Maths (Spé) — Géométrie
Orthogonalité dans l'espace
Produit scalaire, vecteur normal, équation de plan, projeté orthogonal
Résumé synthétiqueFiche en 4 sectionsQuiz de 10 questionsGratuit, sans pub
Résumé
L'orthogonalité dans l'espace étend les notions du plan à trois dimensions. Le produit scalaire de deux vecteurs $\vec{u}(x,y,z)$ et $\vec{v}(x',y',z')$ est $\vec{u} \cdot \vec{v} = xx' + yy' + zz'$. Deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul. Un vecteur normal $\vec{n}$ à un plan $P$ est un vecteur non nul perpendiculaire à tout vecteur de $P$. L'équation cartésienne d'un plan de vecteur normal $\vec{n}(a,b,c)$ passant par $A(x_0,y_0,z_0)$ est $a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0$, soit $ax + by + cz + d = 0$. Le projeté orthogonal d'un point $M$ sur un plan $P$ est le point $H$ de $P$ tel que $\overrightarrow{MH}$ est normal à $P$. La distance d'un point à un plan se calcule par $\dfrac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$.
Le produit scalaire est l'outil fondamental de la géométrie dans l'espace en Terminale. Il permet de calculer des angles, des normes et surtout de tester l'orthogonalité — c'est le fil rouge de tout ce chapitre.
- Formule avec coordonnées : $\vec{u}(x,y,z) \cdot \vec{v}(x',y',z') = xx' + yy' + zz'$.
- Norme : $\lVert \vec{u} \rVert = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$ — c'est le théorème de Pythagore en 3D.
- Formule avec angle : $\vec{u} \cdot \vec{v} = \lVert \vec{u} \rVert \times \lVert \vec{v} \rVert \times \cos(\vec{u},\vec{v})$.
- Propriétés : commutativité, bilinéarité, et $\vec{u} \cdot \vec{u} = \lVert \vec{u} \rVert^2 \geq 0$.
- Critère d'orthogonalité : $\vec{u} \perp \vec{v} \Leftrightarrow \vec{u} \cdot \vec{v} = 0$ — la propriété la plus utilisée au Bac.
- Distance entre deux points : $AB = \lVert \overrightarrow{AB} \rVert = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2}$.
Exemple
$\vec{u}(1,2,-1)$ et $\vec{v}(3,-1,1)$. Produit scalaire : $1 \times 3 + 2 \times (-1) + (-1) \times 1 = 3 - 2 - 1 = 0$. Conclusion : $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux.
Piège à éviter
Ne pas confondre produit scalaire (qui donne un nombre) et produit vectoriel (qui donne un vecteur, hors programme). Un produit scalaire nul ne signifie pas que les vecteurs sont nuls, mais qu'ils sont perpendiculaires.
Un plan dans l'espace est entièrement déterminé par un point et un vecteur normal. C'est cette idée qui permet d'écrire l'équation cartésienne d'un plan — une compétence incontournable au Bac.
Le vecteur normal $\vec{n}$ est perpendiculaire au plan. Ses coordonnées $(a,b,c)$ donnent directement les coefficients de l'équation.
- Vecteur normal $\vec{n}$ : vecteur non nul perpendiculaire à tous les vecteurs du plan.
- Équation : si $\vec{n}(a,b,c)$ est normal à $P$ passant par $A(x_0,y_0,z_0)$, alors $a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0$.
- Forme développée : $ax + by + cz + d = 0$ avec $d = -ax_0 - by_0 - cz_0$.
- Lecture inverse : dans $ax + by + cz + d = 0$, on lit directement $\vec{n}(a,b,c)$.
- Un plan peut aussi être défini par un point et deux vecteurs directeurs non colinéaires.
- Méthode Bac : toujours commencer par identifier le vecteur normal et un point du plan.
Exemple
Plan passant par $A(1,0,2)$ de vecteur normal $\vec{n}(2,-1,3)$. Équation : $2(x - 1) - 1(y - 0) + 3(z - 2) = 0$, soit $2x - y + 3z - 8 = 0$. Vérification : $2 \times 1 - 0 + 3 \times 2 - 8 = 2 + 6 - 8 = 0$.
Au Bac, on demande souvent de déterminer si des droites ou des plans sont parallèles, perpendiculaires ou sécants. Tout repose sur les vecteurs directeurs et normaux.
- Droite $\perp$ plan : le vecteur directeur de la droite est colinéaire au vecteur normal du plan.
- Droite // plan : le vecteur directeur est orthogonal au vecteur normal ($\vec{u} \cdot \vec{n} = 0$).
- Deux plans parallèles : leurs vecteurs normaux sont colinéaires ($\vec{n_1} = \lambda \vec{n_2}$).
- Deux plans perpendiculaires : leurs vecteurs normaux sont orthogonaux ($\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 0$).
- Plan médiateur de $[AB]$ : perpendiculaire à $\overrightarrow{AB}$ et passant par le milieu $I$ de $[AB]$.
- Caractérisation : $M \in$ plan médiateur $\Leftrightarrow MA = MB$.
Exemple
La droite de vecteur directeur $\vec{u}(2,-1,3)$ est-elle perpendiculaire au plan $2x - y + 3z = 5$ ? Le vecteur normal du plan est $\vec{n}(2,-1,3)$. Comme $\vec{u} = \vec{n}$, ils sont colinéaires : oui, la droite est perpendiculaire au plan.
Piège à éviter
Attention au piège : droite parallèle au plan $\neq$ droite contenue dans le plan. Si $\vec{u} \cdot \vec{n} = 0$, la droite est parallèle au plan OU contenue dedans. Pour trancher, vérifier si un point de la droite satisfait l'équation du plan.
Le projeté orthogonal et la formule de distance sont des outils de fin de chapitre très fréquents au Bac. La distance s'obtient par une formule directe — pas besoin de trouver $H$ si on veut seulement la distance.
- Projeté orthogonal $H$ de $M$ sur $P$ : c'est le point de $P$ le plus proche de $M$.
- $\overrightarrow{MH}$ est colinéaire au vecteur normal : $H$ est sur la droite passant par $M$ de direction $\vec{n}$.
- Méthode pour trouver $H$ : paramétrer $M + t\vec{n}$, substituer dans l'équation du plan, résoudre en $t$.
- Formule de distance : $d(M,P) = \dfrac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$.
- Cette formule donne directement la distance sans calculer $H$ — très efficace au Bac.
- Le projeté minimise la distance : pour tout point $A$ du plan, $MH \leq MA$.
Exemple
Distance de $M(1,2,3)$ au plan $2x - y + 2z - 1 = 0$ : $d = \dfrac{|2 \times 1 - 2 + 2 \times 3 - 1|}{\sqrt{4 + 1 + 4}} = \dfrac{|2 - 2 + 6 - 1|}{3} = \dfrac{5}{3}$.
Piège à éviter
Dans la formule de distance, l'équation du plan doit être sous la forme $ax + by + cz + d = 0$ (tout d'un côté). Si l'équation est $2x - y + z = 5$, la réécrire $2x - y + z - 5 = 0$ avant d'appliquer.
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Questions fréquentes
Les points clés à retenir sur Orthogonalité dans l'espace, extraits du quiz de révision.
Le produit scalaire de $\vec{u}(1,2,3)$ et $\vec{v}(2,-1,0)$ vaut :
Réponse :
$0$
$\vec{u} \cdot \vec{v} = 1 \times 2 + 2 \times (-1) + 3 \times 0 = 2 - 2 + 0 = 0$. Les vecteurs sont orthogonaux.
La norme du vecteur $\vec{u}(3,4,0)$ est :
Réponse :
$5$
$\lVert \vec{u} \rVert = \sqrt{3^2 + 4^2 + 0^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$. C'est la généralisation du théorème de Pythagore en 3D.
Dans l'équation de plan $3x - 2y + z - 5 = 0$, un vecteur normal est :
Réponse :
$(3, -2, 1)$
Dans $ax + by + cz + d = 0$, le vecteur normal est $\vec{n}(a,b,c)$. Ici $a = 3$, $b = -2$, $c = 1$, donc $\vec{n}(3,-2,1)$. Le coefficient $d$ ne fait pas partie du vecteur normal.
Deux plans sont perpendiculaires si :
Réponse :
Leurs vecteurs normaux sont orthogonaux
Deux plans sont perpendiculaires si et seulement si leurs vecteurs normaux sont orthogonaux (produit scalaire nul). S'ils sont colinéaires, les plans sont parallèles.