Maths (Spé) — Géométrie
Représentations paramétriques
Droites dans l'espace, représentations paramétriques, intersections
Résumé synthétiqueFiche en 4 sectionsQuiz de 10 questionsGratuit, sans pub
Résumé
Une représentation paramétrique décrit une droite ou une courbe à l'aide d'un paramètre $t$. Dans l'espace, une droite passant par $A(x_0,y_0,z_0)$ et de vecteur directeur $\vec{u}(a,b,c)$ a pour représentation paramétrique $x = x_0 + at$, $y = y_0 + bt$, $z = z_0 + ct$ (avec $t \in \mathbb{R}$). Chaque valeur de $t$ donne un point de la droite. Dans le plan, on retrouve les droites paramétriques $x = x_0 + at$, $y = y_0 + bt$. Pour déterminer si un point appartient à une droite, on vérifie s'il existe un $t$ satisfaisant les trois équations. L'intersection de deux droites se trouve en résolvant le système obtenu en égalant leurs représentations. L'intersection d'une droite et d'un plan se trouve en substituant la représentation paramétrique dans l'équation du plan.
Dans l'espace, on ne peut pas écrire $y = ax + b$ pour une droite. On utilise un paramètre $t$ qui « parcourt » la droite : chaque valeur de $t$ donne un point. C'est la représentation paramétrique.
Le point $A$ correspond à $t = 0$. Le vecteur $\vec{u}$ indique la direction. Chaque valeur de $t$ donne un point de la droite.
- Formule : droite par $A(x_0,y_0,z_0)$ de direction $\vec{u}(a,b,c)$ : $x = x_0 + at$, $y = y_0 + bt$, $z = z_0 + ct$, avec $t \in \mathbb{R}$.
- $t = 0 \to$ point $A$ ; $t = 1 \to$ point $A + \vec{u}$ ; $t$ parcourt $\mathbb{R}$ entier $=$ toute la droite.
- Le vecteur directeur n'est pas unique : tout vecteur colinéaire ($\lambda \vec{u}$) définit la même droite.
- Dans le plan (2D), même principe : $x = x_0 + at$, $y = y_0 + bt$.
- Une droite est aussi définie par deux points $A$ et $B$ : vecteur directeur $\overrightarrow{AB}$, puis on paramètre.
- On peut lire une représentation paramétrique comme : « point de départ $+\ t \times$ direction ».
Exemple
Droite passant par $A(1,2,3)$ de direction $\vec{u}(2,-1,1)$ : $x = 1 + 2t$, $y = 2 - t$, $z = 3 + t$. Pour $t = 0$ : point $(1,2,3) = A$. Pour $t = 2$ : point $(5,0,5)$.
Piège à éviter
La représentation paramétrique d'une droite n'est pas unique ! On peut changer le point de départ ou le vecteur directeur (n'importe quel point de la droite et n'importe quel vecteur colinéaire).
Les exercices du Bac demandent souvent : « Ce point est-il sur cette droite ? » ou « Ces deux droites sont-elles sécantes ? ». Tout se fait par substitution et résolution de systèmes.
- Appartenance : $M(x_1,y_1,z_1) \in$ droite ? On résout les 3 équations en $t$ et on vérifie que c'est le même $t$.
- Droites parallèles : vecteurs directeurs colinéaires ($\vec{u_1} = \lambda \vec{u_2}$).
- Droites confondues : parallèles + un point commun.
- Droites sécantes : non parallèles + un point commun (le système en $t$ et $s$ a une solution).
- Droites gauches : ni parallèles, ni sécantes — elles ne sont pas dans le même plan (cas propre à l'espace 3D).
- Attention : en 2D, deux droites non parallèles sont toujours sécantes. En 3D, pas forcément !
Exemple
$M(3,1,4)$ est-il sur la droite $x = 1 + 2t$, $y = 2 - t$, $z = 3 + t$ ? Pour $x$ : $3 = 1 + 2t \Rightarrow t = 1$. Pour $y$ : $1 = 2 - t \Rightarrow t = 1$. Pour $z$ : $4 = 3 + t \Rightarrow t = 1$. Même $t = 1$ partout : oui, $M$ appartient à la droite.
Piège à éviter
Quand on cherche l'intersection de deux droites, utiliser des lettres différentes pour les paramètres ($t$ et $s$). Avec le même $t$ pour les deux, on force les points à avoir le même paramètre, ce qui est faux.
C'est l'exercice type du Bac : on substitue les expressions paramétriques dans l'équation du plan et on regarde ce qui se passe. Il y a exactement 3 cas possibles.
Substituer et résoudre en $t$ : une solution = sécantes, $0 = 5$ = parallèles, $0 = 0$ = droite contenue dans le plan.
- Méthode : remplacer $x$, $y$, $z$ par leurs expressions en $t$ dans $ax + by + cz + d = 0$.
- On obtient une équation en $t$. Trois issues possibles :
- Cas 1 : une solution unique en $t$ $\Rightarrow$ la droite coupe le plan en un seul point (sécantes).
- Cas 2 : équation impossible (ex : $0 = 5$) $\Rightarrow$ la droite est parallèle au plan, sans intersection.
- Cas 3 : équation toujours vraie ($0 = 0$) $\Rightarrow$ la droite est entièrement contenue dans le plan.
- Une fois $t$ trouvé (cas 1), le substituer dans la paramétrique pour obtenir les coordonnées du point.
Exemple
Droite $d$ : $x = 1 + t$, $y = 2 - t$, $z = 3 + 2t$. Plan $P$ : $x + y + z - 6 = 0$. Substitution : $(1 + t) + (2 - t) + (3 + 2t) - 6 = 0 \Rightarrow 2t = 0 \Rightarrow t = 0$. Point d'intersection : $(1,2,3)$.
Piège à éviter
Si on trouve $t = 0$, cela ne veut pas dire « pas de solution » : cela signifie que le point d'intersection est le point $A$ (celui de la paramétrique). C'est un résultat valide.
Pour l'intersection de deux droites dans l'espace, on obtient un système de 3 équations à 2 inconnues. Si le système est compatible $\Rightarrow$ sécantes ; sinon $\Rightarrow$ gauches.
- Paramétrer les deux droites avec des paramètres différents : $d_1(t)$ et $d_2(s)$.
- Égaler : $x_1(t) = x_2(s)$, $y_1(t) = y_2(s)$, $z_1(t) = z_2(s)$ $\Rightarrow$ 3 équations, 2 inconnues.
- Résoudre les 2 premières équations, puis vérifier la solution dans la 3ᵉ.
- Si la 3ᵉ est vérifiée $\Rightarrow$ les droites sont sécantes ; sinon $\Rightarrow$ elles sont gauches.
- Projeté orthogonal de $M$ sur un plan : construire la droite par $M$ de direction $\vec{n}$ (vecteur normal), puis trouver son intersection avec le plan.
- C'est la combinaison des deux chapitres : paramétrique + orthogonalité.
Exemple
$d_1$ : $x = 1 + t$, $y = 2 + t$, $z = 3 - t$. $d_2$ : $x = 2 + s$, $y = 1 + 3s$, $z = 2 - s$. On égale les deux premières : $1 + t = 2 + s$ et $2 + t = 1 + 3s$, d'où $t = 2$ et $s = 1$. Vérification dans la 3ᵉ : $3 - 2 = 2 - 1 \Rightarrow 1 = 1$. Les droites sont sécantes au point $(3,4,1)$.
Piège à éviter
Si les deux premières équations donnent $t$ et $s$ mais que la 3ᵉ n'est pas vérifiée, les droites sont gauches (pas dans le même plan). C'est un cas qui n'existe qu'en 3D.
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Questions fréquentes
Les points clés à retenir sur Représentations paramétriques, extraits du quiz de révision.
La représentation paramétrique d'une droite passant par $A(1,0,2)$ de direction $\vec{u}(3,-1,2)$ est :
Réponse :
$x = 1 + 3t,\ y = -t,\ z = 2 + 2t$
La formule est $x = x_0 + at$, $y = y_0 + bt$, $z = z_0 + ct$. Avec $A(1,0,2)$ et $\vec{u}(3,-1,2)$ : $x = 1 + 3t$, $y = 0 + (-1)t = -t$, $z = 2 + 2t$.
Pour $t = 0$, la représentation paramétrique donne :
Réponse :
Le point $A$ par lequel passe la droite
Pour $t = 0$ : $x = x_0$, $y = y_0$, $z = z_0$, ce qui donne le point $A$. C'est le point de référence de la définition.
Le point $M(5,-2,6)$ appartient-il à la droite $x = 1 + 2t$, $y = -t + 1$, $z = 2 + 2t$ ?
Réponse :
Non
$x = 5 \Rightarrow 1 + 2t = 5 \Rightarrow t = 2$. $y = -2 \Rightarrow -t + 1 = -2 \Rightarrow t = 3$. Les valeurs de $t$ ne coïncident pas ($t = 2$ pour $x$ mais $t = 3$ pour $y$), donc $M$ n'appartient pas à la droite.
Deux droites de l'espace non parallèles et non sécantes sont dites :
Réponse :
Gauches
Dans l'espace (contrairement au plan), deux droites peuvent ne pas se couper sans être parallèles : elles sont alors dites gauches. Ce cas n'existe pas en 2D.