ln e = 1$ car $e^1 = e$. La relation $\ln(e^x) = x$ donne $\ln(e^1) = 1$ : « le logarithme de la base vaut $1$ ». De même $\ln(e^2) = 2$.
Que vaut $\ln(a \times b)$ (pour $a, b > 0$) ?
Réponse :
$\ln a + \ln b$
Le logarithme transforme un produit en somme : $\ln(ab) = \ln a + \ln b$, hérité de $e^{a+b} = e^a \times e^b$. Piège classique : $\ln(a + b) \neq \ln a + \ln b$.
La dérivée de $\ln x$ est :
Réponse :
$\dfrac{1}{x}$
$(\ln x)' = \dfrac{1}{x}$ pour $x > 0$. Plus généralement $(\ln u)' = \dfrac{u'}{u}$. Comme $\dfrac{1}{x} > 0$, cela confirme que $\ln$ est strictement croissante.