Maths (Spé) — Probabilités
Lois de probabilité continues
Loi uniforme, loi exponentielle, loi normale
Résumé synthétiqueFiche en 3 sectionsQuiz de 10 questionsGratuit, sans pub
Résumé
Hors programme de spécialité : dans le programme de 2019, les lois à densité (uniforme, exponentielle) relèvent de l'option maths complémentaires, et la loi normale n'est plus au programme de Terminale générale. Ce chapitre est un approfondissement. Jusqu'ici une variable aléatoire prenait des valeurs isolées ; ici elle prend toutes les valeurs d'un intervalle. On ne parle plus de la probabilité d'une valeur unique (toujours nulle !) mais de l'aire sous une courbe de densité : $P(c \leq X \leq d) = \int_c^d f(x)\,dx$. Trois lois reines : la loi uniforme sur $[a\,;b]$ (le hasard « plat », chaque zone de même largeur a la même probabilité), la loi exponentielle de paramètre $\lambda$ (durées de vie sans vieillissement : ampoules, désintégration radioactive), et la loi normale $\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)$, la fameuse courbe en cloche qui régit tailles, erreurs de mesure et moyennes. Deux réflexes à garder : une probabilité, c'est une aire ; et l'aire totale sous une densité vaut toujours $1$.
Approfondissement : les lois à densité ne sont pas au programme de la spécialité mathématiques ; les lois uniforme et exponentielle sont au programme de l'option maths complémentaires, la loi normale n'est au programme d'aucun enseignement de Terminale générale. Avec la loi uniforme, le hasard est « plat » : aucune zone n'est privilégiée, seules comptent les largeurs. La densité est donc constante sur $[a\,;b]$, et une probabilité se lit comme un simple rapport de longueurs. C'est le modèle de l'attente d'un bus qui passe « au hasard » dans un créneau, ou d'un nombre tiré « uniformément ».
![Densité de la loi uniforme sur [a;b] : une fonction constante égale à 1/(b-a), et l'aire d'un rectangle entre c et d représentant la probabilité P(c ≤ X ≤ d)](/fiches/ter-spe-maths-3-densite.svg)
La densité uniforme est un rectangle de hauteur $\dfrac{1}{b - a}$ ; la probabilité $P(c \leq X \leq d)$ est l'aire de la bande verte.
- Densité : $f(x) = \dfrac{1}{b - a}$ pour $x \in [a\,;b]$, et $f(x) = 0$ ailleurs. Son graphe est un rectangle d'aire $1$.
- Probabilité = rapport de longueurs : $P(c \leq X \leq d) = \dfrac{d - c}{b - a}$ pour $a \leq c \leq d \leq b$.
- Espérance : $E(X) = \dfrac{a + b}{2}$ — le milieu de l'intervalle, par symétrie.
- Variance : $V(X) = \dfrac{(b - a)^2}{12}$, d'où l'écart-type $\sigma = \dfrac{b - a}{\sqrt{12}}$.
- Valeur ponctuelle : $P(X = c) = 0$ pour tout $c$ — en continu, un point seul n'a aucune probabilité.
Exemple
Un bus passe à un instant uniforme entre $7$ h et $7$ h $30$, soit $X$ sur $[0\,;30]$ (en minutes). Probabilité d'attendre entre $10$ et $20$ minutes : $P(10 \leq X \leq 20) = \dfrac{20 - 10}{30 - 0} = \dfrac{10}{30} = \dfrac{1}{3}$. Attente moyenne : $E(X) = \dfrac{0 + 30}{2} = 15$ minutes.
Piège à éviter
On divise par la longueur totale $b - a$, jamais par $b$. Sur $[2\,;8]$, $P(3 \leq X \leq 5) = \dfrac{5 - 3}{8 - 2} = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}$, et non $\dfrac{2}{8}$.
La loi exponentielle modélise la durée d'attente d'un événement qui survient « sans prévenir » : panne d'une ampoule, désintégration d'un atome, prochain appel d'un standard. Sa signature est l'absence de mémoire : une ampoule allumée depuis $1\,000$ h n'est « pas plus usée » qu'une neuve.
- Densité : $f(x) = \lambda\,e^{-\lambda x}$ pour $x \geq 0$ (et $0$ pour $x < 0$), avec $\lambda > 0$.
- Fonction de répartition : $P(X \leq t) = 1 - e^{-\lambda t}$, donc $P(X > t) = e^{-\lambda t}$.
- Espérance : $E(X) = \dfrac{1}{\lambda}$ — la durée de vie moyenne.
- Absence de mémoire : $P_{X > s}(X > s + t) = P(X > t)$ : le passé « s'oublie ».
- Plus $\lambda$ est grand, plus l'événement arrive vite (durée moyenne $\dfrac{1}{\lambda}$ courte).
Exemple
Une ampoule a une durée de vie $X$ exponentielle de moyenne $E(X) = 2\,000$ h, donc $\lambda = \dfrac{1}{2\,000}$. Probabilité qu'elle dure plus de $3\,000$ h : $P(X > 3\,000) = e^{-\lambda \times 3000} = e^{-3000/2000} = e^{-1{,}5} \approx 0{,}22$.
Piège à éviter
Ne confonds pas $\lambda$ et la moyenne : $E(X) = \dfrac{1}{\lambda}$, pas $\lambda$. Et pour « durer plus de $t$ », on utilise $P(X > t) = e^{-\lambda t}$, pas $1 - e^{-\lambda t}$ (qui est $P(X \leq t)$).
La loi normale $\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)$ est la courbe en cloche, omniprésente dès qu'on cumule beaucoup de petits hasards : tailles, erreurs de mesure, moyennes d'échantillons. Elle est entièrement réglée par deux nombres : $\mu$ (le centre) et $\sigma$ (la dispersion).
- Forme : courbe en cloche symétrique autour de $x = \mu$ ; aire totale $1$.
- Paramètres : $\mu$ est l'espérance (centre, sommet), $\sigma$ l'écart-type (largeur de la cloche).
- Règle $68$–$95$–$99{,}7$ : environ $68\,\%$ des valeurs dans $[\mu - \sigma\,;\mu + \sigma]$, $95\,\%$ dans $[\mu - 2\sigma\,;\mu + 2\sigma]$, $99{,}7\,\%$ dans $[\mu - 3\sigma\,;\mu + 3\sigma]$.
- Loi centrée réduite : $\mathcal{N}(0,1)$, obtenue par le changement de variable $Z = \dfrac{X - \mu}{\sigma}$.
- En pratique : on calcule $P(c \leq X \leq d)$ à la calculatrice (fonction « normalFRép »).
Exemple
Les QI suivent $\mathcal{N}(100, 15^2)$, donc $\mu = 100$ et $\sigma = 15$. D'après la règle $68$–$95$–$99{,}7$, environ $95\,\%$ des personnes ont un QI dans $[\mu - 2\sigma\,;\mu + 2\sigma] = [70\,;130]$, et par symétrie $P(X \geq 100) = 0{,}5$.
Piège à éviter
Attention à $\sigma$ et $\sigma^2$ : dans la notation $\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)$, le second terme est la variance. Pour $\mathcal{N}(100, 25)$, on a $\sigma = \sqrt{25} = 5$, pas $25$. La règle des intervalles utilise $\sigma$, jamais $\sigma^2$.
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Questions fréquentes
Les points clés à retenir sur Lois de probabilité continues, extraits du quiz de révision.
Pour une loi uniforme sur $[0\,;10]$, $P(3 \leq X \leq 7)$ vaut :
Réponse :
$0{,}4$
$P(3 \leq X \leq 7) = \dfrac{7 - 3}{10 - 0} = \dfrac{4}{10} = 0{,}4$. On divise la longueur visée par la longueur totale de l'intervalle.
L'espérance d'une loi exponentielle de paramètre $\lambda$ est :
Réponse :
$\dfrac{1}{\lambda}$
$E(X) = \dfrac{1}{\lambda}$ : c'est la durée de vie moyenne. Plus $\lambda$ est grand, plus l'événement survient vite.
Pour une loi normale $\mathcal{N}(50, 16)$, l'écart-type $\sigma$ vaut :
Réponse :
$4$
Dans $\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)$, le second nombre est la variance $\sigma^2 = 16$, donc $\sigma = \sqrt{16} = 4$. Piège classique : confondre variance et écart-type.
Dans une loi $\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)$, environ $95\,\%$ des valeurs sont dans :
Réponse :
$[\mu - 2\sigma\,;\mu + 2\sigma]$
Règle $68$–$95$–$99{,}7$ : $95\,\%$ des valeurs se trouvent dans $[\mu - 2\sigma\,;\mu + 2\sigma]$ (deux écarts-types autour de la moyenne).