Maths (Spé) — Géométrie
Géométrie dans l'espace
Vecteurs, plans, droites, orthogonalité
Résumé synthétiqueFiche en 3 sectionsQuiz de 10 questionsGratuit, sans pub
Résumé
Tout ce qu'on faisait dans le plan se prolonge dans l'espace, avec une coordonnée de plus : un point $M$ y est repéré par $(x\,;y\,;z)$. On y manipule des vecteurs, des droites et surtout des plans, décrits par une équation cartésienne $ax + by + cz + d = 0$ dont les coefficients donnent directement un vecteur normal $\vec{n}(a\,;b\,;c)$. L'outil maître reste le produit scalaire $\vec{u}\cdot\vec{v} = x_u x_v + y_u y_v + z_u z_v$ : il mesure des angles, prouve l'orthogonalité ($\vec{u}\cdot\vec{v} = 0$) et permet de calculer des distances. Nouveauté de l'espace : deux droites peuvent être non coplanaires, ni parallèles ni sécantes.
Dans un repère orthonormé $(O\,;\vec{i},\vec{j},\vec{k})$ de l'espace, chaque point porte trois coordonnées $(x\,;y\,;z)$. Les formules du plan se prolongent en ajoutant simplement la composante en $z$ : coordonnées d'un vecteur, distance, milieu.
Un repère orthonormé de l'espace : trois axes $x$, $y$, $z$ et un vecteur $\vec{u}$ repéré par ses trois coordonnées.
- Point : $M(x\,;y\,;z)$ — trois coordonnées au lieu de deux.
- Vecteur : $\vec{AB}\,(x_B - x_A\,;\,y_B - y_A\,;\,z_B - z_A)$.
- Norme / distance : $AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2}$.
- Milieu de $[AB]$ : $\left(\dfrac{x_A + x_B}{2}\,;\,\dfrac{y_A + y_B}{2}\,;\,\dfrac{z_A + z_B}{2}\right)$.
- Colinéarité : $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires $\Leftrightarrow$ il existe $k$ tel que $\vec{v} = k\,\vec{u}$.
Exemple
Soit $A(1\,;2\,;3)$ et $B(4\,;6\,;3)$. Alors $\vec{AB}\,(3\,;4\,;0)$ et $AB = \sqrt{3^2 + 4^2 + 0^2} = \sqrt{25} = 5$. Le milieu de $[AB]$ est $I\left(\dfrac{5}{2}\,;4\,;3\right)$.
Piège à éviter
N'oublie pas la troisième coordonnée dans toutes les formules : un $z$ omis dans la distance ou le milieu fausse le résultat. La norme garde un seul radical, sur la somme des trois carrés.
Un plan de l'espace se décrit par une équation cartésienne $ax + by + cz + d = 0$. Le trio de coefficients $(a\,;b\,;c)$ forme un vecteur normal $\vec{n}$ au plan — perpendiculaire à toutes ses directions. Une droite, elle, se décrit par un point et un vecteur directeur.
- Équation de plan : $ax + by + cz + d = 0$, avec $\vec{n}(a\,;b\,;c) \neq \vec{0}$ normal au plan.
- Plans parallèles : leurs vecteurs normaux sont colinéaires.
- Plan défini par $A$ et $\vec{n}$ : $M \in \mathcal{P} \Leftrightarrow \vec{AM}\cdot\vec{n} = 0$.
- Droite : un point $A$ et un vecteur directeur $\vec{u}$ ; ou l'intersection de deux plans.
- Droite $\perp$ plan : la droite a pour vecteur directeur un vecteur normal du plan.
Exemple
Plan passant par $A(1\,;0\,;2)$ de vecteur normal $\vec{n}(2\,;-1\,;3)$. Son équation est $2x - y + 3z + d = 0$ ; on trouve $d$ avec $A$ : $2 \times 1 - 0 + 3 \times 2 + d = 0 \Rightarrow 8 + d = 0 \Rightarrow d = -8$. Équation : $2x - y + 3z - 8 = 0$.
Piège à éviter
Le vecteur normal se lit directement dans l'équation : pour $2x - y + 3z - 8 = 0$, c'est $\vec{n}(2\,;-1\,;3)$ — attention au signe du coefficient de $y$ ($-1$, pas $1$). La constante $d$ n'en fait pas partie.
Le produit scalaire est l'outil qui relie coordonnées et géométrie (longueurs, angles). Dans l'espace, il s'obtient en additionnant les produits des coordonnées. Sa nullité est le test d'orthogonalité, et il débouche sur la distance d'un point à un plan.
- Expression analytique : $\vec{u}\cdot\vec{v} = x_u x_v + y_u y_v + z_u z_v$.
- Forme géométrique : $\vec{u}\cdot\vec{v} = \|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\| \times \cos(\vec{u},\vec{v})$.
- Orthogonalité : $\vec{u} \perp \vec{v} \Leftrightarrow \vec{u}\cdot\vec{v} = 0$.
- Norme : $\|\vec{u}\| = \sqrt{\vec{u}\cdot\vec{u}} = \sqrt{x_u^2 + y_u^2 + z_u^2}$.
- Distance point–plan : $d(M,\mathcal{P}) = \dfrac{|a x_0 + b y_0 + c z_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$.
Exemple
Soit $\vec{u}(1\,;2\,;3)$ et $\vec{v}(4\,;-1\,;2)$. Produit scalaire : $\vec{u}\cdot\vec{v} = 1 \times 4 + 2 \times (-1) + 3 \times 2 = 4 - 2 + 6 = 8$. Comme $8 \neq 0$, les vecteurs ne sont pas orthogonaux.
Piège à éviter
Pour l'orthogonalité, c'est le produit scalaire qui doit être nul, pas les coordonnées. Dans la distance point–plan, le numérateur prend une valeur absolue (distance $\geq 0$) et le dénominateur est la norme du vecteur normal, $\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$.
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Questions fréquentes
Les points clés à retenir sur Géométrie dans l'espace, extraits du quiz de révision.
Dans l'espace, un point est repéré par combien de coordonnées ?
Réponse :
$3$
Trois coordonnées $(x\,;y\,;z)$ : une de plus que dans le plan.
Le vecteur normal au plan $2x + 3y - z + 5 = 0$ est :
Réponse :
$(2\,;3\,;-1)$
Le vecteur normal est formé des coefficients de $x$, $y$, $z$ : $\vec{n}(2\,;3\,;-1)$. La constante $5$ n'en fait pas partie, et le coefficient de $z$ est $-1$.
Deux vecteurs sont orthogonaux si leur produit scalaire vaut :
Réponse :
$0$
$\vec{u} \perp \vec{v} \Leftrightarrow \vec{u}\cdot\vec{v} = 0$ : un produit scalaire nul caractérise l'orthogonalité.
La distance entre $A(1\,;0\,;0)$ et $B(0\,;0\,;0)$ vaut :
Réponse :
$1$
$AB = \sqrt{(0 - 1)^2 + 0^2 + 0^2} = \sqrt{1} = 1$.