Maths (Spé) — Géométrie
Orthogonalité dans l'espace
Produit scalaire, vecteur normal, équation de plan, projeté orthogonal
Résumé synthétiqueFiche en 4 sectionsQuiz de 10 questionsGratuit, sans pub
Résumé
L'**orthogonalité dans l'espace** étend les notions du plan à trois dimensions. Le **produit scalaire** de deux vecteurs $\vec{u}(x,y,z)$ et $\vec{v}(x',y',z')$ est $\vec{u} \cdot \vec{v} = xx' + yy' + zz'$. Deux vecteurs sont **orthogonaux** si et seulement si leur produit scalaire est nul. Un **vecteur normal** $\vec{n}$ à un plan $P$ est un vecteur non nul perpendiculaire à tout vecteur de $P$. L'**équation cartésienne** d'un plan de vecteur normal $\vec{n}(a,b,c)$ passant par $A(x_0,y_0,z_0)$ est $a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0$, soit $ax + by + cz + d = 0$. Le **projeté orthogonal** d'un point $M$ sur un plan $P$ est le point $H$ de $P$ tel que $\overrightarrow{MH}$ est normal à $P$. La **distance** d'un point à un plan se calcule par $\dfrac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$.
Le **produit scalaire** est l'outil fondamental de la géométrie dans l'espace en Terminale. Il permet de calculer des angles, des normes et surtout de tester l'**orthogonalité** — c'est le fil rouge de tout ce chapitre.
- **Formule avec coordonnées :** $\vec{u}(x,y,z) \cdot \vec{v}(x',y',z') = xx' + yy' + zz'$.
- **Norme :** $\lVert \vec{u} \rVert = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$ — c'est le théorème de Pythagore en 3D.
- **Formule avec angle :** $\vec{u} \cdot \vec{v} = \lVert \vec{u} \rVert \times \lVert \vec{v} \rVert \times \cos(\vec{u},\vec{v})$.
- **Propriétés :** commutativité, bilinéarité, et $\vec{u} \cdot \vec{u} = \lVert \vec{u} \rVert^2 \geq 0$.
- **Critère d'orthogonalité :** $\vec{u} \perp \vec{v} \Leftrightarrow \vec{u} \cdot \vec{v} = 0$ — la propriété la plus utilisée au Bac.
- **Distance entre deux points :** $AB = \lVert \overrightarrow{AB} \rVert = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2}$.
Exemple
$\vec{u}(1,2,-1)$ et $\vec{v}(3,-1,1)$. Produit scalaire : $1 \times 3 + 2 \times (-1) + (-1) \times 1 = 3 - 2 - 1 = 0$. Conclusion : $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux.
Piège à éviter
Ne pas confondre **produit scalaire** (qui donne un nombre) et produit vectoriel (qui donne un vecteur, hors programme). Un produit scalaire nul ne signifie pas que les vecteurs sont nuls, mais qu'ils sont **perpendiculaires**.
Un plan dans l'espace est entièrement déterminé par un **point** et un **vecteur normal**. C'est cette idée qui permet d'écrire l'**équation cartésienne** d'un plan — une compétence incontournable au Bac.
- **Vecteur normal $\vec{n}$ :** vecteur non nul perpendiculaire à tous les vecteurs du plan.
- **Équation :** si $\vec{n}(a,b,c)$ est normal à $P$ passant par $A(x_0,y_0,z_0)$, alors $a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0$.
- **Forme développée :** $ax + by + cz + d = 0$ avec $d = -ax_0 - by_0 - cz_0$.
- **Lecture inverse :** dans $ax + by + cz + d = 0$, on lit directement $\vec{n}(a,b,c)$.
- Un plan peut aussi être défini par un point et deux vecteurs directeurs non colinéaires.
- **Méthode Bac :** toujours commencer par identifier le vecteur normal et un point du plan.
Exemple
Plan passant par $A(1,0,2)$ de vecteur normal $\vec{n}(2,-1,3)$. Équation : $2(x - 1) - 1(y - 0) + 3(z - 2) = 0$, soit $2x - y + 3z - 8 = 0$. Vérification : $2 \times 1 - 0 + 3 \times 2 - 8 = 2 + 6 - 8 = 0$.
Au Bac, on demande souvent de déterminer si des droites ou des plans sont parallèles, perpendiculaires ou sécants. Tout repose sur les **vecteurs directeurs** et **normaux**.
- **Droite $\perp$ plan :** le vecteur directeur de la droite est colinéaire au vecteur normal du plan.
- **Droite // plan :** le vecteur directeur est orthogonal au vecteur normal ($\vec{u} \cdot \vec{n} = 0$).
- **Deux plans parallèles :** leurs vecteurs normaux sont colinéaires ($\vec{n_1} = \lambda \vec{n_2}$).
- **Deux plans perpendiculaires :** leurs vecteurs normaux sont orthogonaux ($\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 0$).
- **Plan médiateur de $[AB]$ :** perpendiculaire à $\overrightarrow{AB}$ et passant par le milieu $I$ de $[AB]$.
- **Caractérisation :** $M \in$ plan médiateur $\Leftrightarrow MA = MB$.
Exemple
La droite de vecteur directeur $\vec{u}(2,-1,3)$ est-elle perpendiculaire au plan $2x - y + 3z = 5$ ? Le vecteur normal du plan est $\vec{n}(2,-1,3)$. Comme $\vec{u} = \vec{n}$, ils sont colinéaires : oui, la droite est perpendiculaire au plan.
Piège à éviter
Attention au piège : droite **parallèle** au plan $\neq$ droite **contenue** dans le plan. Si $\vec{u} \cdot \vec{n} = 0$, la droite est parallèle au plan OU contenue dedans. Pour trancher, vérifier si un point de la droite satisfait l'équation du plan.
Le **projeté orthogonal** et la **formule de distance** sont des outils de fin de chapitre très fréquents au Bac. La distance s'obtient par une formule directe — pas besoin de trouver $H$ si on veut seulement la distance.
- **Projeté orthogonal $H$ de $M$ sur $P$ :** c'est le point de $P$ le plus proche de $M$.
- $\overrightarrow{MH}$ est colinéaire au vecteur normal : $H$ est sur la droite passant par $M$ de direction $\vec{n}$.
- **Méthode pour trouver $H$ :** paramétrer $M + t\vec{n}$, substituer dans l'équation du plan, résoudre en $t$.
- **Formule de distance :** $d(M,P) = \dfrac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$.
- Cette formule donne directement la distance sans calculer $H$ — très efficace au Bac.
- Le projeté **minimise** la distance : pour tout point $A$ du plan, $MH \leq MA$.
Exemple
Distance de $M(1,2,3)$ au plan $2x - y + 2z - 1 = 0$ : $d = \dfrac{|2 \times 1 - 2 + 2 \times 3 - 1|}{\sqrt{4 + 1 + 4}} = \dfrac{|2 - 2 + 6 - 1|}{3} = \dfrac{5}{3}$.
Piège à éviter
Dans la formule de distance, l'équation du plan doit être sous la forme $ax + by + cz + d = 0$ (tout d'un côté). Si l'équation est $2x - y + z = 5$, la réécrire $2x - y + z - 5 = 0$ avant d'appliquer.
Quiz - Orthogonalité dans l'espace
10 questions
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Notions clés — Maths (Spé)
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Questions fréquentes
Les points clés à retenir sur Orthogonalité dans l'espace, extraits du quiz de révision.
Le produit scalaire de $\vec{u}(1,2,3)$ et $\vec{v}(2,-1,0)$ vaut :
Réponse :
$0$
$\vec{u} \cdot \vec{v} = 1 \times 2 + 2 \times (-1) + 3 \times 0 = 2 - 2 + 0 = 0$. Les vecteurs sont orthogonaux.
La norme du vecteur $\vec{u}(3,4,0)$ est :
Réponse :
$5$
$\lVert \vec{u} \rVert = \sqrt{3^2 + 4^2 + 0^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$. C'est la généralisation du théorème de Pythagore en 3D.
Dans l'équation de plan $3x - 2y + z - 5 = 0$, un vecteur normal est :
Réponse :
$(3, -2, 1)$
Dans $ax + by + cz + d = 0$, le vecteur normal est $\vec{n}(a,b,c)$. Ici $a = 3$, $b = -2$, $c = 1$, donc $\vec{n}(3,-2,1)$. Le coefficient $d$ ne fait pas partie du vecteur normal.
Deux plans sont perpendiculaires si :
Réponse :
Leurs vecteurs normaux sont orthogonaux
Deux plans sont perpendiculaires si et seulement si leurs vecteurs normaux sont orthogonaux (produit scalaire nul). S'ils sont colinéaires, les plans sont parallèles.