Mathématiques — Géométrie
Produit scalaire
Définitions, propriétés, applications géométriques
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Résumé
Comment multiplier deux vecteurs ? Le produit scalaire $\vec{u} \cdot \vec{v}$ répond à cette question — mais le résultat n'est pas un vecteur : c'est un nombre réel. Sa force vient de ses trois visages, tous équivalents : géométrique avec $\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\| \times \cos(\vec{u}, \vec{v})$ ; analytique avec les coordonnées $\vec{u} \cdot \vec{v} = xx' + yy'$ ; et la formule de polarisation reliant les normes. Selon le problème, on choisit le visage le plus commode. Le produit scalaire détecte l'orthogonalité ($\vec{u} \cdot \vec{v} = 0 \iff \vec{u} \perp \vec{v}$), mesure des angles et des longueurs, et débouche sur le théorème d'Al-Kashi, qui généralise Pythagore à n'importe quel triangle.
Le produit scalaire de deux vecteurs est un nombre réel (un scalaire), pas un vecteur. On dispose de trois formules équivalentes pour le calculer : on choisit celle qui colle aux données de l'énoncé — un angle, des coordonnées, ou des longueurs.
Géométriquement, $\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\| \times \cos\theta$ : le signe du résultat est celui de $\cos\theta$.
- Forme géométrique : $\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\| \times \cos(\vec{u}, \vec{v})$, où $(\vec{u}, \vec{v})$ est l'angle entre les vecteurs.
- Forme analytique : si $\vec{u}\,(x\,;y)$ et $\vec{v}\,(x'\,;y')$, alors $\vec{u} \cdot \vec{v} = xx' + yy'$.
- Forme avec les normes : $\vec{u} \cdot \vec{v} = \dfrac{1}{2}\left(\|\vec{u}\|^2 + \|\vec{v}\|^2 - \|\vec{u} - \vec{v}\|^2\right)$.
- Carré scalaire : $\vec{u} \cdot \vec{u} = \|\vec{u}\|^2$ (l'angle est nul, $\cos 0 = 1$).
- Le résultat est un nombre réel, qui peut être positif, négatif ou nul.
Exemple
Soient $\vec{u}\,(3\,;4)$ et $\vec{v}\,(2\,;-1)$. Avec la forme analytique : $\vec{u} \cdot \vec{v} = 3 \times 2 + 4 \times (-1) = 6 - 4 = 2$.
Piège à éviter
Le produit scalaire n'est pas un vecteur : $\vec{u} \cdot \vec{v}$ est un nombre. Écrire $\vec{u} \cdot \vec{v}$ avec une flèche au-dessus du résultat est une faute. Et dans la forme analytique, on multiplie les abscisses entre elles ($xx'$), pas $x$ par $y'$.
Le produit scalaire est l'outil idéal pour tester si deux vecteurs sont perpendiculaires : il suffit qu'il s'annule. Et son signe renseigne sur l'angle — aigu, droit ou obtus — sans même calculer cet angle.
- Critère d'orthogonalité : $\vec{u} \perp \vec{v} \iff \vec{u} \cdot \vec{v} = 0$ (pour des vecteurs non nuls).
- Avec les coordonnées, cela donne la condition $xx' + yy' = 0$.
- $\vec{u} \cdot \vec{v} > 0$ : l'angle est aigu ($\cos\theta > 0$).
- $\vec{u} \cdot \vec{v} < 0$ : l'angle est obtus ($\cos\theta < 0$).
- Application : prouver qu'un triangle $ABC$ est rectangle en $A$ en vérifiant $\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 0$.
Exemple
Soient $\vec{u}\,(2\,;3)$ et $\vec{v}\,(-3\,;2)$ : $\vec{u} \cdot \vec{v} = 2 \times (-3) + 3 \times 2 = -6 + 6 = 0$. Les vecteurs sont orthogonaux.
Piège à éviter
Le critère $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$ caractérise l'orthogonalité, à condition que les vecteurs soient non nuls. Le vecteur nul $\vec{0}$ est orthogonal à tout vecteur, mais ce cas particulier n'a pas d'intérêt géométrique.
Le produit scalaire se manipule presque comme une multiplication de nombres : il est commutatif, distributif sur l'addition et compatible avec la multiplication par un réel. Ces règles permettent de développer des expressions vectorielles comme on développe une identité remarquable.
- Symétrie : $\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{u}$ (l'ordre n'a pas d'importance).
- Distributivité : $\vec{u} \cdot (\vec{v} + \vec{w}) = \vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{u} \cdot \vec{w}$.
- Multiple : $(k\vec{u}) \cdot \vec{v} = k\,(\vec{u} \cdot \vec{v})$, pour tout réel $k$.
- Identités : $\|\vec{u} + \vec{v}\|^2 = \|\vec{u}\|^2 + 2\,\vec{u} \cdot \vec{v} + \|\vec{v}\|^2$.
- De même : $\|\vec{u} - \vec{v}\|^2 = \|\vec{u}\|^2 - 2\,\vec{u} \cdot \vec{v} + \|\vec{v}\|^2$.
Exemple
Développons $(\vec{u} + \vec{v}) \cdot (\vec{u} - \vec{v})$ : par distributivité, $= \vec{u} \cdot \vec{u} - \vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{v} \cdot \vec{u} - \vec{v} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\|^2 - \|\vec{v}\|^2$ (les termes croisés s'annulent par symétrie).
Piège à éviter
Dans l'identité $\|\vec{u} + \vec{v}\|^2 = \|\vec{u}\|^2 + 2\,\vec{u} \cdot \vec{v} + \|\vec{v}\|^2$, n'oublie pas le double produit $2\,\vec{u} \cdot \vec{v}$ : en général $\|\vec{u} + \vec{v}\|^2 \neq \|\vec{u}\|^2 + \|\vec{v}\|^2$.
Le produit scalaire devient un véritable couteau suisse de la géométrie : il mesure des angles, calcule des longueurs, et conduit au théorème d'Al-Kashi, une généralisation de Pythagore valable dans tout triangle, pas seulement les triangles rectangles.
- Mesure d'un angle : $\cos(\vec{u}, \vec{v}) = \dfrac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\|}$.
- Théorème d'Al-Kashi : dans un triangle, $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos(\widehat{A})$.
- Si $\widehat{A} = 90°$ alors $\cos(\widehat{A}) = 0$ : on retrouve Pythagore, $a^2 = b^2 + c^2$.
- Méthode angle : calculer $\vec{u} \cdot \vec{v}$ et les normes, puis en déduire $\cos\theta$, puis $\theta$.
- Le produit scalaire sert aussi à prouver une orthogonalité ou à trouver une distance.
Exemple
Triangle avec $b = 5$, $c = 7$ et $\widehat{A} = 60°$. Al-Kashi : $a^2 = 5^2 + 7^2 - 2 \times 5 \times 7 \times \cos 60° = 25 + 49 - 70 \times 0{,}5 = 74 - 35 = 39$, donc $a = \sqrt{39} \approx 6{,}24$.
Piège à éviter
Dans Al-Kashi, le côté $a$ est celui opposé à l'angle $\widehat{A}$ ; $b$ et $c$ sont les deux côtés qui forment cet angle. Mélanger les rôles fausse tout. Le signe « moins » devant $2bc\cos(\widehat{A})$ fait toute la différence avec Pythagore.
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Les points clés à retenir sur Produit scalaire, extraits du quiz de révision.
Deux vecteurs non nuls sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire vaut :
Réponse :
$0$
$\vec{u} \perp \vec{v} \iff \vec{u} \cdot \vec{v} = 0$ : c'est la caractérisation de l'orthogonalité. En effet $\cos 90° = 0$ annule le produit scalaire.
Le produit scalaire de $\vec{u}\,(3\,;4)$ et $\vec{v}\,(2\,;-1)$ vaut :
Réponse :
$2$
Avec la forme analytique : $\vec{u} \cdot \vec{v} = xx' + yy' = 3 \times 2 + 4 \times (-1) = 6 - 4 = 2$. On multiplie bien les abscisses entre elles, puis les ordonnées entre elles.
Avec $\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\| \times \cos\theta$, si $\theta = 90°$ alors $\vec{u} \cdot \vec{v} = $
Réponse :
$0$
$\cos 90° = 0$, donc $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$ : deux vecteurs perpendiculaires ont un produit scalaire nul. C'est la traduction géométrique de l'orthogonalité.
Le résultat d'un produit scalaire est :
Réponse :
un nombre réel
Le produit scalaire de deux vecteurs est un scalaire, c'est-à-dire un nombre réel — d'où son nom. Ce nombre peut être positif, négatif ou nul, mais ce n'est jamais un vecteur.