Maths (Spé) — Analyse
Logarithme népérien
Définition, propriétés algébriques, dérivation, équations et inéquations logarithmiques
Résumé synthétiqueFiche en 4 sectionsQuiz de 15 questionsGratuit, sans pub
Résumé
Le **logarithme népérien** $\ln$ est la fonction **réciproque** de l'exponentielle : ce que $e^x$ construit, $\ln$ le défait. Défini sur $]0\,;+\infty[$, il est gouverné par l'équivalence clé $y = \ln x \Leftrightarrow x = e^y$, avec ses deux valeurs phares $\ln 1 = 0$ et $\ln e = 1$. Sa magie : il **transforme les produits en sommes** ($\ln(ab) = \ln a + \ln b$), les quotients en différences et les puissances en produits ($\ln(a^n) = n\ln a$) — c'est l'outil qui « casse » les exposants et résout les équations où l'inconnue est en puissance. Sa dérivée est d'une simplicité redoutable : $(\ln x)' = \dfrac{1}{x}$, et plus généralement $(\ln u)' = \dfrac{u'}{u}$. Strictement **croissante**, $\ln$ passe de $-\infty$ (en $0^+$) à $+\infty$, mais grimpe **très lentement** : par croissances comparées, il est battu par toute puissance de $x$. De la décroissance radioactive au temps de doublement d'un capital, le logarithme est partout où l'on cherche un exposant inconnu.
Le logarithme népérien répond à la question « à quelle puissance faut-il élever $e$ pour obtenir $x$ ? ». C'est la fonction **réciproque** de l'exponentielle : $\ln$ et $\exp$ s'annulent mutuellement. Cette dualité permet de résoudre toutes les équations où l'inconnue se cache dans un exposant.
- **Domaine :** $\ln$ est défini sur $]0\,;+\infty[$ — il n'existe **pas** pour $x \leq 0$.
- **Définition :** $y = \ln x \Leftrightarrow x = e^y$ (pour $x > 0$). C'est la « question inverse » de l'exponentielle.
- **Relation fondamentale :** $\ln(e^x) = x$ pour tout $x \in \mathbb{R}$, et $e^{\ln x} = x$ pour tout $x > 0$.
- **Valeurs remarquables :** $\ln 1 = 0$ (car $e^0 = 1$), $\ln e = 1$, $\ln(e^2) = 2$, $\ln\!\left(\dfrac{1}{e}\right) = -1$.
- **Conséquence :** $\ln x = k \Leftrightarrow x = e^k$, et $e^x = k$ (avec $k > 0$) $\Leftrightarrow x = \ln k$.
Exemple
Résolvons $e^x = 5$. On applique $\ln$ aux deux membres : $\ln(e^x) = \ln 5$, donc $x = \ln 5 \approx 1{,}61$. Réciproquement, $\ln x = 3 \Leftrightarrow x = e^3 \approx 20{,}1$. Le $\ln$ « descend » l'inconnue de l'exposant.
Piège à éviter
$\ln x$ n'existe **que pour $x > 0$**. Avant de résoudre une équation avec $\ln$, écris toujours la **condition d'existence** sur l'argument : oublier que $\ln(-2)$ n'a pas de sens fait perdre des points et accepter de fausses solutions.
Toute la puissance du logarithme tient dans trois règles : il **transforme les produits en sommes**, les quotients en différences et les puissances en produits. C'est ce qui permet de simplifier des expressions monstrueuses et de résoudre les équations où l'inconnue est en exposant.
- **Produit $\to$ somme :** $\ln(a \times b) = \ln a + \ln b$ (pour $a, b > 0$).
- **Quotient $\to$ différence :** $\ln\!\left(\dfrac{a}{b}\right) = \ln a - \ln b$ ; en particulier $\ln\!\left(\dfrac{1}{a}\right) = -\ln a$.
- **Puissance $\to$ produit :** $\ln(a^n) = n \ln a$ — le $\ln$ « fait descendre » l'exposant.
- **Racine :** $\ln(\sqrt{a}) = \dfrac{1}{2}\ln a$ (cas $n = \frac{1}{2}$).
- **Erreur interdite :** $\ln(a + b) \neq \ln a + \ln b$ — le $\ln$ ne se distribue **que** sur les produits, **jamais** sur les sommes.
Exemple
Simplifions $\ln 8$ : $\ln 8 = \ln(2^3) = 3\ln 2$. Et $\ln(\sqrt{e}) = \dfrac{1}{2}\ln e = \dfrac{1}{2}$. Pour résoudre $\ln(x^2) = 4$ avec $x > 0$ : $2\ln x = 4 \Rightarrow \ln x = 2 \Rightarrow x = e^2$.
Piège à éviter
Les deux pièges les plus fréquents au bac : $\ln(a + b) \neq \ln a + \ln b$ et $\ln(a \times b) \neq \ln a \times \ln b$. La somme se transforme en produit **à l'intérieur** : $\ln a + \ln b = \ln(ab)$, pas l'inverse.
La dérivée du logarithme est l'une des plus simples du programme : $(\ln x)' = \dfrac{1}{x}$. Combinée à la formule composée $(\ln u)' = \dfrac{u'}{u}$, elle fait de $\ln$ un outil central pour l'étude de fonctions. Comme cette dérivée est positive, $\ln$ est **strictement croissante**.
- **Dérivée de référence :** $(\ln x)' = \dfrac{1}{x}$ pour $x > 0$.
- **Dérivée composée :** si $u(x) > 0$, alors $(\ln u)' = \dfrac{u'}{u}$ — formule **essentielle**, omniprésente en exercice.
- **Croissance :** $\dfrac{1}{x} > 0$ sur $]0\,;+\infty[$, donc $\ln$ est **strictement croissante**.
- **Comparaison :** $\ln a < \ln b \Leftrightarrow a < b$ et $\ln a = \ln b \Leftrightarrow a = b$ (pour $a, b > 0$) — on peut « passer au $\ln$ » sans changer le sens d'une inégalité.
- **Variations :** $\ln$ croît de $-\infty$ (en $0^+$) à $+\infty$, en s'annulant en $x = 1$.
Exemple
Soit $f(x) = \ln(x^2 + 1)$, définie sur $\mathbb{R}$ car $x^2 + 1 > 0$. Avec $u = x^2 + 1$ et $u' = 2x$ : $f'(x) = \dfrac{u'}{u} = \dfrac{2x}{x^2 + 1}$. Le signe de $f'$ est celui de $2x$ : $f$ décroît sur $]-\infty\,;0]$ puis croît sur $[0\,;+\infty[$.
Piège à éviter
Avant d'appliquer $(\ln u)' = \dfrac{u'}{u}$, vérifie que $u > 0$ sur l'intervalle d'étude (condition d'existence de $\ln u$). Et n'oublie pas le $u'$ au numérateur : $(\ln(3x))' = \dfrac{3}{3x}$, pas $\dfrac{1}{3x}$.
Aux bornes de son domaine, $\ln$ atteint $\pm\infty$, mais sa croissance vers $+\infty$ est **extraordinairement lente** : $\ln(1000) \approx 6{,}9$ seulement. Les **croissances comparées** quantifient cette lenteur et servent à lever les formes indéterminées mêlant $\ln$.
- **Aux bornes :** $\lim\limits_{x \to 0^+} \ln x = -\infty$ (asymptote verticale $x = 0$) et $\lim\limits_{x \to +\infty} \ln x = +\infty$.
- **Croissance comparée :** $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\ln x}{x} = 0$, et plus généralement $\dfrac{\ln x}{x^n} \to 0$ pour tout $n > 0$ — $\ln$ est battu par toute puissance.
- **Au voisinage de $0$ :** $\lim\limits_{x \to 0^+} x^n \ln x = 0$ pour tout $n > 0$ — résultat à connaître par cœur.
- **Conséquence :** même $\dfrac{(\ln x)^2}{x} \to 0$ en $+\infty$.
- **Astuce :** pour lever une FI avec $\ln$, poser $t = \ln x$ (alors $x = e^t$) ramène souvent à une croissance comparée connue avec l'exponentielle.
Exemple
Étudions $f(x) = x \ln x$ près de $0^+$. C'est une FI $0 \times (-\infty)$, mais par croissances comparées $\lim\limits_{x \to 0^+} x \ln x = 0$. On peut donc **prolonger $f$ par continuité** en posant $f(0) = 0$.
Piège à éviter
Ne conclus pas trop vite à $-\infty$ pour $x \ln x$ en $0^+$ sous prétexte que $\ln x \to -\infty$ : c'est une **forme indéterminée**, et la puissance $x$ l'emporte. La limite vaut $0$, pas $-\infty$.
Quiz - Logarithme népérien
15 questions
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Notions clés — Maths (Spé)
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Questions fréquentes
Les points clés à retenir sur Logarithme népérien, extraits du quiz de révision.
Que vaut $\ln 1$ ?
Réponse :
$0$
$\ln 1 = 0$ car $e^0 = 1$. La courbe de $\ln$ coupe l'axe des abscisses en $(1\,;0)$ : $1$ est le seul nombre dont le logarithme népérien est nul.
Que vaut $\ln e$ ?
Réponse :
$1$
$\ln e = 1$ car $e^1 = e$. La relation $\ln(e^x) = x$ donne $\ln(e^1) = 1$ : « le logarithme de la base vaut $1$ ». De même $\ln(e^2) = 2$.
Que vaut $\ln(a \times b)$ (pour $a, b > 0$) ?
Réponse :
$\ln a + \ln b$
Le logarithme transforme un produit en somme : $\ln(ab) = \ln a + \ln b$, hérité de $e^{a+b} = e^a \times e^b$. Piège classique : $\ln(a + b) \neq \ln a + \ln b$.
La dérivée de $\ln x$ est :
Réponse :
$\dfrac{1}{x}$
$(\ln x)' = \dfrac{1}{x}$ pour $x > 0$. Plus généralement $(\ln u)' = \dfrac{u'}{u}$. Comme $\dfrac{1}{x} > 0$, cela confirme que $\ln$ est strictement croissante.